Ces chapitres décrivent les techniques et méthodes de détection et d'étude des planètes et des exoplanètes.

La recheche d'exoplanètes se fait avec des méthodes diverses et complémentaires, en particulier :

• l'observation directe
• les méthodes indirectes des vitesses radiales et d'astrométrie
• la méthode indirecte des transits planétaires

L'étude des (exo)planètes s'appuie aussi sur une grande diversité de techniques et d'outils, en particulier numériques ou mathématiques, par exemple ;

• Les Modèles de Circulation Générale pour étudier les atmosphères planétaires
• Les statistiques et la probabilité pour étudier les propriétés de populations d'exoplanètes.

Les CubeSats sont un technique plus rapide à mettre en oeuvre que les missions spatiales classiques pour observer un phénomène.

Ce cours est une introduction aux problématiques liées à la réalisation d'une mission spatiale. Pour ce-faire, nous vous proposons d'aborder un format bien particulier de petits satellites : les CubeSats. D'une manière générale, le bon fonctionnement d'un satellite est garanti par de nombreux domaines qui seront introduits dans ce cours. Dans un second temps, nous nous focaliserons sur un aspect en particulier, la nécessité de fournir un contrôle d'attitude et d'orbite pour mener à bien une mission spatiale. Des exercices vous permettront de vous exercer sur de nombreux points du cours. Enfin, vous pourrez utiliser les connaissances acquises pour pré-dimensionner quatre missions spatiales qui vous sont proposées sous la forme de mini-projets.

Tout au long de ce cours le lecteur doit garder à l'esprit que de nombreuses notions abordées pourraient faire l'objet d'un cours à part entière. Des liens vers d'autres cours issus de ce site ou de Fenêtre sur l'univers seront proposés autant que possible. Voici également des références qui pourront lui permettre d'approfondir les sujets souhaités :

[Début du cours]

Pour certains objectifs, il apparaît alors nécessaire de satelliser les instruments d'observation.

Opacité atmosphérique

Pourcentage d'absorption du spectre électromagnétique par l'atmosphère terrestre. Si l'atmosphère est opaque à une grande partie du spectre électromagnétique, parmi les exceptions se trouve le domaine du visible.

Crédit : NASA

Turbulence atmosphérique et optique adaptative

Effets liés à turbulence atmosphérique. L'image de gauche est l'étoile HIC 59206 capturée par le VLT, tandis que celle de droite est la même image corrigée par optique adaptative.

Crédit : European Southern Observatory

Météorologie

L'ouragan Matthew vu dans l'infrarouge par le satellite Metop-A, le 7 octobre 2016. Les observations dans plusieurs bandes spectrales conduisent, une fois compilées, à une carte de température.

Crédit : Eumetsat

Les satellites sont généralement classés en fonction de leur masse au lancement. Alors que dans les années 60, lorsque l'affrontement politique entre les États-Unis et l'Union soviétique s'exprimait sur le terrain de la course à la Lune, les engins spatiaux n'étaient limités que par les progrès techniques de l'époque, ce sont actuellement des critères économiques qui prévalent lors du développement des satellites. Une relation à peu près linéaire existe entre la masse d'un satellite et son coût. Une classification typique des satellites est présentée dans le tableau suivant.

Masse et coûts de quelques satellites

Comparaison de la masse et du coût de certains satellites. Les deux paramètres sont reliés par une relation presque linéaire, les satellites scientifiques apparaissant plus coûteux.

Crédit : Gary Quinsac

Hubble

Télescope spatial Hubble. Sa masse est de 11 tonnes, il fait la taille d'un bus (13 x 4 x 4 m³) et consomme 2,8 kW. Son orbite relativement basse (550 km d'altitude) a permis aux navettes spatiales américaines de venir effectuer des réparations et des remplacements d'équipements.

Crédit : ESA

Station Spatiale Internationale

Plus grand objet artificiel placé dans l'espace (110 m de longueur, 74 m de largeur et 30 m de hauteur), la Station Spatiale Internationale fait environ 400 tonnes. Chacune de ses 16 ailes de panneaux solaires mesure 35 m de long pour 12 m de large, produisant un maximum de 120 kW. Son altitude varie entre 330 et 420 km et a été choisie pour faciliter son assemblage/ravitaillement en orbite par les différents pays impliqués dans son exploitation.

Crédit : CNES

Satellite GPS

Un satellite GPS de 1,5 tonne pour 2.5 x 2 x 2 m³. Il consomme 1,9 kW et orbite à 20000 km d'altitude. De nombreux satellites de ce type composent ce qu'on appelle une constellation GPS, l'objectif étant d'avoir toujours au moins 4 satellites en visibilité depuis une zone donnée à la surface de la Terre.

Crédit : GPS.gov

Satellite de télécommunication

Satellite de télécommunication KA-SAT d'une masse de 6 tonnes (dont 3 pour le carburant) et mesurant 5 x 2 x 2 m³. Comme de nombreux satellites de télécommunication il se trouve sur l'orbite géostationnaire (GEO), c'est à dire à 36000 km d'altitude. Ses panneaux solaires de 40 m d'envergure lui permettent de produire 14,4 kW.

Crédit : J. Huart/ ESA

Un système spatial se décompose en trois éléments :

• le segment spatial,
• le segment sol,
• le lancement,

Station sol de PicSat

Station sol UHF/VHF installée à l'Observatoire de Meudon pour communiquer avec le CubeSat PicSat.

Crédit : PicSat

Comparaison de lanceurs

Comparaison de lanceurs utilisés depuis le début de l'ère spatiale. La masse de carburant embarqué par un lanceur pour satelliser un objet représente la majeure partie de sa masse au lancement. Par exemple, l'Ariane 5 GS est capable d'emporter plus de 6 tonnes en orbite GTO, elle mesure à peu près 50 m de hauteur pour une masse au décollage de 750 tonnes composée à 90% de carburant.

Crédit : NASA

Orbites terrestres

Orbites terrestres les plus utilisées.

Crédit : Gary Quinsac

Aurore boréale

Photo d'une aurore boréale en Alaska. Ces phénomènes lumineux sont provoqués par la rencontre entre des particules énergétiques provenant du Soleil ou du rayonnement cosmique et de l'atmosphère. Ces particules ont été préalablement piégées par le champ magnétique terrestre dans une zone que l'on nomme ceinture de Van Allen.

Tout projet spatial répond à un enjeu : objectif scientifique, démonstration technologique... Il doit donc faire face à son lot d'exigences et de contraintes. Les exigences définissent les fonctions qu'un système ou un composant doit remplir. Elles répondent à la question "que fait ce système/composant ?". Les contraintes spécifient, quant à elles, ce que le système doit être. Elles sont généralement des limitations du système.

Cette situation est encore plus vraie pour les projets spatiaux. Les erreurs commises sont le plus souvent irréversibles et irratrapables une fois que le système est lancé. Il faut ainsi :

• remplir des exigences mission,
• prendre en compte toutes les contraintes technologiques, d'environnement spatial, de lancement et des moyens sols,
• respecter les règlements,
• proposer des compromis performance/coûts et d'éventuelles modifications des exigences.

Les exigences mission dépendent du type de satellite considéré, mais le principe est toujours le même : un besoin est exprimé auquel le satellite va essayer de répondre. Se faisant, un type d'orbite va être identifié :

• terrestre : basse, héliosynchrone, géostationnaire, excentrique ;
• non-terrestre : au point de Lagrange, solaire, interplanétaire.

De ce choix découle un système de lancement, ou lanceur. La charge utile embarquée doit ensuite répondre aux exigences mission tout en prenant en compte les contraintes imposées par le système de lancement (volume et masse disponibles, interfaces) et l'environnement orbital. Toutes ces questions se posent bien entendues également pour la plate-forme, qui devra s'adapter à la charge utile choisie (ou inversement, si le choix est fait d'utiliser une plate-forme standardisée).

L'environnement spatial présente de nombreuses spécificités qui doivent être prises en compte dès le début du développement :

• le vide,
• l'apesanteur,
• les forts contrastes de température et l'absence de convection thermique,
• les effets des rayonnements électromagnétiques et des particules chargées énergétiques,
• la présence d'oxygène atomique qui est un agent chimique agressif,
• la collision possible avec des débris ou des micrométéorites,
• l'impossibilité d'accéder au satellite une fois en orbite (sauf cas exceptionnel).

Outre ces aspects négatifs, l'environnement peut également être mis à profit pour certaines fonctions :

• contrôler l'attitude avec le gradient de gravité, la pression de radiation solaire ou le champ magnétique local,
• contrôler l'orbite avec le freinage atmosphérique,
• refroidir des composants avec le fond du ciel à 3 K.

Que le programme soit public ou privé, la question du coût reste centrale. Ce coût doit prendre en compte le lancement, le segment spatial (durée de fabrication, des essais…), le système sol et des opérations. Il est ensuite amorti sur la durée de vie du système.

Des règlements nationaux et internationaux imposent des restrictions, notamment en termes de fréquences de télécommunication. La bande de fréquence utilisée doit avoir été définie en amont. Dans certains cas (satellite GEO) la notion de compatibilité électromagnétique implique de ne pas perturber les satellites voisins. La gestion d'un satellite en fin de vie est de plus en plus importante du fait de la prolifération des débris en orbite terrestre. Ainsi en France, la Loi sur les Opérations Spatiales (LOS) réglemente ces aspects.

Arbre fonctionnel

Exemple d'arbre fonctionnel. A partir des fonctions principales sont dérivées des fonctions secondaires, jusqu'à pouvoir identifier des solutions exécutant ces fonctions.

Crédit : Gary Quinsac

Nombre mensuel d'objets en orbite terrestre par type d'objets

Résumé de tous les objets en orbite terrestre officiellement répertoriés par l'U.S. Space Surveillance Network. Les "débris issuent de la fragmentation" regroupent les débris produits par des anomalies (explosions, casses...), tandis que les "débris fonctionnels" regroupent l'ensemble des objets libérés, distribués ou séparés dans le cadre d'une mission. Les "morceaux de fusée" quant à eux sont des pièces ou des ensembles de pièces appartenant à la fusée (tels que les différents étages de poussée). Le pic observé en 2007 correspond à la destruction par la Chine de l'un de leurs satellites météorologiques (Fengyun-1C) dans le cadre d'un test de missile anti-satellite. Le second, en 2009, est dû à la collision entre un satellite militaire russe hors de service (Cosmos 2251) et un satellite de télécommunication américain (Iridium 33).

Crédit : NASA - Orbital Debris Quarterly News, February 2017

Le standard CubeSat a été défini en 1999 par l'Université polytechnique de Californie (Cal Poly) et l'Université de Stanford comme un format de nanosatellites. Ce standard définit une unité de base, appelée "U", qui est un cube de 10 cm d’arête pour une masse d'environ 1,3 kg. Ces unités peuvent être assemblées de manière à obtenir des satellites plus volumineux, appelés "2U", "3U", "6U", "12U" ou même "27U" en fonction du nombre d'unités utilisé. Outre son format réduit, ce standard permet une importante réduction des coûts financiers et opérationnels :

• Possibilité pour un CubeSat d'être lancé en tant que charge utile secondaire, à condition qu'il n'amène pas de risque supplémentaire à la mission principale. L'extérieur de la structure des CubeSat étant standardisé, cela permet l'utilisation de "déployeurs" qui assurent l'interface entre le satellite et le lanceur. Le CubeSat est placé en position éteinte dans un déployeur fermé (P-POD ou équivalent) attaché à la fusée qui assure le lancement. Le CubeSat reste ainsi dans le déployeur jusqu’à son largage dans l’espace par ouverture du déployeur. Le largage déclenche la mise sous tension du CubeSat et donc le début de sa mission ;
• Fabrication en série donnant lieu à l'apparition de composants sur étagère (COTS pour "Components On The Shelf" en anglais) ;

Illustration du standard CubeSat

Chaque unité ("U) est un cube de 10 cm d’arête pour une masse d'environ 1,3 kg. Il est possible d'assembler plusieurs unités.

Crédit : C²ERES, Campus et Centre spatial de PSL

Comme nous l'avons vu précédemment, un satellite se décompose en différents sous-systèmes essentiels à son bon fonctionnement :

• la charge utile,
• la structure porteuse,
• le contrôle thermique,
• la génération, le stockage et la distribution d'énergie,
• la télécommunication,
• la télémesure, la télécommande et la localisation,
• le traitement, le stockage et la gestion des données à bord,
• le contrôle d'attitude et d'orbite,
• la propulsion.

Schéma éclaté du CubeSat ArduSat3

On retrouve une partie des sous-systèmes classiques d'un satellite sur ce CubeSat 1U. On remarque également qu'ils se présentent généralement sous la forme de cartes disposées les unes après les autres dans la structure du CubeSat.

Crédit : Wikipedia

Le contrôle d'attitude et d'orbite concerne tous les aspects nécessaires à la maîtrise de l'orientation et de la trajectoire du satellite. Il comprend :

• la prise en compte des phénomènes physiques gouvernant le déplacement du satellite;
• les méthodes pour mesurer l'état du satellite;
• la détermination des lois de contrôle et leur implémentation;
• les technologies nécessaires afin de produire ces actions de contrôle.

L'ensemble s'appelle le système de contrôle d'attitude et d'orbite (SCAO). Il se compose de différents éléments :

• les capteurs ou détecteurs, permettant de restituer les vitesses et positions angulaires définissant l'attitude,
• l'électronique et l'informatique de bord, chargées du traitement des informations provenant des capteurs,
• les actionneurs, permettant de maintenir une attitude, changer de pointage ou encore modifier les vitesses angulaires,

Le SCAO est l'un des sous-systèmes essentiels de la plupart des satellites. L'une de ses raisons d'être est l'existence de perturbations agissant sur un satellite via des couples ou forces extrêmement faibles qu'il faut utiliser ou compenser. Si rien n'entrave ces phénomènes, les conséquences de ces effets deviennent rapidement significatives. Ces perturbations peuvent être externes (c'est-à-dire causées par des phénomènes extérieurs au satellite) ou internes (c'est-à-dire liées à des mécanismes ou déplacements propres au satellite).

Au sein du SCAO, on a pour habitude de distinguer le contrôle d'attitude du contrôle d'orbite de la manière suivante :

• le Système de Contrôle de l'Attitude (SCA), qui concerne la maîtrise de l'attitude, c'est-à-dire l'orientation du satellite ou de son mouvement autour du centre d'inertie,
• le système de Guidage, Navigation et Contrôle (GNC) est lui en charge de la trajectoire du centre d'inertie du satellite et donc des paramètres orbitaux du véhicule spatial.

Dans la suite de ce cours nous insisterons sur le SCA, même si nous reviendrons par moments sur le système GNC. Il faut bien comprendre que les deux sont généralement développés de manière indépendante et gérés de façon autonome. Le SCAO dans son ensemble est en interaction avec les autres éléments du satellite. Ces interactions sont à l'origine de nombreuses contraintes essentielles lors du développement du SCAO.

Digramme en bloc d'un SCAO

Diagramme en bloc d'un système de contrôle d'attitude et d'orbite.

Crédit : Gary Quinsac

Relations fonctionnelles du SCAO

Schéma des relations fonctionnelles entre le système de contrôle d'attitude et d'orbite et les autres sous-systèmes du satellite.

Crédit : Gary Quinsac

Le sous-système en charge de l'attitude du satellite se nomme le système de détermination et de contrôle d'attitude (SCA). Il a différents rôles en fonction des modes du satellite. Il doit :

• fournir un contrôle du spin et un pointage pour la charge utile, l'énergie, la communication et les systèmes de régulation thermique dans les modes nominal et de survie,
• fournir un contrôle de l'attitude et de son taux de variation pour le transfert orbital et le maintien à poste,
• fournir une connaissance de l'attitude suffisamment précise pour mener à bien les objectifs de la mission.

La détermination et le contrôle d'attitude nécessitent plusieurs outils qui seront développés dans la suite du cours.

Boucle SCA

Boucle de contrôle d'attitude.

Crédit : Gary Quinsac

Lorsque l'on s'intéresse à l'orbite du satellite, on parle alors de guidage, navigation et contrôle (GNC). C'est une branche de l'ingénierie consacrée à la conception des systèmes de contrôle des véhicules (automobiles, bateaux, avions et satellites). La navigation répond à la question "où sommes-nous ?", le guidage à la question "comment aller à notre destination ?" et le contrôle "quelle commande donner au véhicule ?". En somme, cela concerne la détermination d'orbite et la majeure partie du contrôle, à l'exception de la réalisation du contrôle qui est prise en charge par le sous-système de propulsion. Ce sous-système joue un rôle essentiel dans le succès des missions qui impliquent un rendez-vous, de l'arrimage ("docking") et des opérations de proximité. Le logiciel de GNC se compose d'un filtre de navigation, d'un algorithme de guidage et d'un algorithme de contrôle. Ce sous-système doit ainsi :

• fournir la position et la vitesse du satellite pour pointer les antennes et la charge utile,
• fournir l'instant, la magnitude, la durée et la direction des poussées pour effectuer un transfert orbital et un maintien à poste,
• fournir la position des autres corps pour piloter les éléments mobiles du satellite.

Il ne faut pas confondre le système GNC embarqué avec le système de dynamique de vol qui fait partie du segment sol. Le GNC doit faire face à des contraintes temporelles et de calcul beaucoup plus fortes, ce qui conduit généralement à des performances des logiciels en vol insuffisantes. Un suivi depuis le sol peut se faire a posteriori et ainsi fournir une mise à jour de paramètres tels que la trajectoire de référence. Les exigences du système GNC dépendent fortement du niveau d'autonomie attendu. L'autonomie à bord permet au segment spatial de continuer les opérations de mission et de survivre à des situations critiques sans avoir recours au segment sol. Plus l'autonomie est importante plus les coûts de développement sont importants, mais les coûts d'opération diminuent. De même, dans le cas de missions interplanétaires, la rareté des canaux de communication peut être une motivation pour limiter les interactions avec le segment sol. Rares ont été les satellites autonomes sur ce plan, même si nous pouvons citer SMART-1 de l'ESA et Deep Space 1 de la NASA. Dans la plupart des cas, une majeure partie des étapes nécessaires au contrôle d'orbite sont effectuées par le segment sol avant que des télécommandes soient transmises au satellite.

Digramme en bloc d'un SCAO

Boucle de contrôle d'un système GNC.

Crédit : Gary Quinsac

Sonde SMART-1

Vue d'artiste de la sonde spatiale SMART-1 sur le chemin de la Lune. Elle était équipée d'un système de propulsion ionique et d'un système de GNC autonome.

Crédit : ESA

Une fois séparé du lanceur, le satellite va parcourir une série de modes jusqu’à la fin de la mission. Des modes nominaux vont lui permettre de maintenir son attitude, atteindre son poste, déployer ses panneaux solaires et son antenne, le tout afin de se mettre en ordre de marche pour sa mission. Si nécessaire, ces modes d’opération peuvent être interrompus afin de réaliser son maintien à poste, la décharge du moment cinétique des roues à inertie ou répondre à un incident. Différents équipements sont utilisés en fonction de ces modes et certains sont cités en exemple dans la figure 1. On associe aux modes des exigences qui découlent des exigences mission, par exemple :

• Les exigences sur la détermination d'attitude dérivent de plusieurs exigences mission, notamment celle de décrire correctement la position d'une observation dans l'espace, ou peuvent découler d'une allocation d'une exigence de pointage de plus haut niveau (par exemple, afin de pointer un objet avec une certaine précision on a besoin de déterminer l'attitude avec telle précision).
• Parmi les exigences de pointage, on peut citer la définition de la cible et de ce qui doit la pointer (sous-système, instrument etc.). Les exigences peuvent ensuite être classées en 2 catégories : la précision et la stabilité de pointage.
  • La précision de pointage est une partie du budget total de pointage de la charge utile, dans lequel se trouvent également des effets mécaniques, thermiques et de mesure.
  • La stabilité de pointage découle habituellement des exigences de résolution des instruments. En effet, des mouvements à haute fréquence du satellite ont tendance à dégrader la résolution.
• L'agilité du satellite est souvent nécessaire à une mission pour passer d'un pointage à un autre en un certain temps. Ces exigences ont tendance à contraindre le choix des actionneurs et des méthodes de contrôle.
• La phase dite d'acquisition concerne les satellites équipés de panneaux solaires pour la génération d'énergie. Elle intervient au tout début de la mission, une fois que le satellite est séparé du lanceur, et consiste à stabiliser le satellite et à pointer ses panneaux solaires vers le Soleil avant que ses batteries ne se soient vidées. La connaissance précise du lanceur est essentielle afin de prendre en compte l'ensemble des conditions initiales possibles lors de la conception.
• Des exigences concernent églament la fiabilité et la survie. Il faut déterminer le niveau de fiabilité/redondance nécessaire pour récupérer d'anomalies, ce que le SCAO doit faire en réponse à une anomalie...

Modes SCAO

Modes SCAO typiques avec des exemples associés. Après une phase d'initialisation débutée par la séparation et le déploiement et conclue par le transfert d'orbite, le satellite entre dans un mode d'opérations nominales.

Crédit : Gary Quinsac

Afin de déterminer la position et l'orientation d'un objet dans l'espace, on fait appel aux systèmes de coordonnées. Dans cette partie, il ne faudra pas confondre les notions de référentiel et système de coordonnées. Un système de coordonnées est notamment défini par son centre (on parle de référentiels géocentrique ou héliocentrique), son plan de référence (équatorial, écliptique) et ses axes. En ce qui concerne les systèmes de coordonnées, on a pour habitude d'utiliser les suivants :

• systèmes de coordonnées rectangulaires (ou cartésiennes), qui à un point de l'espace font correspondre trois distances sur chacun des axes du repère;
• systèmes de coordonnées cylindriques, qui décrivent la position d'un point à l'aide d'une distance au centre, d'un angle et d'une hauteur;
• systèmes de coordonnées sphériques, qui à un point de l'espace associent une distance au centre et deux angles. Ce type de système est couramment utilisé en géographie et en astronomie.

En astronomie, on utilise habituellement les repères cylindriques et sphériques amputés de leur coordonnée de distance. Pour des raisons pratiques, on suppose souvent que les objets observés se situent à des positions fixes à l'intérieur de la sphère céleste, à condition que leur distance soit suffisante.

Un système de coordonnées céleste a pour fonction de déterminer une position dans le ciel. Il existe plusieurs systèmes, utilisant une grille de coordonnées projetée sur la sphère céleste, de manière analogue aux systèmes de coordonnées géographiques utilisés à la surface de la Terre. Les systèmes de coordonnées célestes diffèrent seulement dans le choix du plan de référence, qui divise le ciel en deux hémisphères le long d'un grand cercle (le plan de référence du système de coordonnées géographiques est l'équateur terrestre). Chaque système est nommé d'après son plan de référence.

Système de coordonnées horizontales

Coordonnées horizontales

Les coordonnées horizontales locales sont la hauteur (h) et l'azimut (A). La hauteur varie de 0° (horizon) jusqu'à 90° (zénith) et l'azimut est mesuré sur le plan horizontal à partir du Nord (N). Un objet de hauteur négative n'est pas visible depuis le lieu d'observation.

