mise à jour : 1 février 2022
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- Techniques et méthodes

Loi des aires

Auteur: Nathan Hara & Jacques Laskar

Nous avons montré que la solution au problème des deux corps est plane, et peut s'exprimer en fonction de l'anomalie vraie v, angle entre le vecteur excentricité et le vecteur \overrightarrow{r}.

r(v) = \frac{a(1-e^2)}{1+e \cos v}

Afin d'exprimer r en fonction du temps on va introduire successivement deux variables, M et E appelées respectivement 'anomalie moyenne et 'anomalie excentrique.

Loi des Aires

Avec les notations précédentes, \overrightarrow{u}(v) = \cos v \overrightarrow{I} + \sin v \overrightarrow{J}, donc\dot{\overrightarrow{u}}(v) = -\sin v \overrightarrow{I} + \cos v \overrightarrow{J} en remplaçant dans, \overrightarrow{G} = r \overrightarrow{u} \wedge (\dot{r}\overrightarrow{u}} + r \dot{\overrightarrow{u}}) on obtient:

r^2 \frac{dv}{dt}=G

Cette équation s'appelle la Loi des aires et signifie que \overrightarrow{r} balaie les aires à vitesse constant G. En particulier l'aire totale de l'ellipse est parcourue en un certain temps T fixe: le mouvement est périodique. L'aire de l'ellipse vaut:

\pi a b = \pi a^2 \sqrt{1-e^2} = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} r^2 dv = \int_{0}^T \frac{G}{2}dt = \frac{T}{2} \sqrt{\mu a (1-e^2)}

On retrouve bien la troisième loi de Kepler : n^2 a^3 = \mu avec n = \frac{2 \pi}{T}. On définit alors l'anomalie moyenne par M = n(t-t_0)t_0 est le temps de passage au périastre (A sur la figure), qui est proportionnelle à l'aire FAC (voir figure).

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