Cas statique

Auteur: Gary Quinsac

Le cas particulier de l'estimation d'attitude à partir de mesures simultanées de directions non parallèles est ici introduit. À chaque observation sont associés deux vecteurs. Le premier est un vecteur unitaire ${\bold b}_i$ définissant la direction mesurée (observée) de la source (la Terre, le Soleil, une étoile, le champ magnétique terrestre...), exprimée dans le repère lié au satellite. Le second est un vecteur unitaire ${\bold r}_i$ qui définit la direction de référence de la source, exprimée dans le repère origine (généralement inertiel). L'estimation d'attitude consiste ici à déterminer la matrice de transformation orthogonale $\bold C$ satisfaisant pour chaque observation i :

${\bold b}_i = \bold C \ {\bold r}_i$

Méthode TRIAD

La méthode TRIAD se base sur l'observation de deux directions non-parallèles. Il s'agit de déterminer la MCD $\bold C$ permettant de transformer les vecteurs de référence ${\bold r}_1$ et ${\bold r}_2$ en vecteurs d'observation ${\bold b}_1$ et ${\bold b}_2$ . Puisque l'on cherche à obtenir l'attitude suivant 3 axes, il nous faut créer deux bases orthonormées (y₁, y₂, y₃) et (x₁, x₂, x₃), respectivement associées aux vecteurs d'oservation et de référence. Il ne reste plus qu'à déduire la matrice de transformation orthogonale (ou MCD) $\bold C(3,3)$ satisfaisant :

$\bold y_i = [C] \ \bold x_i$ , $\begin{cases} \bold x_1 = \bold r_1 \\ \bold x_2 = \frac{\bold r_1 \wedge \bold r_2}{|\bold r_1 \wedge \bold r_2|} \\ \bold x_3 = \bold x_1 \wedge \bold x_2 \end{cases}$ , $\begin{cases} \bold y_1 = \bold b_1 \\ \bold y_2 = \frac{\bold b_a1\wedge \bold b_2}{\bold b_1 \wedge \bold b_2} \\ \bold y_3 = \bold y_1 \wedge \bold y_2 \end{cases}$

Cette méthode présente l'avantage d'être extrêmement simple, d'où son utilisation dans de nombreuses missions passées. De nos jours, cette méthode n'est plus considérée comme suffisamment précise. En effet, les mesures d'observation sont entachées d'erreur, ce qui empêche d'obtenir le même résultat suivant le vecteur d'observation choisi au départ. C'est pour cette raison que l'on choisit généralement l'observation la plus précise. Des techniques de calcul de la covarience de l'erreur de l'estimation ont été développées pour parer à ces inconvénients.

Méthode QUEST

Un critère quadratique peut être utilisé pour déterminer la matrice d'attitude. Cela revient à chercher la matrice orthogonale vecteur(C) minimisant la fonction de moindres carrés :

$L = \frac{1}{2} \ \sum_{i=1}^{n}{a_i \left| \bold b_i - [C] \bold r_i \right|^2}$

La minimisation de ce critère n'a rien d'évident et de nombreuses méthodes ont été proposées. Il s'agit d'identifier les 9 paramètres de la MCD respectant les différentes contraintes énoncées précédemment (moindres carrés et règles de la MCD). L'algorithme QUEST (QUaternion ESTimation) offre une alternative intéressante. La forme quadratique est alors utilisée à la place de la MCD, permettant de réduire le nombre de paramètres. Nous ne rentrerons pas dans le détail de cette méthode dans le cadre de ce cours.