Crédit : Wikipedia

Le système de cordonnées horizontales, également appelé système local ou système de coordonnées alt-azimutales, est un système de coordonnées célestes utilisé en astronomie par un observateur au sol. Le système, centré sur l'observateur, sépare le ciel en deux hémisphères : l'un situé au-dessus de l'observateur et l'autre situé au-dessous, caché par le sol. Le cercle séparant les deux hémisphères, appelé horizon céleste, situe le plan horizontal. L'altitude (ou élévation, "h") et l'azimut (A), qui constituent les deux principales coordonnées de ce système, sont définis à partir de ce plan.

• L'altitude est l'angle entre l'objet et l'horizon local de l'observateur. Pour les objets visibles, cet angle est compris entre 0° (horizon) et 90° (zénith).
• L'azimut est l'angle de l'objet autour de l'horizon. C'est un cercle divisé en 360° établi sur le plan horizontal depuis le nord vers l'est (des exceptions à cette convention existent).

Ce système de coordonnées présente l'avantage d'être simple et local. Il est facile à établir à un endroit donné à partir du moment où l'observateur sait où se trouve l'un des points cardinaux. C'est la raison pour laquelle il est particulièrement utilisé par les télescopes au sol à monture azimutale, c'est à dire l'essentiel des télescopes les plus récents.

Système de coordonnées équatoriales

Coordonnées équatoriales projetées sur la sphère céleste

Un système équatorial est projeté sur la sphère céleste. Les longitude (α) et latitude (δ) d'un objet sont indiquées.

Crédit : Gary Quinsac

Le système de coordonnées équatoriales est un système de coordonnées célestes dont les valeurs sont indépendantes de la position de l'observateur. Ceci est également vrai pour les systèmes de coordoonées écliptiques et galactiques. Ce système utilise comme plan de référence la projection de l'équateur de la Terre sur la sphère céleste. Cette projection s'appelle l'équateur céleste. Elle divise le ciel en deux hémisphères, chacun ayant comme axe de référence la projection d'un pôle terrestre, perpendiculaire à l'équateur céleste. À partir de ces divisions, le système permet d'établir deux coordonnées angulaires : l'ascension droite et la déclinaison.

• L'ascension droite (α) est l'angle mesuré sur l'équateur céleste à partir d'un axe pointant vers un point de référence, le point vernal, correspondant à l'intersection entre l'équateur céleste et l'écliptique. À partir de cet axe, l'angle est mesuré vers l'Est et comporte 24 divisions principales de 15° chacune, nommées « heures ». Chacune des heures se divise en minutes, et en secondes. Cette division de l'angle en heures, minutes et secondes permet de déterminer facilement combien de temps (en temps sidéral) il faudra à un astre pour atteindre un certain point dans le ciel.
• La déclinaison (δ) est l'angle mesuré perpendiculairement entre l'équateur céleste et l'objet céleste observé. Elle se mesure en degrés, positifs pour les objets situés dans l'hémisphère nord et négatifs pour ceux de l'hémisphère sud. La déclinaison varie ainsi de -90° (pôle sud) à +90° (pôle nord) en passant par 0° à l'équateur céleste. L'ascension droite et la déclinaison sont les équivalents astronomiques de la longitude et de la latitude.

Système de coordonnées écliptiques

Coordonnées écliptiques projetées sur la sphère céleste-

Un système écliptique est projeté sur la sphère céleste. Les longitude (λ) et latitude (β) d'un objet sont indiquées.

Crédit : Gary Quinsac

Le système de coordonnées écliptiques est un système de coordonnées adapté aux objets célestes : il utilise le plan de l'écliptique (plan de l'orbite de la Terre autour du Soleil) comme plan de référence. Ce plan fait un angle d'approximativement 23° avec le plan équatorial terrestre, du fait de l'inclinaison de l'axe de rotation de la Terre. Ce repère est un système sphérique à deux dimensions.

• La longitude écliptique (λ) est l'angle entre le point vernal (le même que pour le système de coordonnées équatoriales), le centre du repère (le soleil) et la projection de l'objet sur ce plan. Cet angle se mesure en degrés.
• La latitude écliptique (β) représente l'angle entre le plan de l'écliptique, le centre du repère (le soleil) et l'objet.

Ce système peut être centré sur la Terre, le Soleil ou tout autre corps. Il est particulièrement utile pour les objets situés dans le système solaire.

Système de coordonnées galactiques

Coordonnées galactiques projetées sur la sphère céleste

Un système galactique est projeté sur la sphère céleste. Les longitude (l) et latitude (b) d'un objet sont indiquées.

Les coordonnées galactiques sont adaptées aux objets situés dans notre galaxie et non situés dans le voisinage proche du Soleil. Les coordonnées galactiques sont un repérage effectué à l'aide d'une latitude et d'une longitude définies de telle sorte que le plan galactique correspond à l'équateur, et l'origine des longitudes corresponde au centre galactique. Le système de coordonnées galactiques est un système de coordonnées célestes qui prend en compte la rotation de la Galaxie sur elle-même. On parle ici aussi de longitude et de latitude galactiques. Le plan de référence de ce système est le plan de la Galaxie centré sur le centre galactique. Le pôle nord galactique a été défini par convention dans le repère équatorial par une ascension droite de 12 h 51 min 26,282 s et une déclinaison de 27°07′42.01″. Dans ce plan, la direction de référence de la mesure est la direction du centre de la Galaxie.

• La longitude galactique (l) est l'angle entre cette direction de référence et la projection de l'objet sur le plan de la galaxie. La longitude galactique vaut 0° dans la direction du centre de la Galaxie.
• La latitude galactique (b) est la mesure de l'angle entre le plan de référence et l'objet avec le Soleil au centre. Elle mesure en degrés la hauteur de cet objet de 0° dans le plan de référence à 90° au pôle nord galactique.

Dans le cadre de l'analyse de l'attitude et de l'orbite d'un satellite, certains référentiels sont particulièrement utilisés. Les plus importants d'entre eux sont présentés dans cette partie.

L'orientation d'un satellite dans l'espace correspond à l'orientation du repère fixé sur son corps par rapport à un autre repère, tel que ceux vus précédemment. Ainsi, la détermination d'attitude d'un satellite en particulier requiert des méthodes d'estimation de la matrice orthogonale transformant des vecteurs d'un référentiel de référence fixé dans l'espace à un référentiel fixé par rapport au corps du satellite. De plus, une mission spatiale ne peut être définie par un unique référentiel. En fonction des besoins, de l'échelle à laquelle on se place, il est nécessaire d'utiliser tel ou tel référentiel. Dès lors, le passage d'un référentiel à un autre devient un aspect crucial du SCAO. L'une des plus importantes propriétés des matrices d'attitude est énoncée par le théorème d'Euler.

Leonhard Euler

Portrait par Johann Georg Brucker (1756).

Crédit : Domaine public

Les relations permettant de jongler entre les systèmes de coordonnées peuvent être charactérisées de différentes manières, comportant chacune leurs lots d'avantages et inconvénients. Certaines d'entre elles sont présentées dans la partie suivante :

• la matrice du cosinus directeur (MCD),
• les séquences de rotations d'Euler,
• les quaternions.

Les démonstrations des principales relations sont proposées en exercices.

La façon la plus évidente de donner l'orientation d'un référentiel par rapport à un autre est d'exprimer leurs vecteurs de base dans l'autre repère.

Afin de s'affranchir du problème de singularité rencontré avec les angles d'Euler, une représentation de l'attitude composée de 4 éléments est introduite sous le nom de quaternion (dont les éléments sont appelés paramètres d'Euler). Cette construction mathématique est présentée plus en détail dans la partie suivante.

Les quaternions sont un système de nombres premièrement décrits par William Rowan Hamilton en 1843 appliqué à la mécanique et à l'espace à 3 dimensions.

William Rowan Hamilton

Sir William Rowan Hamilton (04/08/1805 - 02/09/1865) est un mathématicien, physicien et astronome irlandais (né et mort à Dublin). Outre sa découverte des quaternions, il contribua également au développement de l'optique, de la dynamique et de l'algèbre. Ses recherches se révélèrent importantes pour le développement de la mécanique quantique.

William Rowan Hamilton

Peinture de Sir William Rowan Hamilton.

Crédit : Domaine public

Maintenant que nous avons étudié les différentes façons de décrire l'orientation d'un repère à l'instant t, nous pouvons introduire la notion de mouvement. Les équations du mouvement sont un aspect essentiel de la conception et de la réalisation d'un système de contrôle d'attitude car elles régissent la position au cours du temps des objets considérés. Ces équations peuvent être séparées en deux catégories :

• Lorsque nous étudions l'orientation relative de deux référentiels en fonction du temps, nous sommes dans le domaine de la cinématique. Elle recouvre les aspects du mouvement qui peuvent être analysés sans considérer les forces et les couples.
• À l'instant où les forces et les couples sont introduits, on entre dans le domaine de la dynamique.

Afin de clarifier les choses, prenons une particule ponctuelle de la physique newtonienne. Si représente sa position, sa vitesse et que les dérivées temporelles sont indiquées par un point, alors l'équation cinématique du mouvement s'écrit . L'équation dynamique du mouvement quant à elle s'écrit dans un repère galiléen ou , avec la quantité de mouvement, la résultante des forces appliquées et la masse de la particule. Comme vous le verrez par la suite, dès lors que l'on s'intéresse aux mouvement d'attitude (autour du centre d'inertie), les vecteur de position et de vitesse sont respectivement remplacés par la matrice d'attitude et le vecteur de vitesse angulaire . Les forces et quantités de mouvement sont quant à elles remplacées par le couple et le moment angulaire . La cinématique et la dynamique du mouvement rotationnel, ou d'attitude, sont plus compliquées que celles du mouvement de translation. Elles sont détaillées dans la section suivante.

La cinématique est l'étude du mouvement en fonction du temps indépendammant des causes produisant ce mouvement. Elle est utilisée pour décrire la trajectoire du centre de masse d'un satellite dans l'espace.

La simulation et l'estimation d'attitude nécessitent généralement des représentations simples de l'attitude, telles que celles présentées dans le chapitre du même nom. Les équations différentielles de la cinématique peuvent ainsi être obtenues pour ces différentes représentations. Les démonstrations de ces équations sont proposées en exercices.

La cinématique d'attitude relie des vitesses angulaires à des orientations dans l'espace. Si cela peut sembler simple dans le cas d'une rotation autour d'un axe fixe, cela devient beaucoup moins intuitif dans le cas d'un mouvement plus général, où l'axe de rotation varie au cours du temps. Pour un corps en rotation autour d'un axe fixe, l'orientation par rapport à cet axe peut être déterminée en intégrant la vitesse angulaire ω, puisque .

Maintenant que nous nous tournons vers la dynamique d'attitude, il est important de bien différencier le mouvement de rotation d'un système du mouvement de son centre d'inertie. Nous allons nous concentrer sur le cas d'un corps rigide.

Considérons un satellite solide avec un référentiel fixé sur son corps dont l'origine se trouve au centre de masse du satellite. Notons le vecteur vitesse angulaire du référentiel par rapport au référentiel inertiel .

En conclusion, les couples peuvent perturber l'attitude d'un satellite mais peuvent également être utilisés pour la contrôler. Les actionneurs doivent donc avoir une capacité suffisante pour contrer les couples perturbateurs tout au long de la mission si l'on veut un contrôle permanent de l'attitude du satellite.

Les faibles forces agissant sur un satellite sont connues pour dégrader la précision de pointage et engendrer des déformations mécaniques.

Perturbations environmentales

Couples perturbateurs dus à l'environement du satellite.

Crédit : Gary Quinsac

Couples subis par un CubeSat de 3U

Les couples maximums subis par un CubeSat de 3U autour de la Terre et Mars sont représentés (respectivement en traits pleins et pointillés). Mars n'ayant pas ou peu de champ magnétique et une atmosphère très ténue, les couples associés ne sont pas représentés car trop faibles.

Crédit : Gary Quinsac

Couple cyclique ou séculaire : fonction du pointage

Le couple de pression de radiation solaire est plus ou moins constant dans le cas d'un pointage inertiel, à l'origine d'une accumulation du moment cinétique : c'est un couple séculaire. Au contraire, ce couple est moyennement nul sur une orbite pour un satellite effectuant un pointage nadir : on dit alors que le couple est cyclique.

Crédit : Gary Quinsac

Gestion du moment cinétique

On peut voir l'accumulation du moment cinétique au cours d'une orbite dans le cas d'un couple séculaire, nécessitant de décharger celui-ci avec des actionneurs appropriés. En revanche le couple cyclique peut être stocké par un actionneur qui va se contenter de fournir un couple en opposition de phase tout au long de l'orbite.

Crédit : Gary Quinsac

Certains corps célestes, dont la Terre, ont des champs magnétiques assez puissants pour induire d'importants effets dans l'espace environnant. Ce champ interagit avec tout autre champ magnétique qu'il rencontre. En général, les satellites ont eux-mêmes un certain niveau de moment magnétique résiduel qui se traduit par un champ magnétique propre relativement faible. Ils se comportent comme des dipôles magnétiques car ils sont parcourus par des boucles de courant. Ainsi, un courant de I ampères circulant dans une boucle plane d'aire A produit le moment dipolaire (en A.m) :

Des méthodes de compensation sont généralement mises en œuvre à bord. Si le moment magnétique résiduel d'un satellite n'est pas aligné avec le champ magnétique local un couple magnétique apparaît et modifie l'attitude du satellite. Le couple magnétique est donné par :

où (en T) représente le champ magnétique.

Champ magnétique terrestre

Bien que le champ magnétique de la Terre soit complexe, il est souvent suffisant de le modéliser tel un dipôle (30% d'erreur sont souvent considérés) et de déterminer la valeur maximum possible. Le couple maximum peut donc être estimé à partir du champ magnétique , où (en T.m³) est le moment magnétique terrestre multiplié par la constante magnétique, la distance entre le satellite et le centre du corps , et enfin une fonction sans unité de la latitude magnétique qui prend des valeurs allant de 1 au niveau de l'équateur magnétique à 2 aux pôles magnétiques. Des modèles utilisant des harmoniques sphériques existent, à la manière du champ gravitationnel terrestre, mais la précision qu'ils permettent d'atteindre n'est pas nécessaire lors des premières phases de développement du projet spatial. L'un de ces modèles, le "12th generation of the International Geomagnetic Reference Field (IGRF)", est utilisé pour calculer le champ magnétique obtenu sur une trajectoire circulaire de 500 km d'altitude inclinée de 50°. Celui-ci est représenté par rapport au plan local tangent ou repère NED ("North East Down"). On remarque qu'il varie grandement au cours de l'orbite.

Dipôle magnétique terrestre

La Terre peut être assimilée à un dipôle magnétique dont l'axe est incliné d'à peu près 11° par rapport à l'axe nord-sud géographique. Attention, le pôle sud magnétique se trouve du coté du pôle nord géographique.

Crédit : Gary Quinsac

Champ magnétique terrestre sur une orbite

Champ magnétique sur une orbite terrestre circulaire de 500 km d'altitude et 50° d'inclinaison dans le référentiel NED.

Crédit : Gary Quinsac

En dehors de quelques corps du système solaire, tels que la Terre et Jupiter, la plupart des régions de l'espace ne possèdent pas un champ magnétique suffisamment puissant et bien connu pour qu'un contrôle d'attitude magnétique puisse être utilisé par un satellite s'y trouvant.

Le gradient de gravité résulte de l'interaction du champ gravitationnel, lui-même proportionnel à l'inverse du carré de la distance, avec un satellite de masse non ponctuelle. L'accélération gravitationnelle est la plus forte sur la partie du satellite la plus proche du corps attracteur. Le gradient est à l'origine d'un couple qui peut être utilisé pour contrôler passivement l'attitude du satellite. Les couples de gradient de gravité apparaissent lorsque le centre de gravité d'un satellite en orbite n'est pas aligné avec le centre de masse par rapport à la verticale locale.

On exprime le gradient de gravité de la manière suivante :

où est le vecteur position allant du centre de gravité du satellite à l'élément de masse et est la force de gravité s'appliquant sur ce même élément de masse :

est la constante gravitationnelle, elle vaut , est la masse du corps attracteur et est le vecteur position de l'élément de masse dans le référentiel inertiel (). On peut finalement réécrire l'équation donnant le couple de gradient de gravité de la manière suivante :

Ce couple dépend de la matrice d'inertie du satellite. Différentes propriétés sont visibles dans cette équation : la magnitude est inversement proportionnelle au cube de la distance au centre du corps attracteur, sa direction est perpendiculaire au rayon vecteur et il disparaît lorsque l'un des axes principaux du satellite est aligné avec ce rayon vecteur.

Gradient de gravité

Géométrie du couple de gradient de gravité.

Crédit : Gary Quinsac

Satellite stabilisé par gradient de gravité

Crédit : National Air and Space Museum, Smithsonian Institution.

La pression de radiation solaire est la source dominante de couples perturbateurs dans l'espace interplanétaire (absence de traînée atmosphérique, faibles champs de gravité et magnétique). Même en orbite basse, on a pour habitude de considérer qu'il est dominant à des altitudes supérieures à 800 km. Il est important de noter que si le Soleil n'est pas l'unique source de radiation (il y a notamment l'albédo de la Terre et de la Lune, les rayons cosmiques...), il est de loin la plus importante. Le Soleil émet des photons, mais également des protons et des électrons (vent solaire). L'interaction entre la lumière du Soleil et la surface du satellite est habituellement modélisée comme une force de pression exercée sur un objet.

On modélise la surface du satellite comme une collection de surfaces d'aire , dont la normale orientée vers l'extérieur est notée dans le référentiel du satellite et de coefficient de réflexion (on lui attribue généralement une valeur de 0,6 pour un petit satellite).

Le vecteur allant du satellite au Soleil dans le référentiel du satellite s'écrit . L'angle entre ce vecteur et et la normale à la i^ème surface s'écrit alors :

La force de pression de radiation solaire exercée sur une surface peut alors s'exprimer de la manière suivante :

avec

où (en W.m) est l'irradiance solaire moyenne (fonction de la distance au Soleil) et (en m/s) est la vitesse de la lumière.

La différence entre les positions des centres de pression solaire et de masse aboutit à un couple de radiation solaire. Une telle différence dépend des surfaces éclairées, de l'incidence des rayons lumineux et de la répartition de la masse à l'intérieur du satellite. On note le vecteur allant du centre de masse du satellite au centre de pression de radiation solaire de la i^ème surface. Le couple de radiation solaire s'écrit alors :

Géométrie du couple de pression de radiation solaire

Géométrie du couple de pression de radiation solaire. Chaque face du satellite exposée au Soleil subit une force qui, si elle est désaxée par rapport au centre de masse, engendre un couple.

Crédit : Gary Quinsac

Zones d'ombre

Géométrie simplifiée du problème de zone d'ombre en orbite terrestre.

Crédit : Gary Quinsac

L'atmosphère ténue des corps célestes peut exercer une force de pression sur un satellite. Cela inclut toutes les interactions avec des particules non-chargées, comme les queues de comète, les poussières ou les éjectas. Dans le cas de la Terre, à quelques centaines de kilomètres d'altitude, ce couple peut être le plus important. De la même manière qu'avec le couple dû à la pression de radiation solaire, on calcule la force exercée par la traînée atmosphérique en considérant que le satellite est une collection de N surfaces d'aire S_i. On définit de nouveau la normale orientée vers l'extérieur, notée , pour chacune des surfaces. La force s'exerçant sur chaque surface dépend de la vitesse relative du satellite par rapport à l'atmosphère. En première approximation, on considère que cette vitesse relative est égale à celle du satellite, mais en réalité ce n'est pas immédiatement la vitesse du satellite dans le référentiel inertiel, car l'atmosphère n'est pas stationnaire dans celui-ci. L'inclinaison de la ième surface par rapport à la vitesse relative du satellite s'exprime :

La force aérodynamique s'exerçant sur la i^ème surface est :

Dans cette équation, ρ est la densité atmosphérique et est le coefficient de trainée. Ce coefficient est déterminé de manière empirique et se situe généralement entre 1.5 et 2.5. Un couple apparaît lorsque la force agissant sur le centre de la pression atmosphérique ne passe pas par le centre de masse. Une estimation de ce couple est donnée par l'équation suivante :

où est le vecteur allant du centre de masse du satellite au centre de pression de la i^ème surface.

En principe, les couples aérodynamiques peuvent être utilisés pour effectuer un contrôle passif de l'attitude, comme les plumes d'une flèche, et même pour un contrôle actif avec des surfaces amovibles.

Bien que les CubeSats puissent généralement être modélisés comme un simple corps solide, de nombreuses raisons peuvent rendre la situation beaucoup plus complexe :

• Certains satellites peuvent être composés de nombreux corps solides en mouvement de rotation ou de translation les uns par rapport aux autres. La dynamique des corps flexibles utilise généralement des méthodes de calcul par éléments finis. Parmi les raisons simples empêchant de traiter un satellite comme un corps rigide, on peut citer la présence de roues à inertie, de gyroscopes, de panneaux solaires motorisés ou de systèmes de déploiement.
• Le déplacement des fluides, tels que le carburant ou les fluides cryogéniques est également une source de perturbations internes.
• Les désalignements et la quantification des actionneurs peut aussi être une source de perturbations. Par exemple, un système de propulsion dont l'axe de poussée serait décalé par rapport à l'axe idéal créera des couples non désirés à chaque fois qu'il sera utilisé.

On qualifie ces couples internes de couples d'échange de moment cinétique car ils correspondent à un échange de moment cinétique entre des composants d'un satellite complexe sans que le moment cinétique du satellite dans son ensemble ne soit modifié.

Les capteurs optiques fournissent l'orientation dans l'espace du repère du capteur, lui-même lié au repère du satellite, par rapport à des directions de références extérieures, telles que les étoiles, le Soleil et la Terre.

Capteurs stellaires

Un viseur d'étoiles ou capteur d'étoiles est un instrument optique qui repère les coordonnées d'une ou plusieurs étoiles et les compare ensuite aux éphémérides des étoiles enregistrées dans une bibliothèque inclue dans l'instrument. C'est l'instrument optique le plus précis (entre 1 et 10 secondes d'angle pour les plus performants). Il se compose d'un baffle afin d'éviter l'illumination par des éléments parasites tels que le Soleil, d'une partie optique chargée de collecter et focaliser la lumière sur un détecteur (CCD ou APS), d'une électronique de traitement du signal et d'un refroidisseur pour le détecteur. La matrice du détecteur est constituée de pixels qui permettent d'obtenir une image numérisée du champ de vue de l'instrument, chaque pixel étant repéré par ses coordonnées dans le repère lié au viseur stellaire. On détermine finalement la position d'une étoile en calculant le barycentre de l'énergie collectée sur les pixels éclairés. Les viseurs d'étoiles sont utilisés lorsqu'une connaissance fine de l'attitude est nécessaire. Ils ont besoin que la vitesse de rotation du véhicule soit contrôlée en amont afin de ne pas dépasser la vitesse de décrochage, vitesse au dessus de laquelle la lumière d'une étoile se trouve projetée sur de trop nombreux pixels durant la pose et ne permet plus la mesure.

