Du modèle physique au modèle numérique

Une équation d'une loi physique comprenant une dérivée temporelle et/ou spatiale décrit l'évolution de variables continues avec le temps et/ou l'espace. On peut vouloir résoudre une telle équation au moyen de ressources informatiques, si par exemple sa résolution analytique est impossible ou si on veut l'intégrer à un ensemble plus complexe d'autres lois physiques. Pour ce faire, on procède à une discrétisation du temps et de l'espace, qui consiste à ne plus considérer les axes temporels ou spatiaux comme continus, mais au contraire comme un ensemble fini de valeurs. Ceci permet la discrétisation d'une équation, qui pourra dès lors être résolue par un ordinateur comme dans l'exemple suivant :

On utilise une grille régulière unidimensionnelle dont l'espacement entre deux points consécutifs est $\Delta x$ , qu'on appelle pas spatial. De même, deux instants consécutifs sont espacés d'une durée $\Delta t$ , qu'on appelle pas de temps. On souhaite discrétiser sur cette grille un champ u(t,x) qui est solution de l'équation d'advection : $\frac{\partial u}{\partial t} = - c \frac{\partial u}{\partial x}$ , avec ayant la dimension d'une vitesse. Pour procéder, on discrétise la variable en un champ sur la grille, dont la valeur au j-ième point de la grille au n-ième instant t est notée $U^n_j = u(n\Delta t,j\Delta x)$ .

Une manière de discrétiser l'équation d'advection est de l'écrire: $\frac{U^{n+1}_{j}-U^{n}_{j}}{\Delta t} = -c \frac{U^{n}_{j}-U^{n}_{j-1}}{\Delta x}$ . Cette forme s'appelle un schéma amont.

La manière d'écrire les différentielles peut être différente. Ainsi on aurait pu l'écrire sous la forme d'un schéma centré pour la dimension spatiale : $\frac{U^{n+1}_{j}-U^{n}_{j}}{\Delta t} = -c \frac{U^{n}_{j+1}-U^{n}_{j-1}}{2\Delta x}$ .

Ce qu'il faut retenir de cet exemple est que la discrétisation comporte une part d'arbitraire : il faut faire des choix, qui peuvent avoir des conséquences différentes sur la solution numérique finale.

Une équation discrétisée est donc une approximation de la véritable équation. La première question de la discrétisation est de savoir si, pour reprendre l'exemple précédent, le champ discrétisé (U^n_j) va tendre vers le champ analytique u(t,x) lorsque $\Delta t$ et $\Delta x$ tendent vers zéro. La deuxième question est de savoir à quel point la solution obtenue sera une approximation de la solution analytique. La manière de discrétiser puis utiliser une équation est une discipline en soi et il serait vain de vouloir introduire le sujet ici. Il faut juste garder à l'esprit qu'un GCM est un ensemble d'équations discrétisées, et par conséquent une approximation de la réalité. Cette approximation n'est pas du tout rédhibitoire et n'est pas le principal contributeur d'erreur d'un GCM. Toutefois, la discrétisation impose une règle forte sur le dimensionnement du GCM.

Cette règle, appelée condition de Courant-Friedrich-Lévy, repose sur le nombre de Courant : $C = \frac{v \Delta t}{\Delta x}$ avec la vitesse maximale, $\Delta t$ le pas de temps et $\Delta x$ le pas d'espace. Cette condition stipule que dans un cas simple ce nombre ne doit pas dépasser 1. Autrement dit, on choisit les pas de temps et d'espace tels qu'aucune particule d'air ne traverse plus d'une parcelle géométrique en un pas de temps. En pratique, l'utilisation de plusieurs équations dans un modèle, ainsi que l'utilisation de techniques de discrétisation plus poussées, font que cette simple condition n'est pas la seule à prendre en compte. Toutefois, cette condition demeure une limite forte et on aura toujours $C \le 1$ dans un GCM.