Cinématique du point

Auteur: Gary Quinsac

La cinématique est l'étude du mouvement en fonction du temps indépendammant des causes produisant ce mouvement. Elle est utilisée pour décrire la trajectoire du centre de masse d'un satellite dans l'espace.

Bases de la cinématique

Des cours sur ce sujet existent un peu partout, nous rappellerons simplement quelques notions de base ici :

Le vecteur position d'un objet dans un repère est le vecteur $\bold r$ allant de l'origine du repère au centre de l'objet
Le vitesse de l'objet dans ce repère s'exprime : $\bold v = {d \over dt}(\bold r) = \dot{\bold r}$
L'accélération de M dans ce même référentiel est : $\bold a = {d \over dt}(\bold v) = {d^2 \over dt}(\bold r) = \ddot{\bold r}$
Dans le cas d'un mouvement circulaire, chaque point du corps tourne dans un cercle. La position de tout point peut ainsi être décrite par un angle $\theta$ par rapport à sa position originelle
Si $\bold k$ est un vecteur unitaire dans la direction de l'axe de rotation, la vitesse angulaire est alors obtenue par : ${\boldsymbol\omega} = {d \over dt}(\theta) \ \bold k$
La vitesse linéaire d'un point du corps en rotation s'exprimer alors : $\bold v = \boldsymbol\omega \wedge \bold r$

Dans le cas d'un mouvement circulaire, chaque point du corps tourne dans un cercle.

Cinématique et changement de référentiels

Dans notre domaine, nous sommes constamment contraints de passer d'un repère à un autre pour décrire la trajectoire d'un objet. En cas de référentiels en rotation, tels qu'un référentiel fixé par rapport à la Terre et un référentiel inertiel, passer de l'un à l'autre nécessite d'introduire des termes supplémentaires. Par exemple, si l'on veut décrire la position, la vitesse et l'accélération d'une particule dans un référentiel inertiel noté à partir de sa position dans un référentiel terrestre (fixé par rapport à la Terre) noté , on peut écrire :

$\bold{r}_I = [T]_{I|F} \ \bold{r}_F$
$\bold{v}_I = \frac{d}{dt} (\bold{r}_I) = [T]_{I|F} \ \frac{d}{dt} (\bold{r}_F) + \frac{d}{dt}([T]_{I|F}) \ \bold{r}_F = [T]_{I|F} \ \frac{d}{dt}(\bold{r}_F) + ([T]_{I|F} \ [\Omega]) \ \bold{r}_F$

Nous avons utilisé la dérivée de la MCD qui est introduite dans le chapitre sur la cinématique d'attitude. Finalement :

$\bold{v}_I = [T]_{I/F} ([\Omega] \ \bold{r}_F + \bold{v}_F)$
$\bold{a}_I = \frac{d}{dt}(\bold{v}_I) = \frac{d}{dt}([T]_{I/F}) ([\Omega] \ \bold{r}_F + \bold{v}_F) + [T]_{I/F} \left[ \frac{d}{dt}([\Omega]) \ \bold{r}_F + [\Omega] \ \frac{d}{dt}(\bold{r}_F) + \frac{d}{dt}(\bold{v}_F)\right]$

$\bold{a}_I = [T]_{I/F} \left[ [\Omega] \left([\Omega] \ \bold{r}_F \right) + 2 \ [\Omega] \ \bold{v}_F + \frac{d}{dt}([\Omega] \ \bold{r}_F + \bold{a}_F \right]$

Dans le réferentiel en rotation (celui fixé par rapport à la Terre), la deuxième loi de Newton peut alors être écrite :

$\bold{F}_F = [T]_{F/I} \left( m \ \bold{a}_I \right) = m \left[ [\Omega] \left( [\Omega] \ \bold{r}_F \right) + 2 \ [\Omega] \ \bold{v}_F + \frac{d}{dt}([\Omega]) \ \bold{r}_F + \bold{a}_F \right]$

où $\frac{d}{dt} \left( [\Omega] \right)$ est l'accélération angulaire. On introduit ici les accélérations centripète $[\Omega] \left( [\Omega] \ \bold{r}_F \right)$ et de Coriolis $2 \ [\Omega] \ \bold{v}_F$ .