Un capteur d'étoiles possède deux modes d'opération : le mode d'acquisition et le mode de suivi. Dans le premier, la position et la magnitude des objets brillants éclairant la matrice du détecteur sont comparées au catalogue d'étoiles afin de déterminer de façon grossière l'attitude du satellite sans information préalable. Une fois cette estimation de l'attitude intiale effectuée, le second mode permet le suivi sur la matrice des positions des étoiles identifiées. En sortie, un tel capteur est capable de fournir un quaternion d'attitude du repère capteur par rapport à un repère inertiel, tel que le repère J2000, et dans certains cas la vitesse de rotation du satellite.

Viseur d'étoile

Viseur d'étoiles ASTROP APS développé par l'agence spatiale nationale allemande DLT et la compagnie Jena-Optronik en Allemagne. Il est équipé d'une technologie de protection de radiation permettant de longues missions.

Crédit : ESA, Jena-Optronik

Capteurs solaires

Les capteurs solaires permettent de déduire l'attitude du satellite de la mesure de l'angle d'incidence des rayons solaires sur le capteur. Ils sont classés en deux catégories : les capteurs analogiques et les capteurs digitaux. Dans les grosses missions satellitaires, ils permettent respectivement d'obtenir une précision de 1° à 0,1° et inférieure à 0,05°.

• Les capteurs solaires analogiques sont les plus utilisés pour les CubeSats car ils sont fiables, passifs et peu coûteux. Leur faible précision, généralement de l'ordre de quelques degrés pour cette filière, est avant tout limitée par l'albédo terrestre. Sur de plus gros satellites, ils sont essentiellement utilisés pour les modes d'acquisition/survie. Ils se composent d'une ou plusieurs photo-diodes qui convertissent l'énergie reçue, fonction de l'inclinaison solaire, en courant électrique. Ce courant est proportionnel au cosinus de l'angle entre la normale au capteur et les rayons solaires. Ainsi, si et si , avec le vecteur unité pointant vers la normale extérieure à la photocellule et le vecteur unité allant du satellite au Soleil. Le champ de vue est un cône d'ouverture limitée.
• Les capteurs solaires digitaux utilisent l'illumination de quelques pixels d'un capteur numérique CCD ou CMOS. L'ouverture est une fente étroite, et éventuellement la lumière solaire préalablement filtrée pour ne pas abîmer les capteurs trop sensibles. La position du ou des pixels éclairés permet de déterminer l'angle d'incidence du rayon de soleil. Le principe est généralisable à 2 axes. Ils sont généralement embarqués par des satellites n'ayant pas de capteur stellaire.

Capteur solaire digital

Capteur solaire analogique pyramidal développé par NTO pour la plateforme de satellites de télécommunication Spacebus-4000. Il fournit la position du Soleil selon 2 axes avec une précision meilleure que 0,1°.

Crédit : ESA, NTO

Les capteurs inertiels fournissent au satellite une mesure par rapport à une référence fixe dans l'espace. Les gyromètres délivrent l'attitude (vitesse angulaire) et les accéléromètres la position par rapport à cette référence. Pour les premiers, il y a détection du mouvement de rotation absolue, tandis que pour le second c'est le mouvement de translation accéléré qui est détecté. Nous ne nous intéresserons pas ici aux accéléromètres qui ne sont pas utiles à la détermination d'attitude.

Gyromètres

Les gyromètres mesurent donc les vitesses angulaires du satellite. On peut en déduire l'attitude de celui-ci en intégrant les vitesses calculées sur un temps donné. Ils sont très intéressants car ils permettent de fournir en permanence les mesures de vitesse de rotation sans se soucier du champ de vue et avec une très bonne précision à court terme. Ils fournissent également des informations à plus haute fréquence que les autres capteurs, ce qui est nécessaire pour certaines boucles de contrôle comme pour le contrôle du vecteur de poussée lors de phases de propulsion. On distingue plusieurs types de gyromètres : les gyromètres mécaniques, les gyromètres optiques et les gyromètres vibrants.

Gyromètres mécaniques

Les gyromètres mécaniques utilisent une toupie gyroscopique. Celle-ci possède une raideur gyroscopique du fait d'une vitesse de rotation élevée permettant de la maintenir selon une direction fixe. Tout couple s'exerçant celui-ci provoque l'écartement de cet axe par rapport à la direction initiale avec une vitesse faible du fait de la rigidité gyroscopique. Le principe consiste à estimer les mouvements du véhicule par rapport à la direction de référence que matérialise l'axe de rotation de la toupie.

Gyroscope

Exemple de gyroscope. Tant que le rotor (plateau central) sera en rotation, il gardera son axe de rotation fixe quelles que soient les orientations des cercles extérieurs.

Crédit : Gary Quinsac

Gyromètres optiques

Les gyromètres optiques peuvent être des gyromètres laser ou à fibre optique. Dans les deux cas, ils présentent l'avantage de se dispenser de pièce mécanique en mouvement (pas d'usure), d'avoir de plus grande dynamique de mesure et bande passante, une insensibilité à l'accélération et moins de contraintes concernant la stabilité en température. Les gyromètres laser fonctionnent suivant le principe du laser à cavité résonnante. Les gyromètres à fibre optique reprennent l'effet Sagnac. Deux ondes parcourant un chemin fermé en rotation (par rapport à un référentiel inertiel) subissent un décalage temporel lorsqu'elles ont été émises et reçues par un émetteur/récepteur fixe par rapport au chemin optique. Le décalage temporel entre les deux rayons lumineux est ainsi proportionnel à la vitesse de rotation du système.

Gyromètre optique

La lumière émise par la source se propage dans la bobine de fibre optique dans deux directions opposées suite à une première traversée de la lame séparatrice (un quart de l'énergie émise initialement arrivera sur le détecteur selon chacune des directions de parcours). Du fait de la rotation de la plateforme, les signaux lumineux parcourant la bobine de fibre dans des directions opposées arriveront au récepteur dans des temps différents. C'est l'effet Sagnac.

Crédit : Gary Quinsac

Gyromètres vibrants

Les gyromètres vibrants quant à eux sont assez proches des gyromètres mécaniques, à la différence près qu'aucune pièce n'est ici en mouvement. Ils détectent le déplacement d'une onde vibratoire dans une structure, dû à la force de Coriolis.

Accéléromètres

Les accéléromètres sont principalement utilisés pour la navigation et le guidage des véhicules de rentrée atmosphérique ou dans l'identification de microvibrations. Une modification de leur tension de sortie est traduite en accélération. Le principe de base consiste à disposer d'une masse dans un boîtier fixée par des ressorts. Lorsque le boîtier est accéléré, la masse a tendance à rester fixe par inertie : elle est donc en mouvement par rapport au boîtier. Les ressorts ont alors pour effet de contrer le déplacement de la masse par rapport au boîtier, et ce déplacement devient alors proportionnel à l'accélération de ce dernier. Les accéléromètres sont capables de mesurer la résultante des forces de surface mais pas les accélérations d'origine gravitationnelle puisque la masse et son boîtier sont soumis au même champ gravitationnel.

Accéléromètre

Le déplacement de la masse par rapport à la boîte dans lequelle elle se trouve dépend de l'accélération de la boîte. , avec l'accélération, la masse, la constante de raideur du ressort et le déplacement du ressort.

Crédit : Gary Quinsac

Parmi les actionneurs inertiels, on distingue les roues d'inertie et les actionneurs gyroscopiques.

Roues à inertie

Les roues à inertie sont les actionneurs les plus utilisés pour le contrôle d'attitude des satellites. Elles permettent le stockage et la restitution du moment cinétique. Elles sont composées d'une masse en rotation autour d'un axe fixe ou volant d'inertie. Le couple créé par une roue à inertie est égal au changement du moment cinétique durant un temps donné (voir la page sur la dynamique d'attitude). Un couple est ainsi créé lorsque le moment cinétique de la roue à inertie est modifié, c'est-à-dire que sa vitesse de rotation change. Cette accélération ou décélération angulaire permet d'emmagasiner ou de libérer du moment cinétique. Ce type d'actionneur peut saturer, c'est-à-dire atteindre une limite supérieure ou inférieure en vitesse angulaire. Dans ce cas il lui devient impossible de fournir un couple selon cet axe (toute évolution possible est une décélération de la roue entraînant un couple dans le sens contraire à celui souhaité). Il faut alors utiliser un autre actionneur à bord pour ramener la vitesse dans une plage admissible tant pour le fonctionnement propre de la roue que pour les performances du contrôle d'attitude. Ces actions de réduction de la vitesse absolue du volant d'inertie, appelées "désaturation", se font lors de l'application d'un couple antagoniste, généralement à l'aide de magnéto-coupleurs ou de propulseurs.

Roues à inertie

Deux des quatre roues à inertie du télescope Kepler durant l'assemblage. Elles sont inclinées différemment afin de permettre un contrôle de l'attitude selon plusieurs axes. L'une de ces roues a été victime d'un problème que l'on rencontre parfois avec ce type d'actuateurs, c'est à dire une friction trop importante. Pour parer à la perte d'une roue à inertie, on se permet généralement des configurations redondantes sur les gros satellites.

Crédit : Ball Aerospace photo

Actionneurs gyroscopiques

Les roues à inertie sont limitées en termes de capacité de couple. C'est la raison pour laquelle les satellites nécessitant de rapides manœuvres ou possédant des fortes inerties (comme les stations orbitales) utilisent plutôt des actionneurs gyroscopiques, ou gyrocoupleurs. Contrairement aux roues à inertie, le principe n'est plus de produire un couple en faisant varier la vitesse de rotation de la roue, mais en modifiant l'axe de rotation d'une roue tournant à une vitesse constante. Une variation du moment cinétique est ainsi créée, se traduisant par un couple perpendiculaire au moment cinétique de la roue et au vecteur vitesse de rotation qui lui est appliqué (suivant le principe du couple gyroscopique). Les actionneurs gyroscopiques consomment moins d'énergie et possèdent une plus grande capacité de couple pour des masses et des tailles comparables. Néanmoins, leur utilisation est limitée par l'importance des couples appliqués aux articulations (risques de panne mécanique) et aux précisions requises dans les mesures de position et de vitesse angulaire.

Actionneur gyroscopique

Fonctionnement d'un actionneur gyroscopique.

Crédit : Gary Quinsac

Le sous-système de propulsion est en interaction proche avec les sous-systèmes mécanique et thermique, notamment pour l'implantation des réservoirs et le contrôle thermique de la propulsion. Il doit également respecter les exigences du contrôle d'attitude et d'orbite (SCAO). Si son principe de fonctionnement est basique (une énergie emmagasinée est libérée afin de transmettre une énergie cinétique à un véhicule) il existe différents types de propulsion, eux-mêmes divisés en sous-groupes :

• la propulsion chimique dans laquelle un gaz à haute est libéré avec une importante quantité de mouvement,
• la propulsion électrique qui utilise une énergie électrique ou électromagnétique afin d'augmenter la quantité de mouvement du carburant expulsé,
• la propulsion "sans-carburant" qui, comme son nom l'indique, ne nécessite pas de carburant. Elle ne sera pas détaillée dans ce cours (ex : voile solaire).

Dans le but de répondre aux exigences du SCAO, les systèmes de propulsion sont en particulier caractérisés par :

• une faible poussée avec de faibles niveaux d'accélération,
• des modes d'opération continus pour le contrôle d'orbite,
• des modes d'opération pulsés pour le contrôle d'attitude,
• des performances prédictibles, précises et répétables,
• leur stockage (fiabilité...),
• l'impact des particules émises.

Certains de ces critères sont repris dans le tableau suivant pour les différents types de propulsion introduits dans ce cours.

Une comparaison de la force de poussée et de l'impulsion spécifique de systèmes de propulsion adaptés aux nano.micro-satellites est proposée dans cette figure.

Classification des sous-systèmes de propulsion

Les principaux systèmes de propulsion sont ici classés par catégorie. Les couleurs indiquées sur cette figure correspondent au couleurs présentes dans la figure suivante.

Crédit : Gary Quinsac

Performances de systèmes de propulsion pour CubeSat

Impulsion spécifique et force de poussée de systèmes de propulsion pour CubeSat (en développement pour la plupart en 2018). Des couleurs permettent de différencier les différents types de propulsion.

Crédit : Gary Quinsac

La propulsion chimique utilise des gaz à haute température et/ou pression, accélérés à travers une tuyère. Les systèmes de propulsion chimique sont généralement associés à des impulsions spécifiques plus faibles que les propulsions électriques, mais de plus grandes poussées. On peut les diviser en deux catégories : les systèmes à gaz froid et à gaz chaud.

Schéma des systèmes de propulsion chimiques

Crédit : Gary Quinsac

La propulsion électrique contourne la limitation fondamentale de la propulsion chimique, c'est-à-dire que l'énergie du carburant expulsé ne dépend que de son énergie chimique et du débit. Une énergie électrique ou électromagnétique est utilisée afin d'éjecter de la matière à des vitesses beaucoup plus élevées. En d'autres termes, on utilise la puissance électrique issue du sous-système électrique (panneaux solaires, batteries...) pour accélérer le carburant et produire une force de poussée. Ces vitesses d'éjection plus importantes se traduisent immédiatement par une plus grande efficacité (moins de carburant est nécessaire pour obtenir un même incrément de vitesse). Néanmoins, les forces de poussée produites sont nettement plus faibles que dans le cas de la propulsion chimique. Par conséquent, la propulsion électrique est préférée lorsque le ΔV à réaliser est important ou lorsque il est nécessaire des manœuvres avec des poussées très faibles (contrôle d'attitude très précis, etc.).

La propulsion électrique offre une grande gamme de performances en fonction du type de sous-système utilisé. On les classe ainsi en trois catégories : les systèmes électrothermaux, électromagnétiques et électrostatiques.

Schéma des systèmes de propulsion électriques

Crédit : Gary Quinsac

Le filtrage et les lois de commande sont présentés car ce spaont des aspects essentiels d'un SCAO. Néanmoins, ce cours a simplement pour ambition de vous en faire une brève introduction.

En mathématiques et en ingénierie, la théorie du contrôle a comme objet l’étude du comportement de systèmes dynamiques. En électronique et traitement du signal, un filtre est originellement un circuit qui rejette une partie indésirable d'un signal. On appelle également filtre un outil logiciel dont le but est la séparation des fréquences contenues dans un signal numérisé.

L'estimation d'attitude consiste à estimer l'état actuel de l'orientation d'un satellite à partir d'un jeu d'observations et de références obtenues à partir de modèles. Ces observations ont été préalablement effectuées par des capteurs fixés sur le satellite. L'objectif est ici de trouver la meilleure estimation de l'état réel du système sous forme de matrice de changement de repère ou de quaternion d'attitude. La résolution exacte du problème n'est généralement pas possible car les observations sont entachées d'erreurs (erreurs de mesure, d'orientation du capteur, de modélisation...). De plus, on dispose souvent d'une surabondance d'information puisque plusieurs capteurs fournissent des informations par rapport à des références différentes (Soleil, champ magnétique, étoile...). On cherche alors à exploiter de manière optimale ces sources d'information en leur associant des modèles d'erreur.

Les problèmes de détermination d'attitude font intervenir des observations (orientation d'objets) pris à certaines dates. La détermination d'attitude statique représente le cas le plus simple, dans lequel on considère que toutes les mesures sont effectuées au même instant. Au contraire, lorsque le temps est introduit, on parle de détermination d'attitude récursive.

La qualité de la connaissance d'attitude dépend des limitations des capteurs, de la quantification des données, du temps d'échantillonnage et du traitement numérique. La détermination d'attitude embarquée est limitée par les capacités de filtrage de l'ordinateur de bord. Il arrive que pour obtenir une meilleure connaissance de l'attitude a posteriori les données des capteurs soient transmises au segment sol où elles sont post-traitées puis exploitables (par le segment sol ou le satellite).

Boucle SCA

Boucle de contrôle d'attitude.

Crédit : Gary Quinsac

Le cas particulier de l'estimation d'attitude à partir de mesures simultanées de directions non parallèles est ici introduit. À chaque observation sont associés deux vecteurs. Le premier est un vecteur unitaire définissant la direction mesurée (observée) de la source (la Terre, le Soleil, une étoile, le champ magnétique terrestre...), exprimée dans le repère lié au satellite. Le second est un vecteur unitaire qui définit la direction de référence de la source, exprimée dans le repère origine (généralement inertiel). L'estimation d'attitude consiste ici à déterminer la matrice de transformation orthogonale satisfaisant pour chaque observation i :

Dans le cas général où nous ne disposons pas de plusieurs mesures de directions non parallèles effectuées au même instant, le problème d'estimation devient dépendant du temps. Bien que des méthodes récursives basées sur l'algorithme QUEST aient été développées et utilisées, le filtrage de Kalman est le moyen le plus utilisé pour estimer l'attitude d'un satellite en présence de bruits de mesure.

La théorie du contrôle s'intéresse au comportement de systèmes dynamiques en fonction de leurs paramètres. Elle peut être vue comme une stratégie permettant de sélectionner la bonne entrée d'un système pour que le sortie soit celle désirée. Cela fait partie du domaine de l'automatique.

Fonction de transfert

Afin de simplifier cette opération, on introduit la fonction de transfert. Une fonction de transfert est la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle d'un système linéaire lorsque ses conditions initiales (ou aux limites) sont nulles. Elle permet de transformer le produit de convolution en simple produit :

Transformée de Laplace

Soit une fonction du temps. Sa transformée de Laplace unilatérale est définie par où est la variable complexe.

Transformées de Laplace usuelles

f(t)	F(p)
(Dirac)

Soit l'équation où et sont respectivement l'entrée et la sortie et et sont des polynômes à coefficients réels en (d/dt). Si l'on considère que les conditions initiales sont nulles, on peut réécrire l'équation différentielle précédente pour obtenir la fonction de transfert H :

Les pôles d'une fonction de transfert sont les valeurs pour lesquelles le dénominateur D, aussi appelé équation caractéristique, s'annule. Attention, tout ceci est vrai à condition que la fonction de transfert soit sous forme irréductible. Pour que le système soit stable, il faut que tous les pôles soient strictement à l'intérieur du cercle unité ().

Le dénominateur de cette équation est un polynome dont les racines déterminent le type de réponse. Le contrôleur peut être utilisé pour stabiliser le système ou lui donner des caractéristiques particulières.

Boucle ouverte ou fermée

Dans la boucle ouverte, la durée du cycle de lavage ne dépend pas de la propreté de la vaisselle qu'il contient. Afin d'adapter cette durée à l'état des assiettes et verres, il faut qu'un capteur de propreté fournisse une information à comparer à la propretée désirée et qu'un contrôleur en déduise une nouvelle durée. C'est ce que l'on appelle une boucle fermée.

Crédit : Gary Quinsac

Fonction de transfert

Crédit : Gary Quinsac

Diagramme en bloc de la boucle de contrôle

Chaque élément de la boucle de contrôle d'attitude est représenté par sa fonction de transfert.

Crédit : "Fundamentals of Spacecraft Attitude Determination and Control", F. Landis Markley et John L. Crassidis.

Le contrôleur a pour objectif de convertir l'erreur, c'est-à-dire l'écart entre la mesure de la sortie de la boucle et le signal de référence, en un signal de contrôle qui va finir par ramener l'erreur à 0.

Les performances du contrôleur et a fortiori de l'asservissement sont décrites par plusieurs paramètres :

• la rapidité, qui définit la vitesse à laquelle une valeur de sortie stable est atteinte; la rapidité est caractérisée par le temps de réponse du système ;
• la stabilité, qui définit la capacité de l'asservissement à produire une sortie tendant vers une valeur finie pour une entrée constante (pas d'oscillation ou de divergence) ;
• le dépassement de la consigne, qui correspond au dépassement par la sortie de la valeur de consigne avant de se stabiliser ;
• la précision, c'est-à-dire la capacité de l'asservissement à atteindre la consigne avec précision le plus rapidement possible.

L'asservissement doit ainsi assurer un compromis entre performance et stabilité. La performance est proportionnelle à la valeur du gain du correcteur, mais à partir d'une certaine valeur celui-ci a tendance à déstabiliser le système.

Facteur d'amortissement

Réponse pour différents facteurs d'amortissement.

Crédit : "Fundamentals of Spacecraft Attitude Determination and Control", F. Landis Markley et John L. Crassidis.

Cette section doit vous permettre de vous exercer sur certaines des notions présentées dans ce cours. Un QCM reprend la première partie du cours, soit la découverte d'une mission spatiale, du standard CubeSat et du système de contrôle d'attitude et d'orbite. Des exercices plus poussés sont ensuite proposés, recouvrant la représentation d'attitude, les équations du mouvement, les couples perturbateurs et le contrôle d'attitude, la propulsion et enfin les lois de commande. La majeure partie des aspects abordés dans ce cours trouvent ainsi un écho dans ces exercices.

Le travail d'un ingénieur spatial est de développer une mission capable de répondre à des besoins. Dans notre cas, ces besoins sont spécifiés par des chercheurs. Quatre missions nous ont ainsi été proposées. Nous intervenons au tout début de ces projets puisque nous sommes chargés d'étudier leur faisabilité.

Sonde de Langmuir sur le satellite Demeter

On peut voir une sonde de Langmuir embarquée par le satellite Demeter.

Crédit : CNRS

Télescope d'observation de la Terre

Télescope hyperspectral d'observation de la Terre EnMAP.

Crédit : DLR

Transit de Vénus

Photographie pris lors du dernier transit de Vénus devant le Soleil en 2012.

Crédit : ESA

Mission AIDA

Vue d'artiste de la mission AIDA accompagnée d'un CubeSat autour du système d'astéroïdes Didymos. AIDA observe l'impact de la mission DART sur l'astéroïde principal.

Crédit : ESA/Science Office

Voici une liste de questions auxquelles vous devez essayer de répondre, en le justifiant, pour les quatre missions qui vous ont été proposées.

Bienvenue dans ce cours portant sur l'imagerie directe des exoplanètes.

Vous allez découvrir ici cette technique de prospection et d'étude, à la pointe de la technologie et qui fait partie des quelques méthodes pouvant prétendre à la découverte d'une planète jumelle de la Terre...

La première exoplanète découverte par imagerie directe

C'est en 2004 que Gaël Chauvin et ses collaborateurs publient dans Astronomy and Astrophysics la première image potentielle d'une exoplanète, autour de la naine brune 2M1207 (un étoile qui ne fusionne pas l'hydrogène car trop légère pour atteindre les condition extrêmes nécessaires, voir cours sur la Formation et évolution II.A.2. ) grâce à l'instrument NaCo du VLT. [Pour plus d'informations cliquez ici]

Crédit : ESO

[Cliquez ici pour commencer le cours]

Pour pouvoir suivre ce cours dans les meilleurs conditions il vous faut maîtriser les bases des domaines suivants :

Crédit : Wikimedia, Andrew Dunn, CC ASA 2.0

• Dynamique newtonienne, pour comprendre la position et les déplacements de la planète

• Optique géométrique, pour comprendre le fonctionnement de la collecte de photons sur un détecteur

Optique ondulatoire, pour pouvoir comprendre le fonctionnement des instruments :

• Interférence (1, 2)

• Diffraction (1, 2)

• Flux!

