Bruit de photon

Le bruit de photon est une limitation fondammentale en astronomie car il est dû à la nature de l'émission de la lumière. En effet, les instants d'émission de deux photons sont indépendants les uns des autres.On peut montrer mathématiquement qu'une suite d'évènement indépendants, sans mémoire et stationnaire est nécessairement un flux de Poisson. Dans notre cas, si on note le temps d'attente entre deux émission de photon, la probabilité que soit supérieure à t+s sachant que T>s est $e^{-\mu t}$ où $\mu$ est une constante.

Cette constante a une interprétation physique: plus elle est grande, plus $e^{-\mu t}$ diminue rapidement à donné, c'est à dire plus la probabilité que soit long diminue. On peut montrer $\mu$ est le nombre d'évènement par unité de temps moyen, proportionnelle à l'intensité. Rappelons que le détecteur capte des photons pendant le temps d'intégration $\Delta t$ . Le nombre de photons reçus pendant ce temps est une variable aléatoire suivant la loi:

$\text{Pr}\{N=n\} = \frac{\mu \Delta t}{n!} e^{-\mu \Delta t}$

Qui est appelée loi de Poisson. La moyenne et la variance d'une telle loi sont égales et valent $\mu \Delta t$ . En conséquence, l'écart-type vaut $\sqrt{\mu \Delta t}$ donc le rapport signal sur bruit (Signal-to-Noise Ratio) est:

$SNR = \frac{\text{ecart-type}}{moyenne} = \frac{\sqrt{\mu \Delta t}}{\mu \Delta t} = \frac{1}{\sqrt{\mu \Delta t}}$