Vous êtes invités à au moins parcourir les liens mis à disposition dans cette page pour pleinement bénéficier de ce cours.

L'imagerie directe d'exoplanètes se propose d'obtenir l'image d'une planète tournant autour d'une autre étoile que le soleil.

L'idée de base est de prendre des photographies comme on le fait pour les planètes du système solaire.

Le système que l'on observe

Une vue d'artiste de β Pictoris b

Crédit : ESO, Calçada

Malheureusement, à cause de leurs distances, il est exclu pour le moment de pouvoir distinguer le disque de n'importe laquelle des exoplanètes connues. Nous les voyons donc comme une source ponctuelle, et de plus, l'image de ce point est déformée par l'optique de l'instrument utilisé.

L'image que l'on obtient

Une observation de β Pictoris b (dans les cases du bas, la planète est la tache blanche en haut à gauche du centre de l'image).

Crédit : Anne-Marie Lagrange et collaborateurs, 2009

Les planètes du système solaire sont facilement observables, la plupart le sont même à l'oeil nu ! Et pendant des siècles on les a étudiées uniquement par l'imagerie dans le visible, d'abord à l'oeil nu puis avec des lunettes et des télescopes.

Le système solaire

Schéma du système solaire. Les tailles des objets sont à l'échelle, mais pas les distances !

Crédit : Wikimedia commons: Yelkrokoyade.

Chercher à faire l'image d'une planète tournant autour de son étoile peut sembler, de prime abord, la meilleure façon de découvrir une exoplanète.

À la différence des méthodes comme la vélocimétrie radiale ou l'étude des transits, l'idée n'est pas ici d'étudier une étoile perturbée par de la présence d'une planète mais bien d'étudier la lumière de la planète elle-même. Cette lumière comprend pour partie la lumière de l'étoile réfléchie par la surface de la planète et, pour partie, de la lumière émise par la planète elle-même.

Un exemple de transit

Crédit : CNES

Une planète possède une luminosité très faible par rapport à son étoile hôte, cette dernière est aveuglante en comparaison !

Et l'on doit pouvoir séparer, sur le détecteur, l'étoile et la planète, très proches l'une de l'autre (8 minutes-lumière pour une planète à une unité astronomique de son étoile) mais toutes deux situées à plusieurs années-lumière de nous !

Pour se faire une idée de la difficulté

Imaginez une gardien de phare avec une chandelle juste à coté de la lanterne du phare. Maintenant prenez la mer jusqu'à ne plus voir la lumière du phare que sous forme d'un point et trouvez un moyen de voir la lumière de la flamme de la chandelle ! Voilà une idée de la difficulté du travail à effectuer.

Crédit : Wikimedia commons : blue eyes photographies

Les techniques d'imageries directes ont plusieurs buts :

• Découvrir des exoplanètes qui seraient très difficilement détectables par d'autres méthodes.
• Obtenir des détails sur l'atmosphère de ces exoplanètes.
• Contraindre (aider à construire des modèles théoriques) les modèles de formation des systèmes planétaires.

L'imagerie directe permet d'accéder aux planètes situées loin de leur étoile et suffisamment grosses (de masse supérieure à celle de Jupiter). Ces planètes sont difficiles à déteminer par les méthodes indirectes (transits ou vitesses radiales) car elles demandent une étude sur au moins une période orbitale complète, soit plusieurs (dizaines d') années .

Répartion des planètes suivant les méthodes de détection

Répartition des exoplanètes en masse/période, les points verts sont les planètes observées par imagerie directe.

Crédit : Données provenant du site exoplanet.eu .

Si on arrive à identifier la lumière émise par une planète, et que la quantité de lumière reçue est suffisante, on peut la décomposer par spectroscopie. Cette technique nous permet de déterminer la composition chimique de l'atmosphère de la planète, d'obtenir des informations, comme la température efficace (ou effective temperature en anglais).

Cette technique nous permettra peut être un jour prochain d'identifier la première exo-Terre dotée d'une atmosphère ressemblant à la nôtre...

Spectroscopie

Crédit : Wikimedia Commons, CC ASA 3.0

La formation des planètes et la formation des systèmes planétaires sont des phénomènes encore mal compris, augmenter nos connaissances sur les planètes géantes, jeunes, éloignées de leur étoile, nous permettra de déterminer lesquels parmi les modèles actuels sont valides.

Image d'une planète en formation ?

En 2013 Sascha Quanz et collaborateurs publient dans the Astrophysical Journal un article sur une potentielle planète en formation détectée par l'instrument NaCo au télescope VLT (Very Large Telescope). [Pour en savoir plus cliquez ici]

Or les jeunes Jupiter sont justement les cibles privilégiées de l'imagerie directe, voyons pourquoi dans les écrans suivants ...

L'observation par imagerie directe nécessite certaines conditions sur les cibles observables :

• Le contraste entre l'étoile et la ou les exoplanètes.
• La luminosité apparente de l'étoile et des exoplanètes.
• Le rapport des distances étoile/exoplanète et étoile/Terre.

Spectres dans le système solaire

Comparaison de la distribution des flux spectraux lumineux émis (en échelle logarithmique) en fonction de la longueur d'onde dans le système solaire. La composante de gauche du spectre (autour d'un micron) correspond à la réflexion de la lumière du soleil sur la planète, la partie droite autour de 20 µm correspond au rayonnement thermique émis par chaque planète et dépendant de sa température.

C'est en comparant les flux lumineux du Soleil et de ses planètes que l'on peut remarquer au moins deux choses :

• le contraste entre la lumière provenant du Soleil et celle provenant des planètes est très important (entre 4 et 10) ⇒ dans ces conditions il est très difficile d'identifier la lumière en provenance de la planète dans un flux de lumière émanant de l'ensemble étoile+planète(s).
• il existe des plages de longueurs d'onde (appelés domaines spectraux) où le contraste est un peu plus favorable ⇒ nous pouvons identifier des filtres photométriques et des domaines spectraux dans lesquels il est plus simple de faire ressortir la lumière d'une planète (par exemple, pour observer Jupiter de l'extérieur du système solaire, le meilleur contraste se situe autour de 50 µm).

Attention : un contraste d'un facteur X correspond à un rapport de !

Comme vous pouvez facilement l'imaginer, pour pouvoir détecter/voir la planète, la différence de luminosité entre l'étoile et la planète doit être aussi faible que possible. Il est donc plus facile de chercher des exoplanète autour d'étoiles peu brillantes.

La luminosité de l'étoile dépend de sa température, cette dernière dépendant de sa masse, et la durée de vie d'une étoile st inversement proportionnelle à cette masse. Suivant sa position dans le diagramme HR (voir ci-dessous) l'étoile évolue donc plus ou moins vite.

Diagramme de Hertzsprung-Russell

Le diagramme HR, pour diagramme Hertzsprung-Russell, permet de classer un étoile grâce à sa luminosité en fonction de sa température. Sur la séquence principale (Main sequence, V, ou MS) on trouve les étoiles fusionnant l'hydrogène (comme le Soleil). En haut à gauche donc à forte température et luminosité, on trouve les étoiles bleues, très jeunes, et en bas à droite les naines rouges qui sont peu brillantes et à faible température.

Crédit : Richard Powell et penubag, CC ASA 2.5

Si on cherche à étudier les exoplanètes autour d'une étoile de faible luminosité, on va donc être intéressé par des étoiles de faible masse et faible température, voire même par des naines brunes. Dans les faits, la première exoplanète imagée l'a été autour d'une naine brune.

Mais une planète comme β Pictoris b tourne autour d'une étoile A (blanc-bleutée) de la séquence principale ! Comment se fait-il que l'on puisse imager une planète autour d'une étoile aussi brillante ? Une étoile de type A est très massive, elle quitte donc rapidement la séquence principale. Une étoile A sur la séquence principale est donc jeune, et ses planètes le sont aussi : ainsi β Pictoris a un âge compris entre 10 et 20 millions d'années seulement. Pourquoi est-il intéressant de cibler un système planétaire si jeune ?

Les sources d'énergie permettant à une planète de rayonner peuvent être de deux types :

• externe : l'étoile, dont le rayonnement est soit directement réfléchi, soit absorbé puis réémis de façon thermique => le flux reçu par la planète étant inversement proportionnel au carré de la distance la séparant de l'étoile, cette composante sera négligeable pour des planètes éloignées de leur étoile .
• interne : par exemple provenant de l'énergie résiduelle du processus de formation =>une planète jeune, née d'un processus cataclysmique, sera un objet très chaud se refroidissant avec le temps.

Courbes d'évolution de la luminosité d'une planète

En 2012 Christoph Mordasini et collaborateurs présentent dans Astronomy & Astrophysics, un modèle d'évolution planétaire. Vous pouvez voir ici l'évolution de la luminosité (comparée à la luminosité solaire, le tout en échelle logarithmique) de planètes de type géante gazeuse (comme Jupiter) en fonction du temps. Observez le pic autour d'un million d'années qui survient à la fin du processus de formation et à partir duquel la luminosité se met à chuter.

Comme nous l'avons présenté précédemment, notre problème est similaire à celui d'observer à plusieurs kilomètres de distance la lumière d'une chandelle posée à côté de la lampe d'un phare. Si vous collez la chandelle à la lampe du phare vous n'avez aucune chance de la voir car vous serez totalement éblouis. En revanche, si vous attachez la chandelle à un bras télescopique de plusieurs mètres, vous pourrez la détecter plus facilement.

De plus, si, avec votre bateau, vous vous éloignez trop du phare, vous êtes sûr de ne pas pouvoir observer la chandelle. Pour augmenter les chances d'observer directement une exoplanète, il faut donc que la séparation apparente entre l'étoile et l'exoplanète sur le ciel soit aussi grande que possible, ce qui nécessite :

• que l'exoplanète soit aussi éloignée de son étoile que possible ;
• et/ou que l'exosystème soit aussi proche que possible de l'observateur.

Exemple de relation distance,orbite,distance angulaire

La première planète imagée orbite à environ 55 fois la distance Terre-Soleil de son étoile hôte, qui elle-même se trouve à 70 pc de nous. Cela se traduit par une distance angulaire de 778 mas (milliarcsecondes), ce qui est accessible aux grands télescopes actuels.

Crédit : ESO

Dans les écrans qui suivent vous trouverez quelques exemples d'instruments qui sont utilisés ou vont être utilisés dans un proche avenir pour imager les exoplanètes. Cette liste est loin d'être exhaustive mais se veut constituée d'exemples concrets d'instruments dédiés ou non à cette technique.

Pour conclure cette partie d'introduction sur le sujet de l'imagerie directe des exoplanètes, voici deux exemples de systèmes planétaires, confirmés et étudiés.

• Le système comportant au moins 4 planètes HR 8799
• Le système β Pictoris, avec une planète imagée combinant proximité à son étoile et jeunesse.

Autour de l'étoile HR 8799 se trouve un système d'au moins 4 planètes géantes plus massives que Jupiter, c'est une étoile jeune (moins de 100 millions d'années), chaude (7230 K de température efficace) et plutôt proche de nous (40 pc).

HR8799

En 2010 Christian Marois et collaborateurs ont publié dans Nature la découverte d'une quatrième planète (HR8799 e) autour de l'étoile HR 8799 observée avec le télescope Keck II.

Ce système de planètes nous permet de rappeler ici la nomenclature utilisée actuellement pour nommer une exoplanète : on commence par le nom de son étoile hôte suivi d'un lettre minuscule partant de "b", les lettres étant distribuées dans l'ordre de découverte des exoplanètes qui ne correspond pas forcément avec un ordre de taille ou de distance à l'étoile hôte. Ainsi, HR 8799 e a été la dernière à être découverte car la plus proche de son étoile et donc la moins facilement séparable.

Comparaison avec le système solaire

Répartition en demi-grand axe (en unités astronomiques, avec une échelle logarithmique) des planètes dans le système HR8799 (en blanc) comparé au Système solaire (en jaune). Le diamètre de chaque point varie en fonction de la masse de la planète.

Autour de la jeune (20 millions d'années) et chaude (8040 K de température efficace) étoile β Pictoris tourne la planète β Pictoris b, située à seulement 20 pc (60 années-lumière) de nous. C'est un jeune Jupiter massif qui perturbe le disque de gaz et de poussières gravitant autour de son étoile.

Beta Pictoris b

En 2009 Anne-Marie Lagrange et collaborateurs publient dans Astronomy and Astrophysics la première image de β Pictoris b, prise avec NaCo au VLT.[Pour plus d'informations cliquez ici]

Une planète jeune et proche de son étoile

Voici la répartition des planètes observées par imagerie directe selon l'âge (en miliards d'années, Gyr) et le demi-grand axe (en unités astronomiques, AU). Vous trouverez, en rouge, l'exoplanète β Pictoris b.

Nous commencerons cette partie par quelques rappels sur la physique des objets que nous étudions.

Puis nous verrons les informations que nous donne la lumière provenant de ces objets.

Enfin nous verrons comment capturer cette lumière et extraire ces informations.

Fomalhaut b

Crédit : ESA/NASA

Commençons par étudier ce qui se passe d'un point de vue physique dans le système planétaire que l'on va chercher à imager:

• Les objets se déplacent les uns par rapport aux autres.
• Les exoplanètes sont issues d'un complexe et infernal processus de formation.
• Les exoplanètes ne sont pas seules dans le système !
• La lumière émise par les planètes va dépendre de leurs températures, et ces dernières vont dépendre des âges des exoplanètes.

La planètes suivent les lois de la mécanique découvertes par Newton. En particulier, elles sont soumises à la force de gravitation universelle qui définit des orbites képlériennes.

La position et le mouvement relatif de la planète par rapport à son étoile vont nous permettre de contraindre les éléments de l'orbite (demi grand axe, inclinaison, excentricité), sa période et donc les masses des corps.

Éléments d'une orbite

A – planète B – étoile C – plan de référence, l'écliptique D – Plan orbital de la planète E – noeud descendant F – Périapse G – noeud ascendant H – Apoapse i – Inclinaison J – Direction de référence (ligne de visée) Ω – Longitude du noeud ascendant ω – Argument du périapse

Crédit : Wikimedia commons, CC ASA 3.0

Pour aller plus loin.

Une planète commence sa formation sous la forme d'un noyau solide qui grossit par accrétion de matière. Si la masse de ce planétoïde dépasse quelques dizaines de (1 correspondant à une fois la masse Terre) , l'accrétion de gaz augmente brutalement pour former une planète géante.

Naissance d'une planète géante

En 2012, Christoph Mordasini et collaborateurs publient dans Astronomy and Astrophysics une étude sur la formation des planètes, ici celle de Jupiter, de haut en bas et de gauche à droite, se trouvent l'évolution de la masse, du taux d'accrétion, du rayon et la luminosité de la planète en fonction du temps.

Pour en savoir plus, reportez-vous au cours sur la formation des planètes en cliquant ici.

Lorsqu'une étoile vient de se former, elle est entourée d'un disque de poussière et de gaz comme β Pictoris par exemple RAJOUTER LE LIEN. C'est dans ce dernier que vont se former les planètes. Au fil de l'évolution du système planétaire, ce disque va être alimenté par les collisions entre les comètes et les astéroïdes. Ce disque de poussière est très lumineux dans les systèmes jeunes. Il absorbe le rayonnement de l'étoile et son émission (principalement dans l'infrarouge lointain) va avoir tendance à gêner l'observation directe des exoplanètes.

Dans le système solaire le contraste moyen entre la lumière zodiacale et la lumière solaire est de 7 ordres de grandeur. alors que le rapport des masses entre le disque de poussière et les planètes vaut et que le disque s'étend de 5 à plusieurs centaines d'UA. Il existe des étoiles autour desquelles on trouve un disque plus de 1200 fois plus brillant, comme η Corvi !

On exprime l'intensité diffusée par la poussière interplanétaire en zodi, 1 zodi étant l'intensité diffusée par le disque de notre système solaire.

Disque

Image composite combinant le disque et la planète en orbite autour de β pictoris (ici masquée, au centre du cercle) .

Crédit : ESO/Lagrange

Tout corps, à une température donnée, émet un rayonnement particulier appelé rayonnement thermique (ou par abus, rayonnement de corps noir, un corps noir étant un corps parfaitement absorbant à toutes les longueurs d'onde).

Le spectre du rayonnement d'un corps noir ne dépend que de sa température . La longueur d'onde où ce spectre atteint son maximum est donnée par la loi de Wien: . , et désignent respectivement les constantes de Planck, la vitesse de la lumière et la constante de Boltzmann. Un corps chaud présente donc un pic d'émission décalé vers les courtes longueurs d'onde par rapport à un corps plus froid. Aux températures ambiantes, ce pic est dans l'infrarouge (dit infrarouge thermique), mais pour des corps atteignant une température plusieurs milliers de Kelvins, ce maximum se décale dans le spectre visible : c'est le cas des étoiles par exemple, ou bien d'un tison chauffé à blanc.

Le flux total (intégré sur toutes les longueurs d'onde) émis par un corps noir ne dépend également que de sa température, suivant la loi de Stefan-Boltzmann : où désigne la constante de Stefan-Boltzmann. Un corps chaud rayonne donc bien davantage qu'un corps froid.

La température du corps noir émettant autant de flux thermique que la planète est appelée température efficace () de la planète. Elle est en règle générale voisine de la température physique de la région de la planète d'où est principalement issue l'émission thermique (atmosphère, voire surface solide pour des planètes telluriques dotées d'une atmosphère mince).

Or, on a pu voir précédemment, que le processus de formation des planètes était un processus impliquant des chocs et autres phénomènes violents, ce qui provoque un dégagement d'énergie considérable sous forme de chaleur.

Evolution température

En 2012, Christoph Mordasini et collaborateurs publient dans Astronomy & Astrophysics une étude sur la formation des planètes, ici celle de Jupiter. En rouge vous pouvez remarquer l'évolution de la température efficace de la planète en fonction du temps.

Vous pouvez remarquer que, une fois formée, plus la planète est jeune, plus elle est chaude, et donc plus important est le flux lumineux qu'elle émet. Mais aussi plus la longueur d'onde du maximum de luminosité est courte (et se rapproche du domaine visible) ! Ainsi Jupiter émet actuellement son maximum d'émission autour de 30 µm, tandis que β Pictoris b l'émet autour de 1,7 µm.

Pour en savoir plus.

Le rayonnement de corps noir des jeunes exoplanètes géantes culmine généralement dans le proche infrarouge. C'est une chance car il y a de nombreuses raies moléculaires (méthane, monoxyde de carbone...) et atomiques (Na, K ...) dans ce domaine spectral, ce qui permet potentiellement d'analyser la composition chimique de ces planètes.

Pour observer depuis le sol dans ce domaine de longueurs d'onde, il faut hélas se restreindre aux fenêtres de transparence de l'atmosphère terrestre, comme les fenêtres J,H et K situées dans le proche infrarouge (voir l'image ci-dessous).

Filtres J (∼1,1-1,4 μm), H(∼1,5-1,8 μm) et (∼2-2,5 μm)K (en rouge et vert) disponible dans le proche infrarouge à l'ESO, comparé à la transmission de l'atmosphère terrestre (bleu).

Crédit : Marco Gullieuszik

La formation des planètes étant quasi-concomittante à celle de leur étoile hôte, on assimile souvent l'âge de la planète à celui de son étoile. Par exemple la Terre a terminé sa formation 20 millions d'années après le Soleil, ce qui est négligeable en comparaison des 4,6 milliards d'années du système solaire.

Fragmentation d'un nuage interstellaire

Modèle de formation de disque protoplanétaire par fragmentations d'un nuage se situant dans le milieu interstellaire. Dans ce nuage un très grand nombre d'étoiles sont en formation en même temps, mais elles sont de masses différentes. Nous allons pouvoir répartir les étoiles résultantes sur un diagramme HR et, suivant leur emplacement, pouvoir dater le groupe d'étoiles et donc contraindre l'âge des exoplanètes possiblement présentes.

Crédit : Starplan

Activité

Age/Activité

Eric E. Mamajek et Lynne A. Hillenbrand ont publié en 2008 dans the Astrophysical Journal une étude sur les estimateurs d'âge des étoiles de type solaire. Ce graphique nous présente la répartition des âges, en ordonnées (en années et en échelle logarithmique), en fonction d'un marqueur d'activité à savoir : plus il est élevé, plus l'activité est grande. Les courbes représentes plusieurs tentatives pour déterminer une relation entre ces deux observables.

On peut aussi relier, pour un type stellaire donné, l'âge à l'activité et à la couleur de l'étoile. La couleur s'obtient en prenant deux mesures de flux photométriques dans deux domaines de longueur d'onde différents. Pour l'activité, l'observation de plusieurs marqueurs spectroscopiques est possible ainsi que l'émission dans le domaine des rayons X.

Activité/X

Dans le même article de Eric E. Mamajek et Lynne A. Hillenbrand, on trouve ce graphique qui nous présente une relation linéaire entre le marqueur spectroscopique qu'est le et le rayonnement en X . B-V est l'indice de couleur des étoiles qui peut donc être relié à leur type spectral.

Rotation

La rotation de l'étoile est aussi liée à l'activité et donc à son âge, la comparaison de la rotation propre d'une étoile avec sa couleur va donc nous permettre de remonter à ce premier paramètre, pour un type spectral donné.

Rotation/Activité

L'article de Eric E. Mamajek et Lynne A. Hillenbrand présente enfin ce graphique qui nous présente les relations linéaires entre le marqueur spectroscopique qu'est le et la rotation de l'étoile exprimée par le nombre de Rossby.

Les planètes et les étoiles émettent des photons dans l'espace et certains vont arriver jusqu'à la Terre... Notre seule source d'information, ce sont ces photons !

Les observations sont effectuées avec un ou plusieurs télescopes, qui vont collecter et envoyer un grand nombre de photons au foyer de l'instrument. L'image se forme alors sur un capteur CCD (Charge-Coupled Device, dispositif à transfert de charges), qui est un récepteur à photons transformant ces derniers par effet photoélectrique en courant électrique. Ceci permet donc l'enregistrement d'une image notamment pour être envoyée et traitée par un ordinateur.

Sont identifiables sur l'image obtenue par le capteur CCD :

• L'emplacement de la planète.sur l'image
• Le nombre de photons en provenance de la planète

Observation de Fomalhaut b

Pour voir la planète, il faut que son image et celle de l'étoile ne soient pas superposées, cela sous-entend que leur écartement angulaire sur le ciel soit suffisamment important. La mesure de cet angle se fait en seconde d'arc (aussi noté "), qui est une subdivision du degré, un degré correspondant à 60 minutes d'arc (60') et une minute d'arc à 60 secondes d'arc (60").

Cette séparation angulaire dépend de la distance séparant les deux corps (voir la partie mécanique) et de la distance séparant le système exoplanétaire de l'observateur terrestre . Or, si l'on prend un cas typique d'un planète à 100 UA autour d'un étoile située à 10 pc de nous, le rapport vaut plus de cent mille ! La séparation angulaire entre l'étoile et l'exoplanète vues depuis la Terre est alors donnée simplement par la formule trigonométrique . Comme , cette formule se simplifie en si l'on mesure en radians (il faudra alors le convertir en secondes d'arc : ).

La lumière qui nous permet d'identifier la planète provient de plusieurs mécanismes physiques. L'étoile émet de la lumière au niveau de sa photosphère, dont l'intensité et la couleur vont dépendre de sa température efficace (cf. corps noir). Mais la planète (suivant son éloignement par rapport à son étoile) va réfléchir une partie de la lumière stellaire suivant son albédo (littéralement sa capacité à réfléchir la lumière). Elle va aussi émettre sa propre émission thermique selon sa propre température efficace. AJOUTER LIEN.

On exprime la différence d'intensité lumineuse entre l'étoile et la planète grâce au contraste, définit comme :

Le contraste en magnitude est défini comme la différence de magnitude (LIEN VERS PAGE SUIVANTE) entre la planète et l'étoile.

Comme nous l'avons vu précédemment, le flux lumineux émis par les planètes du système solaire se compose de deux parties, une partie (au niveau de la flèche rouge) dû à l'albédo de la planète qui va provoquer une réflexion de la lumière solaire (avec un maximum au même endroit que le maximum solaire, puisqu'il s'agit de la même lumière) et une partie d'émission thermique propre (au niveau de la flèche bleue). La température des planètes étant plus froide que celle de leur étoile, ce second maximum local se situe à de plus grandes longueurs d'onde.

Pour aller plus loin sur la photométrie, cliquer ici.

Pour mesurer la luminosité d'un objet en astrophysique, on utilise les magnitudes.

Par définition la magnitude est liée au flux spectral émis ou réfléchi par la formule où est le flux spectral d'une étoile de référence (par défaut Véga) qui correspond arbitrairement à une magnitude de 0.

En général on considère deux types de magnitudes :

• la magnitude apparente qui correspond à la luminosité observée, notée (minuscule) avec indication optionnelle d'une bande spectrale (ainsi un objet observé dans un filtre V, correspondant à la bande "visible" autour de 551 nm, verra sa magnitude apparente notée ou même )
• la magnitude absolue qui correspond à la luminosité apparente de l'objet s'il était placé à 10 pc de nous, notée (majuscule) : avec la distance séparant l'observateur de l'objet en parsec et un facteur de correction provenant de l'absorption par le milieu interstellaire, négligeable sur les courtes distances. Si on consiodère la même bande spectrale que dans l'exemple précédent, la magnitude absolue sera notée .

[Pour aller plus loin.]

Les magnitudes sont d'usage courant en astronomie et très utiles. Elles permettent, entre autres choses, de construire des diagrammes couleur-magnitude ou couleur-couleur qui donnent des informations similaires au diagramme HR tout en pouvant être construits beaucoup plus facilement à partir des observations disponibles. Ici, une couleur désigne la différence entre deux magnitudes observées dans deux bandes spectrales différentes.

Diagramme couleur-couleur

Diagramme couleur-couleur comparant les naines rouges (M dwarfs) naines brunes (L et T dwarfs) et les planètes HR8799 b,d et d. Ici on compare des observations dans l'infrarouge dans avec des filtres K',Ks,L' et M'..

Crédit : Galicher et al. 2011

[Pour aller plus loin.]

De gauche à droite : image de l’étoile corrigée par optique adaptative, image de l’étoile atténuée par coronographie, SDI, ADI (ces sigles recouvrent des techniques expliquées par la suite).

Crédit : LESIA

Une fois les photons observés, il faut trouver puis étudier les éventuelles planètes... Or ce n'est pas chose facile : les planètes ne sont pas du tout visibles directement dans les données brutes (les deux premières images en partant de la gauche de la figure ci-dessus).

Il faudra donc utiliser certains concepts avancés de traitement du signal :

• En utilisant l'optique ondulatoire et les tavelures
• En utilisant la coronographie
• En utilisant l'optique adaptative
• En utilisant l'interférométrie

Hubble space telescope

Crédit : NASA

La lumière est une onde électromagnétique, et l'intensité lumineuse est proportionnelle au carré de l'amplitude de cette onde. Comme toute onde, elle est sujette aux phénomènes de diffraction et d'interférence, qui vont être particulièrement importants ici. Ainsi l'image de l'étoile hôte, que l'on assimile a une source ponctuelle vue depuis la Terre, va devenir une tache d'Airy (voir image ci-dessous) sur le récepteur du fait de l'utilisation d'instruments d'ouverture finie (l'ouverture est directement reliée au diamètre du miroir principal du télescope). La lumière de l'étoile va donc s'étaler sur l'ensemble du détecteur, compliquant la détection de la ou des planètes éventuellement présentes !

Il est important de remarquer que cette tache centrale a une taille caractéristique proportionnelle à la longueur d'onde et inversement proportionnelle à l'ouverture du télescope. Cela implique que pour avoir une résolution suffisante, il faut une ouverture en adéquation avec la longueur d'onde : pour pouvoir espérer observer une planète proche de son étoile dans l’infrarouge lointain, il faudrait ainsi un télescope de plusieurs dizaines de mètres d'ouverture !

Image simulée d'une source ponctuelle à travers un instrument d'ouverture finie et circulaire : tache d'Airy

Crédit : Wikimedia commons, CC ASA, Epzcaw

Mais cet aspect ondulatoire présente aussi des avantages : il permet de mettre en œuvre des techniques d'observation basées sur la combinaison de plusieurs télescopes. Ainsi, l'interférométrie permet ainsi de combiner plusieurs télescopes individuels et distants les uns des autres pour obtenir un gain de séparation angulaire. L'interférométrie permet aussi d'occulter l'étoile hôte en jouant sur les interférences destructives.

[Pour aller plus loin]

Comme constaté précédemment, l'image de l'étoile hôte formée sur le récepteur d'un instrument se présente sous la forme d'une tache qui recouvre les images des planètes tournant éventuellement autour d'elle. Notre but va donc être de retirer l'image de l'étoile et d'autres résidus parasites qui pourraient se former à cause des phénomènes de diffraction et d'interférence (les tavelures). Un moyen naturel de retirer la lumière d'une étoile, observable sur Terre depuis l'aube des temps, est le phénomène de l'éclipse solaire, où le Soleil est masqué par la Lune.

Coronographe de Lyot

Schéma original du coronographe de Lyot, tel qu'il le présenta lui-même en 1932. La lentille placée en A forme l'image du soleil sur un disque en B, légerement moins large que l'image du soleil. Puis la lentille C produit une image A'A" sur un diaphragme dont le centre est occupé par le petit écran E. Les bords du diaphragme arrêtent la lumière diffractée par les bords de la première lentille, le petit écran arrête la lumière des images solaires produites par les réflexions parasites sur les faces de la lentille. L'image de la seule couronne solaire finit par apparaître en B'B".

Crédit : Domaine public

C'est sur ce principe que l'astrophysicien Bernard Lyot développa au début du vingtième siècle un coronographe, instrument qui permet de cacher la lumière du soleil par l'utilisation d'un masque disposé sur le chemin optique et d'un collimateur pour atténuer les résidus. Les instruments qui font de l'observation en imagerie directe d'exoplanète utilisent ce même concept, voire des versions plus évoluées : coronographie de phase, coronographie interférentielle achromatique, etc.

[Pour en savoir plus sur les coronographes actuels et futurs cliquez ici.]

Représentation du fonctionnement d'un coronographe de Lyot.

Crédit : JLB pour SESEP

Voici ce qui se passe dans un coronographe de Lyot, expliqué au moyen de l'optique géométrique. La lumière de l'étoile (vert) et celle de la planète (rouge), sont légerement décalées d'un certain angle sur le ciel. Si l'on place la lumière de l'étoile dans l'axe de l'instrument, celle de la planète arrive avec un certain angle, on dit que la planète est située hors-axe. Une lentille placée en A va donc faire converger en son foyer image les rayons de l'étoile mais pas ceux de la planète, il suffit alors de placer un petit écran au foyer image (dans le plan B) de la lentille (placée en A) pour arrêter toute la lumière provenant de l'étoile et ne garder que celle de la planète, dont on forme finalement l'image seule sur l'écran D.

Malheureusement cela ne fonctionne pas directement. En effet, il faut considérer ici le fait que l'ouverture de l'instrument est finie (le télescope a un certain diamètre), ce que l'on modélise ici par la présence d'un collimateur en A.

Dans le cadre de l'optique ondulatoire, si une onde plane passe à travers un trou, elle change de forme, le trou devient virtuellement l'emplacement d'une nouvelle source de lumière : c'est le phénomène de diffraction. Le principe de de Huygens présente qu'en optique ondulatoire, chaque point atteint par l'onde se comporte comme une nouvelle source ponctuelle)

Crédit : Observatoire de Paris

En tenant compte du phénomène de diffraction par l'entrée de l'instrument (rayons en bleu), une partie importante des rayons difractés ne sont pas arrétés par l'écran en B. Il faut donc placer un autre diaphragme sur le chemin, en C, qui va bloquer la plus grande partie des rayons diffractés.

Dans une approche pleinement ondulatoire (on utilisera le formalisme complexe par la suite) : si l'on considère l'amplitude de l'étoile avant l'entrée dans l'instrument de diamètre et sa phase , alors la phase du rayon provenant de la position sur le plan A, vu à la position angulaire au niveau du plan B est donnée par dans l'approximations de Gauss (petits angles hors-axe).

L'amplitude reçue au niveau du plan B depuis tous les points source virtuels dans l'ouverture en A est alors donnée par intégration : ou, en omettant le facteur de normalisation : . L'amplitude de lumière reçue dans l'instrument, venant de l'étoile, est donc dépendante du diamètre de l'instrument et de la longueur d'onde d'observation .

Coronographie, effets

Image de l'étoile, étape par étape, sur le trajet optique du coronographe.

Crédit : LESIA

En fait, à chaque étape, les images intermédiaires vont être convoluées (voir ici, partie Transformée de Fourier et de Laplace, là et là) par la fonction de transmission de l'instrument (masque, diaphragmme ...) et va voir son intensité diminuer.

Au niveau du plan C (indiqué par stop dans le schéma ci-dessus), après le passage du masque (mask), on obtient une amplitude de formule : où est la fonction de transmission du masque placé en B. Dans le cadre d'un coronographe, . L'amplitude au niveau du plan C va être donc être atténuée par rapport à celle au niveau du plan B, ce rapport dépendant de celui entre la taille angulaire du masque et l'ouverture de l'instrument.

Au niveau où l'on place le détecteur, en D, l'amplitude finalement observée est donnée par : où est la fonction du transmission du Lyot-Stop, un diaphragme dont on considérera la fonction de tranmission également rectangulaire : .

On montre alors que l'amplitude de la lumière entrant dans l'axe de l'instrument (celle de l'étoile) va diminuer selon le rapport : plus le masque sera grand et le Lyot-Stop fermé, plus la lumière de l'étoile sera "éteinte" et donc plus facilement la planète sera visible. Attention toutefois, la lumière provenant d'une éventuelle planète doit quant à elle être transmise ! Il faut donc trouver un compromis entre la diminution d'intensité de la lumière de l'étoile et la conservation de l'intensité en provenance d'une éventuelle planète, dont on ne connaît pas a priori la séparation angulaire avec l'étoile...

Nous venons de voir que la coronographie permet de retirer la majorité de la lumière provenant de l'étoile... mais d'une étoile théorique, considérée comme ponctuelle ! Or il n'y a pas que les effets d'optique ondulatoire au sein de l'instrument qui entrent en jeu, mais aussi (dans le cas des instruments au sol) les effets de l'atmosphère terrestre. À elle seule cette dernière va modifier la forme de l'image de l'étoile, ce qui va accentuer les résidus et ce d'une façon très variable dans le temps, du fait notamment du vent. Ces effets atmosphériques se manifestent par la déformation des fronts d'onde, et dégradent la résolution angulaire de l'instrument au-delà des limites théoriques imposées par l'optique ondulatoire (dépendant de l'ouverture et de la longueur d'onde). Dans les cas les plus extrêmes, ces déformations optiques sont mêmes visibles à l'oeil nu : c'est le fourmillement apparent d'un objet observé au-dessus d'une route asphaltée en été, ou au-dessus d'un barbecue...

Correction

À gauche, une observation sans optique adaptative. À droite la même cible avec optique adaptative, qui nous révèle que l'objet est une en fait une étoile binaire.

Crédit : ESO

Pour s'opposer à ces effets, on utilise l'optique adaptative. Cette technique analyse le front d'onde après réflexion sur un miroir déformable, puis modifie la forme du miroir pour compenser les effets de l'atmosphère en temps réel.

Fonctionnement

Crédit : LESIA

Dans les précédentes parties nous avons vu les techniques utilisées pour retirer la lumière de l'étoile hôte et corriger les perturbations sur le chemin de la lumière... mais ces corrections ne sont pas parfaites ! Sur le détecteur, nous voyons des taches dispersées qui sont les résidus que la coronographie et l'optique adaptative n'ont pas réussi à corriger. Le problème est que ces taches peuvent être prises pour des planètes ou se superposer aux images de ces dernières. Nous allons donc devoir tenter de retirer ces résidus, aussi appelés artefacts.

Exemple de tavelures

Image produite par un faisceau laser après passage dans une fibre optique. On voit des tavelures, les mêmes que l'on pourrait observer. Les causes possibles sont multiples : des fibres optiques (comme ici), mais aussi la turbulence atmosphérique imparfaitement corrigée, les imperfections des miroirs, etc.

Crédit : Wikimedia commons, Christophe Finot CC ASA 3.0

Plusieurs étapes-clés sont à mettre en oeuvre pour l'interférométrie annulante :

• Chaque téléscope collecte une partie du même front d'onde en provenance du système exoplanétaire.

• On relie les télescopes entre eux par fibres optiques, et on ajuste les chemins optiques dans chaque fibre pour égaliser les phases.

• On déphase ensuite au moins l'un des chemins optiques par rapport aux autres (déphasage de 180° dans le cas d'un système à deux télescopes).

• On combine alors tous les flux sur le même détecteur.

Ce système annule alors la lumière située sur l'axe optique (celle de l'étoile) par interférences destructives mais pas la lumière hors axe (celle des planètes). Le déphasage en entrée de l'instrument sera donné par où désigne l'écart sur le ciel entre la planète et l'étoile (donc dans une direction normale à l'axe optique), et est la séparation entre la planète et l'étoile dans la direction de l'axe optique.

Deux satellites de recherche d'exoplanètes par interférométrie font partie des projets à long terme des agences spatiales européenne et américaine, ce sont respectivement les missions Darwin et TPF-I. Difficiles à mettre en oeuvre techniquement, ces missions nécessitent encore des développements technologiques pour envisager leur réalisation.

Crédit : NASA

Comme vous pouvez le voir sur l'illustration ci-dessus, l'idée et de faire voler en formation 4 quatres satellites "miroirs", combinant leurs faisceaux sur un cinquième satellite, la longue ligne de base étant négligeble devant la "distance focale" de l'instrument (le dernier satellite est très éloigné des 4 premiers). Pour être efficace, chaque faisceau va recevoir un déphasage précis selon deux configurations (appelées droite et gauche).

Configuration					Signal attendu
Gauche	0°	180°	90°	270°	étoile annulée + disque de poussière gauche + planète gauche
Droite	0°	180°	270°	90°	étoile annulée + disque de poussière droite + planète droite

Simulation Darwin

Simulation d'une observation Darwin de 60 h sur un système solaire à 10 pc de nous.

Crédit : Bertrand Mennesson

On a déjà vu qu'il fallait une séparation angulaire minimale pour pouvoir imager une planète, du fait de la proximité de l'étoile bien plus brillante. En pratique, pour les instruments modernes, cette séparation minimale est de l'ordre du dixième de seconde d'arc. Attention cependant, la zone du capteur CCD où l'optique adaptative est efficace est restreinte à une petite partie du champ de vue. Les techniques de recherche d'objets se focalisent ainsi sur une zone restreinte... Pour l'instrument SPHERE, par exemple, on peut considérer que l'on recherche des planètes entre 0,1" et 3". Les planètes trop loin de leur étoile hôte sont donc difficiles à imager !

Avoir une cible qui se comporte lors d'une observation comme une exoplanète ne suffit pas à annoncer la découverte d'une exoplanète. On recense avec le satellite Kepler 4234 candidats, en juillet 2014, et (seulement ?) 977 exoplanètes confirmées. Dans le cas de l'imagerie directe, une première détection ne suffit pas à annoncer la découverte d'une exoplanète, il en faut au moins deux pour prouver que l'objet en question est lié gravitationnellement‎ à une étoile, et cela permet de se faire une idée de l'orbite de l'objet. Le problème étant que les planètes détectées en imagerie directe sont éloignées de leurs étoiles et donc ont un mouvement autour de leur étoile très lent, il faut attendre plusieurs mois voire années pour obtenir des positions significativement différentes !

En effet, la source lumineuse que l'on observe à côté de l'étoile (un possible candidat planétaire), peut, en définitive, se révéler être une étoile située plus loin sur la ligne de visée (une étoile de champ), ou bien une zone plus dense que la moyenne dans le disque autour de l'étoile. En imagerie directe il faut au moins deux observations de l'objet, avec des images différentes, cohérentes avec une orbite képlérienne et un masse minimale inférieure à 13 masses de Jupiter, pour confirmer la présence d'une exoplanète. On peut alors déclarer la détection d'un objet lié à l'étoile et de masse planétaire (au dessus de 13 masses de Jupiter on entre dans le domaine des naines brunes).

Une planète tournant autour d'une étoile

Gaël Chauvin et collaborateurs dans un article de 2012 de Astronomy and Astrophysics présente une étude de l'orbite de β Pictoris b Ici nous avons une compilation de huit observations qui montre bien que l'objet tourne autour de l'étoile. Remarquez la différence de date et de position entre les point 1 et 2 : en 2003 les chercheurs ont découvert un objet proche de l'étoile mais ils ont dû attendre 2009 pour avoir la preuve que c'était bien une planète.

Une autre grande inconnue laissée par l'imagerie directe est la masse de la planète, paramètre essentiel qui va déterminer si l'objet est une planète ou une naine brune ! Or, si l'on se restreint à l'imagerie directe, seule l'utilisation de modèles plus ou moins bien contraints permettent d'en estimer une.

Représentation de la modification du spectre d'une étoile, décalé vers le bleu ou vers le rouge, suivant que la planète s'éloigne ou s'approche de nous, c'est ce décalage qui est utilisé par la méthode de vélocimétrie radiale.

Crédit : ESO

Une mesure, indirecte, en vitesse radiale ou en astrométrie, si celles-ci sont possibles, permettraient de contraindre la masse de la cible ainsi que sa période de révolution autour de l'étoile..

Crédit : Évolution de la position d'une étoile dans le ciel, les petits écarts (au chemin en pointillés) viennent de la présence d'un planète, ce sont ces écart que recherche l'astrométrie pour les exoplanètes. Michael Perryman,arxiv:1209.3563

[Cours sur la technique des vitesses radiales.]

[Cours sur la technique des vitesses radiales.]

C'est autour de l'étoile Fomalhaut que se trouve un objet, peut-être encore sujet à controverse. En effet dans le disque d'accrétion de cette étoile, on a annoncé avoir trouvé dans des images visibles du HST une planète.

Mais les images prises par Spitzer en infrarouge ne montrent rien ! Pour les défenseurs de la "découverte", c'est que la planète est trop petite pour être vue par Spitzer. Pour les détracteurs de cette "découverte" un objet vu en visible mais pas en infrarouge, ne peut pas être une planète.

Fin 2012, une planète ressemblant à la Terre et tournant autour de l'étoile α Centauri B (faisant partie du système stellaire le plus proche de nous) a été annoncée. Elle a été découverte par vélocimétrie radiale. [Pour plus d'information cliquez ici]

Crédit : ESO

Le système α Centauri est constitué des 3 étoiles :

• un système double composé des étoiles α Centauri A et B respectivement :
  • A est une étoile de type solaire ;
  • B est une étoile légèrement moins massive que le Soleil.
• une naine M (α Centauri C, aussi appelé Proxima du Centaure), qui est l'étoile la plus proche du Soleil

Alpha du Centaure

Crédit : ESO

Imaginons qu'une forme de vie intelligente, au même niveau technologique que nous, y habite et cherche à étudier notre système solaire. Auraient ils la possibilité de détecter la Terre ? Ou au moins Jupiter ? Pour le savoir répondons aux quelques questions des pages suivantes...

Quelques Grandeurs

	Masse	Période	Vitesse orbitale	Rayon	Température efficace
Terre		d'après vous ?	30 km/s
Jupiter	soit		à calculer	soit environ

α Cen B a une parallaxe de 796,92 milliarcsecondes.

Remarque: la distance en parsec est par définition l'inverse de la parallaxe en arcsec, "parsec" étant d'ailleurs l'abréviation de "par seconde" (d'arc) .

Ce projet va vous confronter au travail que les astrophysiciens effectuent pour étudier les planètes extra-solaires par la technique de l'imagerie directe.

Jupiter dans le proche infrarouge

Image de β Pictoris b, prise dans les bandes J, H et M'. Vous pouvez remarquer que la magnitude de la planète (au bout de la flèche) varie en fonction de la longueur d'onde.

Crédit : Mickael Bonnefoy et collaborateurs dans Astronomy & Astrophysics en 2013

Pour ce faire, vous allez partir des contrastes photométriques obtenus pour une planète, déterminer les magnitudes de l'objet, et comparer ces caractéristiques à celles des naines brunes. Pourquoi les naines brunes ? Parce que ce sont de objets étudiés de façon similaire aux jeunes exoplanètes géantes et que l'on a beaucoup plus d'observations sur ces étoiles avortées.

Les données qui suivent proviennent d'un article scientifique, et d'observations par imagerie directe coronographique. Le premier tableau donne des informations sur la date des observations, les filtres utilisés (ici J, H, et M') et le contraste entre l'objet et l'étoile, en magnitude.

Observations

Dates :	Filtre	Contraste en magnitude
16/12/2011	J
16/12/2011	J
16/12/2011	J
18/12/2011	H
18/12/2011	H
18/12/2011	H
11/01/2012	H
11/01/2012	H
11/01/2012	H
11/01/2012	H
26/11/2012	M'
26/11/2012	M'
26/11/2012	M'
26/11/2012	M'

Le second tableau, extrait du même article, vous donne des informations sur les caractéristiques de l'étoile.

L'étoile

Paramètres	Valeur
Distance depuis la Terre (pc)
Type spectral	A6V
Température efficace (K)	[8052, 8036]
Luminosité :
Masse (en masse solaire)

Une base de données contenant des informations sur les naines brunes est disponible ici : DwarfArchives

1. Calculer les magnitudes apparentes et absolues de la planète.
2. Comparer la température de l'étoile et de la planète par rapport à la répartition des magnitudes en longueur d'onde.
3. Construire des diagrammes couleur-magnitude pour comparer la planète avec les naines brunes.

Question subsidiaire : Quel type de naine brune est le plus proche de ces observations?

Les observations présentées ici consistent en des contrastes entre la planète et l'étoile. Il vous faut donc utiliser les magnitudes de l'étoile et la distance nous séparant du système pour déterminer les magnitudes de la planète.

Pour comparer la température de l'étoile et la planète il est préférable d'utiliser les flux émis par ces deux corps.

• Calculer le flux observé pour l'étoile et la planète dans les bandes disponibles.

• Tracer les flux émis par l'étoile et de la planète en fonction de la longueur d'onde dans les différentes bandes

• Conclure sur la différence de température entre les deux corps.

La table suivante réunit des informations sur les naines brunes connues.

Couleur magnitude naines brunes

Construire un diagramme magnitude - couleur des naines brunes en utilisant l'application et en choisissant judicieusement les bandes spectrales. Placer la planète dans la diagramme.

En comparant les types spectraux (L, T) des naines brunes et leur position dans le diagramme, conclure sur le type spectral de la planète.

Référez vous à l'article de Mickael Bonnefoy et collaborateur dans Astronomy & Astrophysics en 2013 pour une étude détaillée de ce qui est demandé ici.

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ACCES AU PLAN DES CHAPITRES

Lorsque la distance entre une source d'onde et un observateur varie dans le temps, la longueur d'onde vue par l'observateur varie aussi. Ce phénomène, appelé effet doppler, est ce qui permet la détection du mouvement radial de l'étoile. Cet effet est géométrique, et présent pour tous les types d'ondes. Un exemple bien connu est celui de la sirène d'ambulance: le son qu'elle émet a l'air plus grave une fois qu'elle est passée devant nous. Pour le comprendre, considérons une personne qui se baigne sur une plage (suffisament loin pour que les vagues se brisent derrière elle). Si elle reste statique les vagues vont l'atteindre avec une certaine période. Selon qu'elle s'avance vers le large ou revient vers la plage elle rencontrera les vagues plus fréquemment ou moins fréquemment. De la même manière, plus vite l'étoile s'avance vers la Terre, plus la lumière reçue est décalée vers les hautes fréquences.

L'énergie par longueur d'onde d'une source lumineuse, ou de manière équivalente, le nombre de photons reçus par longueur d'onde, est appelé le spectre de cette source. Cette définition fait intervenir une mesure, le spectre dépend donc de l'observateur. La lumière provenant d'une étoile est composée à priori d'une infinité de longueurs d'ondes. Certaines d'entre elles sont absorbées par l'atmosphère de l'étoile, de sorte qu'elles sont absentes du spectre mesuré. On parle de raies d'absorption. Le spectre d'une étoile a un aspect proche de la figure 1. Si la source lumineuse et l'observateur sont immobiles l'un par rapport à l'autre, l'observateur verra un certain profil spectral (intensité par longueur d'onde . Si maintenant la source et l'observateur ont une vitesse relative au temps , l'observateur verra un spectre décalé avec où est la vitesse de la lumière, dans l'hypothèse où est très petit par rapport à . En mesurant on peut remonter à . La présence d'une planète autour d'une étoile engendre un mouvement périodique de celle-ci, donc un décalage périodique du spectre (voir figure 2).

La mesure du décalage du spectre est utilisée depuis la fin du XIXe siècle pour détecter des étoiles binaires. La vitesse de l'étoile dont on observe le spectre (étoile cible) diminue avec le rapport de masse du compagnon et de l'étoile cible. Plus faible est la masse du compagnon plus il est difficile de le détecter. Les techniques ont été perfectionnées pour détecter des compagnons de masses de plus en plus faible.

Remarque: Une des limitations des mesures de vitesse radiale est qu'on ne mesure qu'une masse minimale car on mesure la projection du mouvement selon une direction. En notant l'angle entre la ligne de visée et le plan orbital d'un objet de masse , on mesure .

En 1989, Latham trouve un objet d'une masse minimale de 11 masses de Jupiter (notée ) en orbite autour d'une étoile de type solaire. Etant donné que la limite admise à la masse d'une planète (au delà de laquelle le deutérium entre en fusion) est de 13 , la conclusion de l'article est encore valide: il est possible que ce compagnon soit une Naine brune ou une super Jupiter, selon la valeur de . La première planète confirmée comme telle est découverte en 1995 par Michel Mayor et Didier Queloz à l'observatoire de Haute Provence.

Pour donner une idée des ordres de grandeur considérées, la Terre engendre un déplacement du Soleil d'environ 9 cm/s, Jupiter de 12.5 m/s. Un déplacement d'1 m par seconde correspond à un décalage relatif de longueurs d'onde . La précision attendue doit être maintenue sur plusieurs mois, voire plusieurs années.

Spectre du Soleil dans le visible

Représentation de la lumière du Soleil diffractée dans le visible. Pour une exploration plus précise du spectre du Soleil, voir cette page.

Crédit : Observatoire de Paris

Décalage du spectre

L'étoile et la planète orbitent autour de leur centre de gravité. L'observateur (représenté par une lunette) voit le spectre reçu se décaler et en infère la vitesse V de l'étoile au cours du temps.

Crédit : Observatoire de Paris, ASM, E. Pécontal

L'astrométrie désigne la mesure de la position des astres. Chronologiquement, l'astrométrie peut être considérée comme la première discipline de l'astronomie. Les anciens s'étaient déjà aperçus que certains astres semblent mobiles: les planètes, mais l'observation à l'oeil nu et avec les premiers instruments astronomiques sont trop imprécises pour détecter le mouvement des étoiles. Ils pensaient donc qu'elles sont fixes, mais ce n'est pas du tout le cas.

Plus précisément, on mesure la position des astres sur la Sphère céleste: Il s'agit d'une manière d'appeler l'ensemble des coordonnées angulaires d'un système de coordonnées sphériques. Selon le contexte, le centre de centre de ce repère est le barycentre du système solaire ou celui de la Terre, l'observateur, ou un autre point. Les directions du repère fixe peuvent être définies par rapport à des étoiles très lointaines (quasars), ou l'intersection du plan de l'orbite de la Terre (l'ecliptique) et de l'équateur.

Les observations doivent être exprimées dans un même système de référence. En l'occurrence, le repère fixe choisi est le référentiel barycentrique du système solaire qui est un référentiel galiléen. De ce fait, on peut modéliser simplement la trajectoire de l'étoile dans ce référentiel. Si l'étoile a des compagnons planétaires, le mouvement dû aux planètes projeté aura l'aspect d'ellipses imbriquées les unes dans les autres (voire figure). Le mouvement rectiligne uniforme a une amplitude bien supérieure au mouvement dû aux planètes, il n'est pas représenté sur la figure pour cette raison.

Une mesure astrométrique comporte toujours plusieurs étoiles dans le champ, de sorte que l'on peut mesurer le déplacement de l'étoile cible par rapport aux étoiles du champ. Ce qui nous intéresse est en effet un mouvement différentiel (on compare les mesures les unes aux autres, on ne cherche pas une position absolue). Un mouvement global des étoiles du champ provient des turbulences atmosphériques ou de bruits instrumentaux, qui peuvent être corrigés.

En mars 2015, deux planètes on été découvertes par astrométrie (DE0823-49 b et HD 176051 b). La résolution nécessaire à la détection de planètes est difficilement atteignable à cause des perturbations atmosphériques. Pour les corriger, il est possible d'utiliser une technique appelée astrométrie différentielle. Sa présentation sort du cadre de ce cours. Il est probable que la mission astrométrique spatiale GAIA, dont la précision est de l'ordre de 20 μas permettra de faire de nombreuses découvertes.

Les mouvements de l'étoile autour du centre de gravité du système planétaire sont de l'ordre du rayon de l'étoile en général. Par exemple, le mouvement de Jupiter entraine un mouvement quasi circulaire du Soleil dont le rayon est environ 1.06 rayon solaire.

L'ordre de grandeur du déplacement observé dépend de la distance de l'étoile, des masses de l'étoile et de la planète et du demi-grand axe de l'orbite.

Projection du mouvement de deux planètes sur la sphère céleste

Observations idéales (sans bruit, mouvement de l'étoile uniquement dû aux planètes) d'un système à deux planètes sur cinq ans. En bleu on représente tout le parcours de la planète et en rouge les quarante-cinq mesures de position.

Notez que si on observait uniquement l'effet de la planète si petit soit-il, on aurait toujours accès à toute l'information. Malheureusement, de nombreuses autre sources perturbent le signal, comme on va le voir dans les pages suivantes.

Le principe de ces techniques de détection est simple, mais pour obtenir la précision désirée il faut prendre en compte une grande quantité d'effets affectant les observations. Les mesures sont issues in fine de capteurs CCD, situés au plan focal d'un télescope ou en sortie d'un spectrographe, respectivement dans les cas de l'astrométrie et de la mesure de vitesses radiales. Ces capteurs fonctionnent par effet photoélectrique: lorsqu'un photon les percute, un électron est émis (si le photon a une énergie supérieure à une certaine limite). Ils sont exposés à la lumière pendant un certain temps appelé temps d'intégration. Le nombre d'électrons reçus pendant ce temps est ensuite compté pixel par pixel. Finalement, on obtient un tableau de nombre: le nombre de photons reçus par pixel de la caméra CCD. A chaque mesure est attachée une erreur, calculée selon une méthode explicitée par l'observateur. On effectue ensuite une série d'opérations mathématiques sur les mesures obtenues pour en extraire l'information souhaitée.

Avant d'arriver sur ces capteurs, les photons passent par les instruments, par l'atmosphère, par le milieu interstellaire. De plus, le mécanisme d'émission des photons par les étoiles est complexe: même si l'étoile était fixe par rapport à l'observateur, son spectre et sa position sembleraient variables. Comme les instruments ne permettent pas de résoudre angulairement l'étoile (elle n'apparait que sur un pixel), on mesure la lumière moyenne de sa photosphère, c'est à dire la fine partie de son enveloppe dont la lumière nous parvient. L'astrométrie est sensible à son photocentre. Enfin, il est possible que la lumière reçue provienne partiellement d'une autre source céleste située à proximité de l'étoile, ou du Soleil.

Chacune de ces étapes affecte le signal reçu, de sorte que l'information recherchée n'en représente qu'une petite partie. Par exemple, la vitese radiale apparente d'une étoile est de l'ordre de quelques dizaines de km/s, les techniques actuelles permettent de réduire le bruit instrumental à un peu moins de 0.3-0.5 m/s, qui est aussi l'ordre de grandeur de l'erreur due à une étoile de type solaire. Le signal d'une planète tellurique est de l'ordre de 0.5 m/s, c'est à dire moins que l'ordre de grandeur du bruit. Pour chercher des signaux de plus en plus faibles, il faut améliorer à la fois la modélisation du signal, des instruments, et des méthodes de traitement de données.

Représentation du trajet de la lumière

En mauve, les sources de lumière et en bleu les milieux traversés.

Idéalement, on voudrait directement avoir accès aux orbites et aux masses exactes des planètes autour d'une étoile donnée. C'est jusqu'à présent impossible, et probablement pour longtemps ! Les techniques dont il est question ici visent à mesurer la position ou la vitesse de l'étoile, ce sont lessignaux recherchés. Cependant, comme on l'a vu page précédente, la quantité effectivement mesurée contient non seulement le signal mais aussi de nombreux processus aléatoires qu'on appelle bruits. Notre problématique est d'extraire les paramètres du signal (les paramètres des orbites) dans des mesures entachées de bruits.

Pour savoir si un signal sera détectable à priori, on calcule le rapport signal sur bruit qui est le rapport de "la puissance du signal" sur "la puissance du bruit". Ce rapport est fondamental. Le sens précis de cette expression varie selon le contexte mais typiquement, si un signal et un bruit forment une mesure , le rapport signal sur bruit est . Plus ce rapport est grand, plus la mesure est précise.

Supposons que l'on veuille estimer une variation de position angulaire ou de vitesse (resp. et ) d'une étoile de type solaire à 10 parsec autour de laquelle une planète de type jupiter orbite. On a et Les mesures sont contaminées par des variations aléatoires d'amplitudes as (précision de la mission Gaia, mission astrométrique la plus précise) et m/s (ordre de grandeur pour les meilleurs spectrographes actuels) . Le rapport signal sur bruit est de l'ordre de et . La technique par vitesse radiale est pour l'instant plus précise.

Lorsqu'on mesure une quantité modélisée par une variable alétoire (par exemple le nombre de photons reçus pendant une seconde), le rapport signal sur bruit peut être défini comme le rapport de la moyenne et de l'écart-type.

Attention: il ne faut pas confondre l'amplitude d'un effet indésirable et le bruit qui lui est associé. Par exemple, le mouvement de la Terre dans le système solaire induit une vitesse apparente de plusieurs dizaines de km par secondes. Cependant, sa position est connue avec une très bonne précision, de sorte que l'incertitude liée à la soustraction du mouvement de la Terre est de l'ordre d'1 m/s. Remarque: On distingue en général la précision et l'exactitude. On peut disposer d'un instrument très précis mais comme d'autres effets perturbent la mesure, la mesure donne une valeur inexacte de ce que l'on cherche à mesurer. Dans l'exemple précédent, si on ne soustrait pas la vitesse de la Terre, l'instrument peut être aussi précis qu'on veut on aura un signal parasite entre 1000 et 60000 fois plus gros que celui qu'on cherche à mesurer.

La problématique de la détection par vitesse radiale et astrométrie est la suivante: quelles sont les orbites et les masses des planètes compagnons de l'étoile cible ? Comme les mesures sont entachées de bruit, on ne peut pas donner des paramètres orbitaux exacts. On estime aussi la "confiance" dans les valeurs des paramètres, souvent donnée sous forme de probabilités. On est aussi amené à se demander si toutes les planètes ont été détectées, et si les détections annoncées sont vraisemblables. En particulier, on étudie la stabilité du système trouvé.

La détection de planètes extrasolaires, comme d'autres problématiques de détection peut être subdivisé comme suit:

• Le problème direct, ou modélisation,Notre problème est bien plus complexe que celui de la page précédente. On ne cherche pas à estimer un paramère à partir d'une mesure , mais un vecteur de paramètre à partir de plusieurs mesures aux instants , et les mesures dépendent de ces paramètres et des instants d'observations par une fonction : on a , où est une variable aléatoire suivant une certaine loi de probabilité qui modélise l'incertitude. Le problème direct est la construction de la fonction . En l'occurrence, on utilise les équations bien connues de la mécanique céleste. "Si des planètes avec des paramètres orbitaux connus orbitent autour d'une étoile de masse connue observée à des instants connus, alors les observations seront ".Une première approche est présentée dans la section 1 de la partie "comprendre"
• Le problème inverse: étant donné des observations aux instants , =1.. et un modèle (éventuellement un bruit ε), quels sont les paramètres ? C'est le problème de la réduction des données expérimentales, qui est l'objet de la section 3 de la partie "comprendre".
• L'instrumentation: Comment construire des instruments performants et modéliser leurs mesures ? La prise en compte des bruits instrumentaux fait partie du modèle.
• L'interprétation des résultats: Une fois que les paramètres orbitaux pour plusieurs systèmes planétaires ont été estimés (ainsi que l'incertitude associée), on peut se demander ce que ces résultats signifient Il existe dans le cas des exoplanètes une littérature abondante donnant des scénarios de formation planétaire expliquant les valeurs prises par un système donnée, ou la distribution des éléments orbitaux observés.

Ce cours se focalisera sur les trois premières problématiques, car la quatrième est transverse à toutes les techniques d'observation et fait l'objet d'un cours à part entière.

Les observations traitées sont des mesures de position sur le plan focal d'un télescope et des mesures de spectres lumineux; respectivement pour l'astrométrie et les vitesses radiales. Faire l'hypothèse que les mesures ne sont que le résultat du mouvement d'une étoile parfaitement homogène donnerait des résultats invraisemblables. La fonction de la page précédente prend en général en compte plusieurs effets présentés ici. Compte tenu du format du cours, seuls certains d'entre eux seront développés dans la suite.

• Bruit de photon: il s'agit d'un bruit dû à la quantification de la lumière. Les photons sont émis aléatoirement selon ce qu'on appelle un "flux poissonien". Si un détecteur observe une source émettant en moyenne photons sur un certain intervalle de temps , le nombre de détections pendant sera une variable aléatoire de moyenne et de variance . Cette notion est expliquée plus en détail page bruit de photon
• Bruit instrumental: les instruments se comportent en pratique différemment de leurs idéalisation de manière imprévisible. Le miroir du télescope est sensible aux variations de température, l'utilisation d'équipement électronique induit du bruit grenaille (similaire au bruit de photon) et du bruit thermique. Il s'agit de toutes les erreurs dues au trajet de la lumière depuis l'entrée du télescope jusqu'à la lecture du détecteur CCD. Ce bruit peut être déterminé par étalonnage.
• Les bruits stellaires: A chaque longueur d'onde , on observe le flux lumineux provenant de toute la partie visible de l'étoile. D'un point de vue mathématique, est intégré sur toute le disque visible de la photosphère de l'étoile: . Au rayon et à l'angle , dépend de la température, de la composition et de la vitesse de la matière par rapport à l'observateur en . est un facteur variant selon les modèles dits de "limb darkening". On peut modéliser des propriétés des variations du flux à une longueur d'onde donnée avec un modèle physique de l'étoile. En pratique, on prend en compte trois types d'effets en compte:
  • les oscillations acoustiques (p-modes): la propagation d'ondes mécaniques dans la couche extérieure de l'étoile provoque une contraction/dilatation radiale, qui a une signature de quelques centimètres par seconde dans les données de vitesses radiales (cette vidéo montre une simulation des ondes mécaniques au sein d'une étoile).
  • les tâches dues à l'activité magnétique: Le champ magnétique à la surface de l'étoile peut "piéger" localement du plasma, qui se refroidit et devient donc moins lumineux. Ce phénomène a des effets à court terme: une tache présente sur un des côtés de l'étoile brise la symétrie entre la partie "rouge" et la partie "bleue" (voir figure). D'autre part, sur une période d'observation le nombre de taches peut varier de zéro à plusieurs centaines. Lorsque la convection est inhibée par le champ magnétique l'étoile apparaît plus froide, globalement décalée vers le rouge.
  • La granulation: la surface de l'étoile étant plus froide que son centre, du gaz chaud remonte à la surface, se refroidit en émettant de la lumière puis redescend. Ce phénomène de convection crée des inhomogénéités de luminosité sur la suface de l'étoile dont la somme donne une vitesse radiale apparente, ou un déplacement du photocentre.
  Selon le type d'étoile, ces bruits sont d'importances variables. Certaines étoiles sont trop actives pour avoir une chance de détecter une planète de masse tellurique.

Intensité globale

L'intensité dépend de la composition, de la température et de la vitesse en chaque point du disque apparent de l'étoile

Effet de la rotation de l'étoile sur le spectre

La lumière provenant de la moitié de l'étoile ayant un mouvement vers l'observateur est décalé vers les hautes fréquences (vers le bleu). L'autre moitié est décalée vers les basses fréquences (vers le rouge). Dans l'hypothèse où l'étoile est sphérique, et a une luminosité identique partout sur sa surface, le décalage vers le rouge et celui vers le bleu ne fait qu'élargir les raies spectrales. Si une tache est présente, ici sur la partie bleue, la symétrie est brisée et le déficit de lumière entraine un décalage du spectre vers le rouge.

• Contamination du fond: à cause de la diffraction, il est impossible d'observer un point du ciel, observe toujours le flux moyen d'une certaine région du ciel. Ce flux ne provient pas nécessairement uniquement de l'objet observé. Cette prise en compte est particulièrement importante lorsque l'étoile est dans un système binaire. En effet, Comme un compagnon planétaire, l'autre étoile engendre un mouvement elliptique de l'étoile cible de plus grande amplitude que celui provoqué par une planète. De plus, si la séparation angulaire entre les deux étoiles est plus petite que le champs de vue, la lumière provenant de la seconde étoile contamine les observations.
• Système multiple: l'étoile cible peut avoir un mouvement dû à la présence d'autres étoiles proches.
• Les perturbations atmosphériques: les turbulences de l'atmosphère aux hautes altitudes font que le signal est diffracté aléatoirement.
• La parallaxe: Le mouvement de l'étoile est modélisé dans un référentiel galiléen dont le référentiel barycentrique du système solaire est une approximation. Cependant, les observations ne sont évidemment pas disponibles depuis le centre du système solaire. Il faut prendre en compte le mouvement de l'observateur, qui se manifeste par un mouvement apparent de l'astre.

Pour pouvoir annoncer qu'une planète a été découverte, il faut avoir une certaine confiance dans le résultat. Cependant, comme on vient de le voir, les mesures sont contaminées par de nombreuses sources qui peuvent être aléatoires. La détection d'exoplanète, comme toutes les problématiques de détection en astronomie, donne l'occasion de présenter des modélisations de phénomènes aléatoires. Introduire ces outils permettra en particulier de définir proprement ce que sont les barres d'erreurs. On donnera un sens à une phrase comme: la période d'une orbite estimée est 100 jours, plus ou moins 10 jours à trois sigmas.

Le cadre mathématique utilisé pour les prendre en compte est la théorie des statistiques. Les quantités physiques dont le comportement est imprévisible sont modélisées par des variables aléatoires qui prennent une certaine valeur à chaque mesure. Etant donné que cette notion intervient dans:

• La modélisation des variations de luminosité de l'étoile
• La modélisation des perturbations atmosphériques
• Le calcul de la précision de l'instrument
• Le calcul des incertitudes sur les paramètres des orbites estimées

On donnera une description fonctionnelle, permettant de comprendre le cours sans avoir besoin de rentrer dans les détails des statistiques. Le lecteur intéressé pourra se référer à un ouvrage spécialisé, par exemple le cours de Didier Pelat (en libre accès), cité dans la bibliographie.

Une variable alétoire peut être vue comme un programme informatique donnant une valeur réelle à chaque fois qu'on lui demande. La valeur retournée dépendra de la distribution de probabilité de cette variable aléatoire, notée . Par exemple, si on veut modéliser le lancer d'une pièce de monnaie, chaque lancé correspond à une requête au programme qui retournera "face" ou "pile" avec une probabilité 1/2. Dans le cas de distributions continues, prendra une valeur entre et avec une probabilité . La distribution la plus utilisée est la gaussienne (parfois appelée courbe en cloche), elle vérifie où est sa moyenne et est sa variance. L'analyse des données repose sur l'hypothèse que nous observations des réalisations d'une variable aléatoire. Comme si réaliser une expérience consistait à demander à un ordinateur de sortir une valeur (la mesure) avec une certaine loi de probabilité.

Les variables aléatoires ont deux caractéristiques particulièrement importantes: leur moyenne et leur variance, définie respectivement comme et . La racine carére de la variance est appelée l'écart-type. Cette quantité donne "l'écart-typique" à la moyenne des réalisations. Dans la plupart des cas et en particulier dans le cas gaussien, l'écart-type a une interprétation univoque: il quantifie les déviations à la moyenne. Plus il est petit, plus les valeurs éloignées de la moyenne seront improbables. Dans la limite ou l'écart-type tend vers 0, on aura une variable aléatoire certaine, qui prend la valeur avec une probabilité 1. En physique, on manipule souvent des incertitudes, qui sont implicitement modélisées comme des écart-types de variables aléatoires. Si un observateur dit "j'ai mesuré une vitesse radiale de km/s avec une incertitude de km/s", implicitement on suppose qu'il existe une variable aléatoire dont la moyenne correspond à la "vraie" valeur de la vitesse radiale et dont l'écart-type vaut km/s.

Remarque: nous utilisons une terminologie vague, pour des définitions précises voir les références.

Dans cette section on répond à la question suivante: pour un système planétaire donné, quelles seront les observations ? Dans la section précédente on a introduit la fonction , où désigne un espace de variables aléatoires, qui donne des observations en fonction d'instants d'observation , d'erreurs alétoires et de paramètre du modèle incluant masse de la planète, de l'étoile, paramètres de l'orbites, etc. qui seront précisés. En l'occurrence, l'erreur est bien représentée par un "bruit additif", c'est à dire les observations sont de la forme , où désigne une fonction modélisant la physique du phénomène observée, celle qui donnerait les observations "parfaites", sans aucune source d'erreur aléatoire. L'erreur modélise tous les phénomènes aléatoires intervenant dans les mesures. Selon la distinction adoptée ici, les paramètres du modèle peuvent inclure une source indésirable mais non aléatoire.

L'objet de ce chapitre est de construire cette fonction avec une modélisation physique. La modélisation la plus précise, utilisant tout ce que l'on sait de la physique serait ici inutilement complexe, car compte tenu des erreurs de mesures la différence avec certains modèles plus simples serait si faible qu'il serait impossible de la détecter avec un niveau de confiance acceptable. Le niveau de précision du modèle présenté ici est couramment utilisé par les observateurs.

Remarque: En pratique, les algorithmes d'estimation de paramètres sont des algorithmes d'optimisation, qui nécessitent tous de donner un ou plusieurs points de départs pour la recherche. Lorsque des modèles plus complexes sont utilisés, les estimations précises peuvent être utilisées comme tels.

On présentera d'abord une modélisation physique de l'objet étudié, puis d'autres effets physiques à prendre en compte. Les bruits instrumentaux seront traités dans le chapitre suivant. Les effets physiques "indépendants de l'observateur" qui seront pris en compte sont:

• Le mouvement de l'étoile dû aux planètes.
• Le mouvement propre: mouvement de translation du barycentre du système {Etoile+Planètes}
• Des effets stellaires variables (Ondes de pression, granularité, activité)

Ensuite, on modélise "comment" la lumière émise par l'étoile nous parvient, ce qui amènera à présenter:

• La prise en compte du mouvement de la Terre (vitesse de celle-ci dans le référentiel barycentrique du système solaire pour les vitesses radiales, parallaxe et réduction des observations en astrométrie.
• Les perturbations atmosphériques
• Les variations de parallaxe et de mouvement propre.

Les quantités conservées définies page précédente permettent de donner une description géométrique de l'évolution de .

On déduit de la conservation du moment cinétique que le mouvement est plan. En effet, et comme est un produit mixte, il est invariant par permutation circulaire: car le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul. Le vecteur est orthogonal à à tout instant, autrement dit le mouvement est dans un plan orthogonal à .

Notons l'angle entre et et posons . Alors comme est unitaire, d'autre part en remplaçant par sa définition, on a et comme est un produit mixte, . où est la norme de . On obtient alors en fonction de :

Où , qui est l'équation polaire d'une conique du plan. Cette équation donne une paramétrisation de la solution en fonction de , appelée anomalie vraie. Cependant, nous voulons exprimer la solution en fonction du temps, l'objet de la page suivante est d'exhiber une relation entre et le temps. On sait que lorsque , il s'agit de l'équation d'une ellipse. On peut montrer géométriquement que où est le demi-grand axe de l'ellipse. Si ou , la trajectoire est respectivement parabolique ou hyperbolique. Dans ces deux cas le mouvement n'est pas borné, il concernerait une planète en phase d'éjection, événement dont l'observation est très improbable et indiscernable d'une planète à très longue période ou du mouvement propre sur les données actuelles.

L'orbite est dans un plan perpendiculaire à , et le vecteur est parallèle à . Notons et . On introduit un vecteur de sorte que forme une base orthonormale.

Géométrie du mouvement elliptique

Le mouvement est dans le plan

Nous avons montré que la solution au problème des deux corps est plane, et peut s'exprimer en fonction de l'anomalie vraie , angle entre le vecteur excentricité et le vecteur .

Afin d'exprimer en fonction du temps on va introduire successivement deux variables, et appelées respectivement 'anomalie moyenne et 'anomalie excentrique.

Il reste à trouver une relation entre et , ce qui s'obtient aisément en exprimant la position de dans le plan :

On en déduit les relations utiles:

A ce point, rappelons que l'objectif est d'exprimer la position et la vitesse de l'étoile comme des observables. En exprimant en fonction de puis en fonction de on a la position du corps à un instant quelconque. En ce qui concerne l'astrométrie, on peut s'arrêter aux équations ci-dessus et simplement faire un changement de référentiel, c'ést à dire exprimer la projection de sur la sphère céleste et choisir un jeu de paramètres à ajuster. Pour les vitesses radiales nous avons besoin de . En dérivant l'équation de Kepler par rapport à on obtient:

D'où:

En pratique, il n'est pas nécessaire de calculer en fonction de . Les expressions ci-dessus suffisent. Pour mémoire, en remplaçant dans la formule trigonométrique , on obtient:

Les observations sont disponibles dans un référentiel où est la direction d'observation et sont choisis de sorte que le repère est orthonormé direct. Le repère est lui aussi orthormé direct. La matrice de passage du repère orbital au repère d'observation est donc une rotation, que l'on décompose en trois rotations dont les angles ont des noms usuels.

• Une rotation d'angle d'axe (parallèle au moment cinétique), cet angle est appelé argument du périastre. Le repère obtenu par cette rotation est noté .
• Une rotation d'angle d'axe , c'est l' inclinaison
• Une rotation d'angle d'axe , c'est l'ascension droite au noeud ascendant

Où:

Soit le barycentre du système {planète+étoile}, on note où sont appelées les constantes de Thiele-Innes. On conserve la notation classique pour ces constantes, qui sautent quelques lettres de l'alphabet pour une raison inconnue des auteurs. La notation n'est en revanche qu'une convention pour ce cours et ne se trouve pas spécialement dans la littérature. On ne donne pas de nom particulier aux éléments de la dernière colonne de la matrice car étant donné que , ils n'apparaissent jamais dans les calculs

Paramètres d'un mouvement à deux corps newtonien

Le plan de référence est ici le plan d'observation.

Dans un référentiel galiléen quelconque de centre , le mouvement de l'étoile en fonction du temps peut s'écrire:

Où est la position du barycentre du système {Etoile, Planète} à , est la direction du mouvement de et son module. où vérifiel'équation de Newton , qui est une équation différentielle de degré deux sur l'espace. Lorsque est fixé et la position et la vitesse à , sont connus, la position et la vitesse sont données par le flot: . En d'autres termes, les sept paramètres définissent une orbite de manière univoque. On peut faire un changement de variables pour décrire l'orbite par un autre jeu de sept paramètres, par exemple et , qui sont les paramètres classiques présentés dans la section précédente. La plupart des auteurs les utilisent pour ajuster le mouvement des planètes, mais ils ont l'inconvénient d'être très sensibles aux erreurs pour de faibles excentricités et inclinaisons. Pour palier à ce problème on définit:

• : la longitude du périhélie
• 
• 
• : le demi-grand axe
• : l'inclinaison
• : l'ascension droite au noeud ascendant
• : la longitude

Ces éléments sont des fonctions continues de l'inclinaison et de l'excentricité.

Les expressions établies jusqu'ici permettent de paramétrer le mouvement d'une étoile autour de laquelle une planète orbite, en faisant l'hypothèse que les deux corps sont ponctuels, forment un système isolé. Nous allons utiliser ces expressions pour donner un modèle général, lorsque planètes orbitent autour de l'étoile.

En notant et respectivement la position et la masse de l'étoile et , les positions et masses des planètes , les équations de la mécanique (classique) dans le référentiel barycentrique de ce système sont:

En négligeant tous les termes du type , c'est à dire l'intéraction entre les planètes, on obtient:

En résolvant les problèmes à deux corps associés à chacune des planètes, par (dont la première équation du système ci-dessus est la dérivée seconde) on obtient le mouvement de l'étoile. Le modèle de trajectoire complet dans un référentiel galiléen est:

Le modèle précédent donne le mouvement de l'étoile observée dans un référentiel galiléen, en particulier le référentiel barycentrique du système solaire , que l'on munit d'un repère de coordonnées sphériques repérant l'étoile . Supposons que l'observateur est situé en . A un instant il mesure:

• soit la vitesse radiale
• soit la position sur la sphère céleste dans le cas de mesures astrométriques

On peut facilement montrer avec un développement limité qu'au premier ordre en , , , de même (à faire en exercice). Supposons que planètes indéxées par gravitent autour de l'étoile en et le repère orbital de la planète . On projette le mouvement dans le repère orthonormé direct associé aux coordonnées sphériques (voir figure). Avec les notations de la page Changement de référentiel:

Observation depuis le barycentre du système solaire

Position de l'étoile en coordonnées sphériques dans le référérentiel barycentrique du système solaire et dans le référentiel translaté au centre de masse de la Terre. Les observations sont disponibles dans le référentiel terrestre, représenté en rouge, qui dépend de l'instant de mesure .

Le modèle précédent donne l'évolution de l'étoile dans le repère barycentrique du système solaire (RBSS). Or les observations sont disponibles depuis la Terre. Si est la position de l'observateur, l'étoile cible on a

• La mesure de vitesse radiale est celle de , il faut donc soustraire des observations
• En astrométrie on observe la projection du mouvement de l'étoile sur la sphère céleste à un certain instant. Non seulement il faut estimer comme dans le cas des vitesses radiales, mais aussi s'assurer que toutes les observations sont exprimées dans le même référentiel (par exemple le référenciel barycentrique translaté, sur la figure) alors que chaque observation est dans un référentiel dépendant de l'observation (en rouge sur la figure). L'expression des mesures prises à des instants différents selon une même échelle se pose aussi pour les vitesses radiales, mais passe par l'étalonnage de l'instrument de mesure.

La dérivée temporelle des vecteur est toujours définie par rapport à un référentiel. Ici la notation désigne la dérivée temporelle par rapport au RBSS.

La détermination de la position du centre de masse de la Terre par rapport au barycentre du système solaire est un sujet à part entière. La trajectoire d'un corps céleste au cours du temps dans un référentiel donné est appelée une éphéméride. Les principaux laboratoires de calcul des éphémérides sont le JPL (NASA) et l'IMCCE (Observatoire de Paris). Les liens envoient sur les générateurs en lignes d'éphémérides respectifs des deux laboratoires. .

Remarque: la procédure de changement de référentiel passe par des changements d'échelle de temps (UTC, UT1, TDB...) qui ne seront pas détaillés ici.

Changement de coordonnées

Position de l'étoile en coordonnées sphériques dans le référérentiel barycentrique du système solaire et dans le référentiel translaté au centre de masse de la Terre. Les observations sont disponibles dans le référentiel terrestre, représenté en rouge, qui dépend de l'instant de mesure .

L'ajustement des paramètres orbitaux permet de connaître ou bien dans le cas des vitesses radiales. Il est impossible de distinguer les masses et séparément a priori. Cependant, on peut mesurer la masse de l'étoile de sorte à lever l'indetermination.

La modélisation des étoiles permet de distinguer les effets sur le spectre de la variation de leur flux lumineux de la présence de compagnons planétaires. Ces variations sont modélisées par des variables aléatoires suivant une certaine loi de probabilité, dont l'amplitude varie de plusieurs ordres de grandeur selon le type d'étoile. Plus l'étoile est active, plus l'amplitude du mouvement dû à la planète doit être grande pour distinguer la planète du bruit. En particulier certains types d'étoiles sont trop actives pour pouvoir détecter des potentielles super-Terres compagnon.

La description physique des étoiles est complexe car de nombreux phénomènes, tous interdépendants, ont lieu: convection, radiation, magnétisme... Les modèles utilisés en détection par vitesses radiales comprennent trois phénomènes

• Les ondes de pression se propageant dans les couches extrérieures de l'étoile entrainent des compressions-dilatations de celles-ci, ce qui change la vitesse radiale moyenne observée par rapport à une photosphère statique.Cet effet affecte principalement les observations de vitesses radiales.
• La granulation: phénomène convectif (c'est à dire lié au déplacement de matière dans l'étoile)
• L'activité de l'étoile: la présence de régions sombres ou lumineuses à la période de rotation de l'étoile

L'impact de ces effets sur les mesures n'est pas simple à quantifier. Selon le type d'étoile et les instants d'observations, l'effet peut être très variable. Certains auteurs estiment les incertitudes par des simulations numérique, d'autres par des modèles théoriques. Nous donnons une description qualitative de ces phénomènes et une modélisation possible, mais il faut garder à l'esprit que c'est un sujet de recherche ouvert. Dans le cas des vitesses radiales, ces bruits sont classiquement modélisées par un processus stochastique d'une certaine densité spectrale de puissance, notion importante en statistique, qui est définie dans cette page.

La mesure de la masse de l'étoile peut se faire de deux manières

• Par ajustement aux observations de modèles théoriques d'intérieurs stellaires.
• Par mesure du mouvement dans un système binaire

Dans le premier cas, si la distance à l'étoile est connue (par exemple par mesure de parallaxe), on peut mesurer sa luminosité intrinsèque (si on ne connaît pas la distance on ne mesure évidemment que la luminosité apparente). Par son spectre, on peut mesurer sa température effective . Des modèles d'intérieurs stellaires permettent ensuite d'évaluer la masse. Cette estimation peut être rafinée avec un modèle d'atmosphère stellaire. On peut alors avoir la gravité à la surface de l'étoile . Comme et , on peut avoir une estimation de la masse.

Dans le cas des étoiles binaires (systèmes de deux étoiles), le spectre présente des raies des deux étoiles. Le mouvement de ces raies se fait à la même fréquence, mais dans des directions opposées (lorsqu'une étoile approche l'autre s'éloigne). La période de ces mouvements est liée à la masse du système par l'équation de Kepler. L'amplitude relative de ces mouvements permet de déterminer la masse des deux étoiles séparément. Comme dans le cas de la détermination des orbites des planètes, la masse n'est connue qu'à un faceteur près. Pour lever cette indetermination, il faut déterminer l'inclinaison de l'orbite par rapport à l'observateur . Si on observe des eclipses (une binaire passe devant l'autre), . Si le système n'est pas dans cette configuration, on peut séparer angulairement les deux étoiles par des techniques d'interférométrie.

Le phénomène de granulation est lié à la convection du gaz dans l'étoile. La lumière rayonnée par le gaz chaud remontant à la surface va vers l'observateur, la longueur d'onde reçue est donc décalée vers le bleu. En rayonnant, le gaz se refroidit, puis repart vers le centre de l'étoile. Etant moins chaud, il émet moins de lumière, si bien que la lumière est globalement décalée vers le bleu. Ce phénomène est variable dans le temps, donc le décalage vers le bleu aussi. Cette variation peut apparaître dans le spectre et créer des fréquences parasites. La nature aléatoire du phénomène fait que même après ajustement, il reste un bruit résiduel. Pour une étoile de type solaire, il est de l'ordre de 0.5 - 1 m/s sur une observation.

La granulation est en général modélisée par un processus stochastique dits de bruits en créneaui (popcorn noise ou burst noise en anglais). Il s'agit de processus stochastiques pouvant prendre deux valeurs, par exemple -1 ou 1 avec une probabilité de changement suivant une loi de Poisson (loi exponentielle). Si à la valeur passe de 1 à -1, la densité de probabilité pour que la valeur passe à 1 à est où est un réel positif. Pour les vitesses radiales, la densité spectrale de puissance de ces bruits peut être modélisée par::

Cette modélisation, due à Harvey (1985) a depuis été revue et d'autres densités spectrales de puissances ont été proposée à partir de simulations 3d de convection au sein d'une étoile. En pratique, le bruit dû à la granulation apparaitra comme un signal périodique de l'ordre de cinq minutes. Cependant, on observe aussi des phénomènes appelés meso-granulation et super-granulation sur des échelles de temps plus longues. La contribution totale de ces bruits est:

Où les indices g, mg et sg se réfèrent respectivement à la granulation, la méso granulation et la super-granulation. En anticipant un peu sur le troisième chapitre, lorsque ces bruits sont pris en compte, les valeurs des et sont ajustés sur le spectre de puissance du signal.

La formation d'arcs de champ magnétique à la surface de l'étoile inhibe le mouvement des particules, donc réduit la température et provoque donc des tâches sombres. Cet effet à des effets à court termes (à la fréquence de rotation de l'étoile mois), et à plus long terme à travers des cycles d'activité magnétique.

A court trerme, la tache introduit une dissymétrie entre la partie de l'étoile tournant vers l'observateur, et la partie s'en éloignant, ce qui engendre un décalage du spectre mesuré. D'autre part, la tache engendre un déplacement du photocentre de l'étoile périodique, pouvant être confondu avec la présence d'une planète. Pour éviter ces confusions, on estime la période de rotation de l'étoile par spectroscopie, et on ajuste des sinusoïdes à cette période et ses premières harmoniques.

L'activité magnétique peut se mesurer à travers divers indicateurs, dont on analyse les corrélations.

Toujours selon le modèle de Harvey (1985), la densité spectrale de puissance du bruit de vitesse radiale induit par une tache solaire est:

Effet de la rotation de l'étoile sur le spectre

La lumière provenant de la moitié de l'étoile ayant un mouvement vers l'observateur est décalé vers les hautes fréquences (vers le bleu). L'autre moitié est décalée vers les basses fréquences (vers le rouge). Dans l'hypothèse où l'étoile est sphérique, et a une luminosité identique partout sur sa surface, le décalage vers le rouge et celui vers le bleu ne fait qu'élargir les raies spectrales. Si une tache est présente, ici sur la partie bleue, la symétrie est brisée et le déficit de lumière entraine un décalage du spectre vers le rouge.

Des inhomogénéités de densité dues aux mouvements convectifs font que des ondes mécaniques se propagent au sein des étoiles. Certaines de ces ondes sont radiales, ce qui provoque un mouvement d'ensemble de la photosphère qui a une signature sur le décalage du spectre mesuré. L'étude de ces ondes est un domaine de la physique stellaire appelé "astérosismologie". Etant donné que la théorie est accessible au niveau licence, nous en donnons des principes généraux.

La théorie procède comme suit: on écrit localement 1) l'équation du mouvement linéarisée au premier ordre au voisinage d'un état d'équilibre, 2) la conservation de la masse ou équation de continuité, 3) l'équation de Poisson, liant le potentiel gravitationnel et la densité, 4) Le premier principe de la thermodynamique. On néglige l'effet du champ magnétique. En général, on fait l'hypothèse que le terme de transfert thermique dans le 1er principe est nul.

Les effets expliqués précédemment sont pour la plupart périodiques, donc peuvent être confondus avec le signal d'une planète. Le tableau suivant récapitule ces effets, leurs amplitudes et périodes typiques pour des étoiles de type solaire.

Effets physiques

Effet	Description	Amplitude (vitesse radiale)	Amplitude (astrométrie)	Echelle de temps
Mouvement des planètes	Le mouvement des planètes autour de l'étoile engendre un mouvement périodique	1 cm/s - 200 m/s	Terre: 0.3, 0.03 as Jupiter: 500, 20 as à 1 et 10 parsec resp.	de un jour à plusieurs centaines d'années
Mouvement propre	Mouvement rectiligne uniforme	Dizaines de kilomètres par seconde	10 - 1000 mas pour les étoiles observables	Mouvement non périodique
Taches	La présence de taches sombres ou lumineuses dues à l'activité magnétique provoque une disymétris entre la luminosité de la partie bleue et la partie rouge de l'étoile, engendrant un décalage du spectre ou du photocentre.	1 m/s	Avec ces trois effets, 0.5 - 10 UA	Période de rotation de l'étoile (quelques jours)
Activité magnétique (long terme)	Le nombre de tâche à la surface de l'étoile peut varier de quelques unes à plusieurs centaines. Par exemple le soleil a une périodicité de 11 ans. L'effet précédent est modulé par ces variations à long terme.	10 m/s		1 - 10 ans
Granulation	Le mouvement convectif à l'intérieur de l'étoile provoque un mouvement du gaz dans la photosphère	0.5 - 1 m/s		Granulation: quelques minutes, mesogranulation:
Oscillations radiales (p-modes)	La propagations d'ondes acoustiques dans le manteau de l'étoile entraîne une oscillation de celui-ci	0.5 - 1 m/s	inconnu	5 - 10 minutes
Système multiple	La présence d'autres étoiles orbitant autour de l'étoile cible engendre un mouvement décrit par les mêmes équations que celles utilisées pour les planètes. Les autres étoiles étant beaucoup plus massives que des planètes, l'effet est plus important.	1 - 30 km/s	0.1 - 1 as/an	10 - 100 ans

effets observationnels

Effet	Description	Amplitude (vitesse radiale)	Amplitude (astrométrie)	Echelle de temps
Mouvement de l'observateur dans le RBSS	Comme l'observateur est en mouvement dans un référentiel galiléen,	30 km/s (après soustraction, on a une erreur 0.5 m/s à cause des incertitudes sur la rotation de la Terre et les éphémérides)	0.01 - 0.1 as/an	Une année
Perturbations atmosphériques	La présence de raies spectrales atmosphériques peut perturber les observations par vitesses radiale, et les turbulences dévient les fronts d'ondes, engendrant un déplacement apparent des sources.	0.5 m/s	1 mas	Quelques minutes

Jusqu'à présent, on a modélisé la lumière qui parvient à un observateur théorique situé au voisinage de la Terre. Dans cette section, on présentera l'aspect concret de l'observation, en particulier les instruments. En astrométrie on mesure la position sur le detecteur CCD sur le plan focal du télescope, pour les vitesses radiales on utilise un spectrographe dont l'entrée est située au point focal du télescope . Il est essentiel de bien comprendre le fonctionnement des instruments pour des raisons évidentes: ils constituent notre seule source d'information et leur étude permet de mieux modéliser les mesures, donc d'exploiter au mieux les données.

Dans le cas de l'astrométrie comme celui des vitesses radiales, deux conditions sont nécessaires pour obtenir des mesures suffisamment significatives:

• La quantité de lumière collectée doit être suffisament grande pour obtenir le signal sur bruit désiré
• Les erreurs instrumentales doivent être suffisamment petites pour avoir un rapport signal sur bruit acceptable.

En astrométrie comme en détection par vitesses radiales on place un dispositif sur le plan focal d'un télescope, respectivement des capteurs CCD et l'entrée d'un spectromètre (ou spectrographe). C'est pourquoi les principes généraux des télescopes seront présentés. On évoquera le fonctionnement des spectrographes utilisés pour les détections par mesures de vitesses radiales.

Spectrographe ELODIE

Cet appareil a permis la détection de 51 Pegasi b en 1995 par Michel Mayor et Didier Queloz à l'Observatoire de Haute Provence

Crédit : Observatoire de Haute Provence

Un télescope est un appareil permettant de recueillir un rayonnement eléctromagnétique. Pour observer un rayonneme nt dans le visible ou dans l'infrarouge proche, on utilise des télescopes à miroir parabolique. Pour éviter les ambiguités, on définira le plan focal comme le plan perpendiculaire à l'axe optique (ici l'axe de symétrie du télescope) passant par le foyer, et on fait l'hypothèse que les rayons reçus font un angle faible avec l'axe optique. Dans ces conditions, La relation donnant la distance au point focal de l'image d'un rayon arrivant avec un angle sur le plan focal est en première approximation , où est la distance focale. Pour les angles faibles, on peut travailler avec une lentille équivalente au télescope, de même diamètre et distance focale. On va introduire trois notions de bases sur les télescopes: le champ, la résolution angulaire et la vitesse d'acquisition.

Le champ est la portion du ciel observée par le détecteur du télescope. Comme le détecteur est au plan focal, il est égal à

La résolution angulaireest l'angle minimal entre deux sources permettant de les séparer par le système de détection. Cette définition est vague, et Supposons qu'une source ponctuelle émettant à une longueur d'onde soit placée en un point du plan focal . A cause du phénomène de diffraction, la lumière ne sera pas émise selon une direction unique, mais son énergie sera répartie sur certains angles centrés sur . Comme la lumière suit le même trajet dans les deux sens, ce détecteur reçoit de la lumière provenant de ces angles.

Le rapport du diamètre et de la distance focale du télescope donne la "vitesse" de l'instrument. En effet, considérons une source circulaire de taille angulaire , son image sur le plan focal est un cercle d'aire . L'intensité observée est proportionnel à l'aire du télescope, donc l'énergie par unité de temps reçue est proportionnelle à . On définit l'ouverture du télescope par Le rapport signal sur bruit des mesures de CCD est égal à où est le nombre moyen d'électron par unité de temps et est le temps d'intégration (voir Bruit de photon). On peut calculer le temps d'intégration minimal pour obtenir un certain signal sur bruit compte tenu de l'ouverture du télescope, de la taille de la source et de son intensité. Plus l'aire et grande, plus la distance focale est petite, et plus l'instrument collecte rapidement le nombre de photons requis.

Cependant, lorsque l'ouverture augmente, la résolution angulaire diminue.

Miroir parabolique

Les rayons perpendiculaires à l'axe de symétrie d'une parabole parviennent au point focal .Ceux qui arrivent avec un certain angle arrivent légèrement décalés.

Un détecteur CCD est composé de trois partie: des électrodes en silicium, un isolant en et une jonction de semiconducteurs NP. Les électrodes en polysilicium sont reliées périodoquement par un fil conducteur (toutes les trois électrodes sur la figure) de sorte à créer un profil de potentiel électrique alternant puits et régions plates. Le principe d'un capteur CCD est le suivant (voir figure)

• Lorsqu'un photon percute un atome du slicium dopé N, un électron est émis par effet photo-électrique.
• Une jonction de semi-conducteurs dopés crée un champ électrique (exactement comme dans une diode). Comme la force qui s'exerce sur l'électron est où est le champ électrique, est la charge de l'électron, et que le champ est orienté vers le bas l'électron est piégé sous l'isolant.
• L'électron est confiné dans un puit de potentiel électrique, selon l'endroit où il a été émis
• Ces trois premières étapes ont lieu pendant tout le temps d'intégration. Ensuite, le nombre d'électron par puit de potentiel est compté, voir (b) sur la figure. Les puits de potentiels sont progressivement décalés et le nombre d'électrons s'y trouvant est compté par puit.

Le contrôle de l'erreur induite par la CCD est primordial et peut s'avérer très complexe. Nous ne rentrerons pas dans ces considérations.

Schéma de principe d'un capteur CCD

Le bruit de photon est une limitation fondammentale en astronomie car il est dû à la nature de l'émission de la lumière. En effet, les instants d'émission de deux photons sont indépendants les uns des autres.On peut montrer mathématiquement qu'une suite d'évènement indépendants, sans mémoire et stationnaire est nécessairement un flux de Poisson. Dans notre cas, si on note le temps d'attente entre deux émission de photon, la probabilité que soit supérieure à sachant que est où est une constante.

Cette constante a une interprétation physique: plus elle est grande, plus diminue rapidement à donné, c'est à dire plus la probabilité que soit long diminue. On peut montrer est le nombre d'évènement par unité de temps moyen, proportionnelle à l'intensité. Rappelons que le détecteur capte des photons pendant le temps d'intégration . Le nombre de photons reçus pendant ce temps est une variable aléatoire suivant la loi:

Qui est appelée loi de Poisson. La moyenne et la variance d'une telle loi sont égales et valent . En conséquence, l'écart-type vaut donc le rapport signal sur bruit (Signal-to-Noise Ratio) est:

On considère une source d'ondes et un observateur. Selon leur vitesse relative, la fréquence reçue par l'observateur varie: c'est ce qu'on appelle l'effet Doppler. Dans le cadre de la physique classique et d'une onde harmonique (purement sinusoidale), on peut le calculer simplement. En effet, notons la distance entre la source et l'observateur, la vitesse de l'onde et. Par définition d'une onde harmonique de pulsation et d'amplitude , l'amplitude mesurée à et vaut

Où donne en particulier la phase en . Si la distance varie avec le temps selon , alors en et on mesure

Donc pour l'observateur, tout se passe comme s'il recevait une onde de pulsation ou de longueur d'onde et de phase .

Cependant, lorsque est la vitesse de la lumière, la relativité générale donne une description beaucoup plus précise du phénomène. Nous ne présenterons pas le calcul menant à l'expression de l'effet Doppler dans ce cadre mais en donnons l'expression:

Où est l'angle entre la direction de la vitesse relative et la ligne de visée observateur-source. Remarquons que lorsque tend vers et tend vers 0, l'expression tend vers l'expression classique.

L'observation des vitesses radiales nécessite de mesurer des longueurs d'onde très précisément, pour cela on utilise des spectrographe. Les équipes américaines et européennes utilisent des appareils différents, mais dans les deux cas ce sont des spectrographes d'échelle. Le principe d'un tel instrument est d'observer simultanément plusieurs ordres élevés de diffraction à l'aide de deux diffractions successives. La lumière est d'abord diffractée par un premier réseau. Un dispositif, appelé "echelle grating" est placé à un certain angle (blazing angle) du premier réseau de sorte à recevoir des ordres élevés de la première diffraction, qui sont diffractés à nouveau.

Ce dispositif permet "d'étaler" le spectre de sorte qu'une rangée de détecteurs CCD reçoit des longueurs d'ondes très proches, ce qui permet une haute résolution spectrale. En contrepartie, l'énergie est elle aussi répartie, ce qui augmente le temps d'intégration nécessaire pour recevoir suffisamment de lumière pour obtenir un certain rapport signal sur bruit.

D'une mesure à l'autre, à cause de variations internes à l'instrument (température, pression), une longueur d'onde donnée peut se décaler. Comme les mesures doivent pouvoir être comparées entre elles; ce problème doit être résolu efficacement: il faut étalonner l'instrument. Sur ce point, les instruments européens et américains diffèrent. Pour les premiers: ELODIE, CORALIE, HARPS, HARPS-N, l'étalonnage se fait en observant simultanément l'étoile cible est une source dont le spectre est connu. ELODIE observe le ciel, HARPS une lampe thorium-argon calibrée et HARPS-N utilise deux calibrations: un spectre de Fabry-Perot et un "laser frequency comb" (un laser dont le spectre est constitué de raies régulièrement espacées). Les instruments américains font passer la lumière par une cavité contenant de l'iode, dont la position des raies d'absorption est connue. Dans les deux cas on peut comparer Les raies du spectre de référence et celles de l'étoile observée. Si leur déplacement est corrélé (elles se décalent simultanément), il est dû à l'instrument.

La résolution spectrale de ces spectrographes, c'est à dire le rapport d'une longeur d'onde et de la sa variation détectable par le dispositi f est de l'ordre de 100000. Des simulations numériques (Hatzes & Cochran 1992) ont montré que l'écart type sur la mesure finale de vitesse radiale vérifie:

Où est l'intensité reçue, est la plage de fréquences considérées et est une constante de proportionnalité. Comme certaines longueurs d'ondes jugées contaminées peuvent être exclues de certaines mesures, cette valeur varie d'une mesure à l'autre.

Principe du spectrographe d'échelle

Le rayon incident est d'abord diffracté sur une grille standard (std. grating), puis à nouveau diffracté par le réseau d'échelle. Les trois spectres finalement obtenus sont reçus par des capteurs CCD.

Crédit : "Echelle Principle" by Boris Považay (Cardiff University) - Own work. Licensed under CC BY-SA 2.5 via Wikimedia Commons

Nous avons expliqué que la mesure des vitesses radiales se fait par mesure du déplacement du spectre. Cependant, nous n'avons pas précisé comment ce déplacement était mesuré. Il y a a priori beaucoup d'estimateurs classiques. La méthode majoritairement adoptée repose sur une "cross correlation function" (CCF) ou fonction de corrélation.

Les étoiles ont certains types de spectres que l'on sait reconnaître. Pour une étoile donnée, on définit un "masque" valant 1 pour correspondant à une raie d'absorption de l'étoile et 0 ailleurs. Le spectre de l'étoile observée est multiplié par ce masque décalé d'une valeur et on mesure . Où et désignent les bornes inférieures et supérieures du spectre observé. Ensuite, une fonction gaussienne est ajustée sur la CCF. La valeur correspondant au minimum de la fonction ajustée est prise comme valeur moyenne du déplacement. L'analyse consiste ensuite à comparer les issus d'observations différentes.

La CCF n'est elle même pas symétrique. Ses propriétés d'assymétrie sont analysées, car elles sont significatives d'effets physiques.

La modélisation physique du phénomène nous a permis d'obtenir un modèle où sont les paramètres du modèle et sont les instants d'observation. De nombreuses sources d'erreurs ont aussi été listées. On se pose maintenant la question suivante: comment estimer les paramètres du modèle compte tenu des observations ?

Après avoir listé diverses sources de signal et de bruits de l'émission de la lumière à la valeur donnée par le déteteur, nous allons maintenant donner une expression finale au modèle. Cette expression n'est pas universelle, et selon l'étoile observée, la précision recherchée, d'autres formulations peuvent être préférables.

Après avoir établi ce modèle, on donnera quelques principes d'analyse statistique et des moyens algorithmiques pour estimer les paramètres du modèle. On verra en particulier que l'analyse "dans le domaine fréquenciel" est particulièrement importante.

Le modèle comportera une partie déterministe et une partie aléatoire. Pour l'astrométrie, la position sur la sphère céleste est

Où est la position initiale de l'étoile, sont les composantes du mouvement propre sont des termes d'accélération de perspective, sont les constantes de Thiele-Innes de la planète , et sont ses coordonnées sur son plan orbital, est la parallaxe, sont les coefficients parametrant le mouvement de la Terre, Les sont les bruits résiduels modélisés par des bruits gaussiens.: sont les bruits stellaires, sont les bruits atmosphériques et représentent des bruits instrumentaux.

Où est la vitesse de l'observateur dans le référentiel barycentrique du système solaire, est la composante du mouvement propre dans la direction radiale, est le signal stellaire dû à la granulation, aux oscillations et à l'activité, est le bruit stellaire résiduel et le bruit associé à la mesure.

Dans les deux cas, les techniques de réduction de données visent à trouver des paramètres qui sont "plausibles", en l'occurrence, qui reproduisent les observations.

Rappelons qu'une variable aléatoire peut être vue comme un programme informatique qui délivre des valeurs suivant une certaine distribution de probabilité lorsqu'on lui demande. Le problème que nous posons maintenant est équivalent au suivant. Supposons qu'un ordinateur ait en mémoire des paramètres (nombre de planètes, leurs caractéristiques orbitales, la période de rotation de l'étoile etc.). S'il n'y avait pas de bruit, une mesure à l'instant reviendrait à demander à l'ordinateur d'évaluer une fonction . Nous connaissons et (c'est l'un des modèles de la page précédente), mais nous ne connaissons pas . Notre but est de le déterminer à partir des mesures . Ce principe est similaire à la résolution d'une énigme: quelqu'un connaît une information et nous essayons de la deviner en posant une question. Dans le cas sans bruit, celui qui pose l'énigme ne nous induit pas en erreur, mais cela ne veut pas dire que la résolution est facile !

Exemple: on veut trouver les paramètres d'une fonction affine du temps (ici ). On évalue la valeur de en , on obtient : on a deux inconnues pour une équation, on ne peut pas résoudre. Si on a , avec , alors on a et .

Notre cas est plus compliqué. Les valeurs que nous obtenons sont où est la réalisation d'une variable aléatoire . A l'appel numéro du programme, l'ordinateur fait appel à un autre programme qui délivre une variable alétoire selon une certaine loi. En l'occurrence, nous supposons cette loi gaussienne. Si nous faisons mesures, tout se passe comme si un programme principal évaluait la fonction et programmes secondaires , retournent chacun une valeur . Si nous pouvions remonter le temps et faire les mesures plusieurs fois aux mêmes instants, on aurait des des vecteurs de mesures , puis etc. (notez qu'ici et sont des vecteurs.

Comme nous ne connaissons que la loi suivie par les variables , ils nous est impossible de connaître les paramètres avec certitude. On leur attache une "erreur", qui quantifie l'incertitude que l'on a sur eux. En reprenant l'exemple précédent on mesure et . Si on estime et avec les mêmes formules, on fera une erreur sur et une erreur sur (admis).

Dans le modèle , le symbole désigne un bruit gaussien. Comme ils apparaissent constamment en détection de planètes extrasolaires et ailleurs, nous allons en donner quelques propriétés.

A une expérience donnée, prendra une valeur imprévisible. La probabilité que la valeur de soit comprise entre et est où est la densité de probabilité de . Dire que est un bruit gaussien veut dire que sa densité est de la forme où et sont des réels, qui sont égaux respectivement à la moyenne et à l'écart-type de . On note souvent , qui signifie " suit une loi gaussienne de moyenne et de variance . Dans la plupart des cas, le bruit est de moyenne nulle (c'est le cas ici).

Dans le modèle, des bruits d'origines différentes s'additionnent. Sachant que le résidu de l'activité stellaire que nous n'avons pas ajusté et le bruit de mesure suiven une certaine loi, quelle loi suivra ? Nous pouvons déjà dire que la moyenne de sera égale à la somme des moyennes de et car l'espérance est un opérateur linéaire. Peut-on dire plus ? Si ces bruits dépendaient l'un de l'autre, la réponse pourrait être complexe. En l'occurrence, la physique de l'étoile cible et les erreurs instrumentales sont totalement indépendantes. On peut montrer que dans ces conditions, la variance de est égale à la somme des variances de et . Nous pouvons même aller plus loin car la somme de deux variables gaussiennes indépendante est une variable gaussienne. En résumé, en l'occurrence et sont nulles.

Lorsqu'on dispose de plusieurs mesures, à l'expérience numéro on a un certain bruit réalisation d'une variable de densité . La plupart du temps, on fait l'hypothèse que les brutis sont indépendants, c'est à dire que la probabilité d'obtenir le bruit à l'expérience ne dépend pas des valeurs prises aux expériences précédentes et suivantes. Lorsque ce n'est pas le cas on parle de bruits corrélés. Pour les caractériser, on utilise souvent leur densité spectrale de puissance. Un certain profil de densité spectrale correspond à une "couleur" du bruit.

A retenir: la somme de variables gaussienne indépendantes où est une variable gaussienne suivant la loi .

Il esiste plusieurs outils pour s'assurer qu'une détection possible n'est pas due au bruit. L'un des plus utilisé est le test de signification (significance en anglais), qui consiste à calculer la probabilité d'avoir le signal observé "au moins aussi grand" s'il n'y avait en réalité que du bruit. Par exemple, qupposons que l'on veuille mesurer une quantité qui est perturbée par un bruit gaussien additif de moyenne nulle et d'écart-type , donnant une mesure .

Si il n'y avait en réalité pas de signal (), les mesures seraient uniquement dues au bruit. On imagine deux cas de figures:

• 1er cas: on mesure . La probabilité d'avoir obtenue une valeur au moins aussi grande par hasard, c'est à dire la probabilité que sachant que est
• 2ème cas: on mesure . La probabilité pour que alors que est

Ces valeurs ont une interprétation: si on réalisait exactement le même type de mesure alors qu'il n'y a pas de signal, on observerait dans % des cas et dans % des cas.Dans le premier cas, la probabilité d'avoir un signal aussi grand que celui que l'on a mesuré est grande. On ne peut pas assurer qu'un signal a été détecté. Par contre, dans le deuxième cas on serait dans un des deux cas sur un milliard où le signal serait dû au bruit. On peut alors dire qu'on a détecté un signal à , car la valeur de l'écart-type du bruit est , sa moyenne est , donc on a .

Détecter un signal "à 10 sigmas" est un luxe que l'on peut rarement se payer. Les détections sont annoncées plutôt pour des valeurs de sigmas.

Remarque importante: on calcule la probabilité d'avoir les observations sachant qu'il n'y a pas de signal et non la probabilité d'avoir un signal sachant les observations qui est une quantité qui a davantage de sens. Le calcul de cette dernière quantité se fait dans le cadre du calcul bayésien, outil très puissant qui ne sera pas développé dans ce cours.

Nous nous sommes toujours ramenés à des modèles du type: modèle déterministe + bruit gaussien. Afin de vérifier que les observations sont compatibles avec le modèle, on étudie les résidus, définis comme "les observation - le modèle ajusté".

La loi du est un outil commode pour étudier le comportement de plusieurs variables gaussiennes. Considérons d'abord une famille de variables aléatoires gaussiennes indépendantes , de moyenne nulle et de variance unité. On forme la quantité . Comme les sont des variables aléatoires, les le sont aussi. La somme de variables alétoires étant toujours une variable alétoire, suit une certaine loi de probabilité. Dans l'analogie avec un programme informatique, la variable alétoire se comporte comme un programme qui appelle programmes générant une variables gaussiennes, puis additionne leurs carrés. Elle est appelée loi du à m degrés de liberté. On peut montrer qu'en moyenne une variable gaussienne au carré a une moyenne de 1. En conséquence, vaudra typiquement .

Pourquoi cette loi serait utile pour notre cas ? Si le modèle est bien ajusté, les résidus doivent se comporter comme un bruit gaussien. En supposant que les erreurs sont toutes indépendantes, de moyenne nulle et de variance unité, les résidus en sont une réalisation. Donc est une réalisation d'une loi du à degrés de liberté. Si est de l'ordre de , le modèle est cohérent. Sinon, le modèle ou les paramètres ajustés sont à revoir.

En pratique, les erreurs ne sont évidemment pas de variance unité et parfois pas indépendantes. Par contre on peut à bon droit supposer qu'elles sont de moyenne nulle. Pour se ramener au cas précédent, on calcule non pas une réalisation de mais de où , est sa transposée et est la matrice des variances-covariances de . Dans le cas où les sont indépendantes, la matrice des variances-covariances est diagonale, son -ème terme diagonal étant , soit l'inverse de la variance de .

Etant donné des paramètres , le modèle global est une variable aléatoire: il est somme d'une variable aléatoire valant avec une probabilité 1 et d'un vecteur de variables aléatoires gaussienne . A ce titre, il a une certaine densité de probabilité que l'on note . Le symbole | se lisant "sachant". La lettre L vient de Likelihood, qui veut dire vraisemblance en anglais. Il s'agit dans l'idée de la probabilité d'obtenir pour une valeur de donnée..

La fonction est souvent appelée "fonction de vraisemblance". La valeur de maximisant est appelé l'estimateur du maximum de vraisemblance. Il a de bonnes propritétés statistiques. En effet, on peut montrer que c'est un estimateur:

• Non biaisé: lorsque le nombre de mesure tend vers l'infini, l'estimateur du maximum de vraisemblance tend vers la bonne valeur
• De variance minimale: parmi les estimateurs non biaisés, il a la variance la plus faible que l'on puisse espérer.

Dans notre cas, si les sont des variables indépendantes, leur densité de probabilité jointe est égale au produit de leurs densité de probabilité. où est la densité de probabilité de la variable . De plus, si ces varibles sont gaussiennes et indépendantes, on a:

Pour des bruits gaussiens indépendants, maximiser la vraisemblance, revient à minimiser puisque est une fonction décroissante. La méthode consistant à minimiser s'appelle la méthode des moindres carrés. C'est la méthode d'estimation de loin la plus utilisée dans tous les domaines. Elle est parfois utilisée quand les bruits ne sont pas gaussiens, mais il faut garder à l'esprit qu'elle n'a alors plus de propriétés statistiques sympathiques (sauf quand le modèle est linéaire en .

Dans notre cas, les paramètres sont les éléments des orbites, les paramètres du bruit stellaire, du mouvement propre, etc. La fonction a donc de nombreux paramètres, et trouver son minimum global est une tâche ardue qui fait l'objet d'une littérature très vaste.

Lorsque le modèle est linéaire en i. e. où est une certaine matrice dépendant des instants d'observation , l'ajustement est beaucoup plus simple car il a une solution explicite (voir mini-projet). On essaye de se ramener autant que possible à des ajustements linéaires. La plupart du temps, on estime les paramètre les uns après les autres, puis un ajustement global est réalisé. Une démarche classique consiste à:

• Ajuster le mouvement propre et la parallaxe, puis soustraire ces ajustements du signal initial
• Chercher les périodes éventuelles dans le signal à l'aide du périogogramme (voir page suivante)
• Si on trouve une période, on ajuste une orbite, que l'on soustrait du signal
• On recommence les étapes 2 et 3 jusqu'à ce que le périodogramme ne présente plus de pic significatif

Sur la figure, on représente les étapes d'un ajustement d'un signal astrométrique simulé (2 planètes, 45 observations). De gauche à droite et de haut en bas:

• Signal brut en rouge En vert signal après correction des bruits instrumentaux et atmosphériques . Le mouvement propre (tendance linéaire) et la parallaxe (oscillation) dominent très nettement le signal.
• En vert: le signal planétaire réel, sans aucun bruit . En rouge: signal estimé en soustrayant le mouvement propre, l'accélération de perspective et la parallaxe au signal .
• En rouge: signal . En vert : orbite d'une planète ajustée sur .
• En rouge : signal dont on a soustrait . En vert :orbite d'une planète ajustée sur .
• En rouge: signal . En vert: , ajustement de deux planètes en partant des estimations et .
• En vert, signal . On ajuste tous les paramètres simultanément sur en partant des estimations précédentes. Le signal en rouge représente le signal planétaire de cet ajustement.