Loi binomiale

Auteur: Sylvain Fouquet

La loi binomiale

Exemples de lois binomiales pour différent nombre de répétition (

) d'une loi à deux évènements et pour différentes probabilités de l'évènement 0 (

). Pour le même nombre de lancers n=20

, le pic est à 14 avec un probabilté p = 0,7

et seulement 10 avec p=0,5

. Pour

, le pic est à 20, à la moitié du nombre de lancers, car il y autant de chance d'avoir l'évènement 0 que 1. En comparaison de n=20

, lorsque

, la fonction a un pic moins haut mais plus reséré, cela est dû au fait que le rapport entre l'espérance et l'écart type tend vers 0 lorsque

tend vers l'infini.

Crédit : Wikipédia

Lois à deux événements

Les lois n'ayant que deux évènements sont les plus simples mais aussi les plus utilisées. L'ensemble univers de ces lois de probabilités n'étant composé que de deux événements, il s'agit d'une variable discrète. Les événements peuvent être représentés par 0 et 1. Par exemple le jet d'une pièce suit ce type de lois : 0 étant par convention "pile" et 1 "face". L'évènement 0 a une probabilité notée alors que l'événement 1 a une probabilité notée . Toujours, dans le cas d'une pièce de monnaie, p = q = 1/2 . De manière générale, et n'ont aucune raison d'être identiques comme dans le cas de la pièce de monnaie. Je peux inventer une expérience où je définis l'évènement 0 si un dé sort la valeur 1 et l'événement 1 si un dé sort 2, 3, 4, 5 ou 6. Dans ce cas p = 1/6 et q=5/6 . De manière générale comme 0 et 1 forment l'ensemble univers, alors la probabilité P(0) + P(1) = 1 donc p + q = 1 et q=1-p . Les lois à deux événements ne dépendent donc que d'un paramètre, .

Loi binomiale

En compléxifiant la loi vue ci-dessus, il est possible de créer la loi binomiale. Cette dernière s'intéresse aux résultats de plusieurs lancers d'une expérience n'ayant que deux événements possibles. Par exemple, lorsqu'une pièce est lancée 20 fois de suite, quelle est la probabilité d'avoir 10 faces ou 3 piles ou même 20 faces de suite ? La loi binomiale dépend donc de deux paramètres : la propabilité de la loi à deux événements et le nombre de répétition de cette loi, . Son ensemble univers est constitué de toutes les séries possibles de répétitions de la loi à deux évènements. Le nombre d'événements vaut donc 2^n car à chaque répétition ( en tout) il y a deux événements possibles. Par exemple, lancer une pièce trois fois donne 2^3=8 évènements possibles. L'ensemble univers est en ce cas : (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1). Chaque évènement est donc constitué d'un certain nombre de 0, noté , et de 1, noté n-k . Par définition la probabilité de 0 vaut et celle de 1 vaut 1-p . Donc la probabilité d'un évènement est p^(k)*(1-q)^(n-k) . L'intérêt dans ce type d'expérience est de savoir combien de fois sort l'évènement 0 ou 1 mais sans se soucier de l'ordre. Les évènements (0, 1, 0) ou (1, 0, 0) sont alors considérés comme identiques. La loi binomiale fournit la probabilité de tirer évènements 0 sur lancers. Pour cela, il suffit de remarquer que pour un nombre d'événements 0 parmi lancers, il est possible d'effectuer (C^n)_k = factorielle(n)/(factorielle(k)*factorielle(n-k)) permutations. Donc la probabilité recherchée, notée P(k) , vaut P(k) = (C^n)_k*p^k * (1-q)^(n-k) .

Propriétés de la loi binomiale

Sur lancers, plus un évènement aura une grande probabilité plus il sortira souvent. Cependant, il est rare qu'il sorte pour chaque lancer. En conséquence, le pic de probabilité de la loi binomiale se situe en E[(N+1)*p] , où est la partie entière. Si p tend vers 1 alors le pic tendra vers , à l'inverse il tendra vers 0. De plus, l'espérance de la loi binomiale vaut et son écart type vaut sqrt(N*p*(1-p)) . Dans le cas ou est très grand, un million par exemple, Le rapport écart-type sur espérance vaut sqrt(N*p*(1-p))/(N*p) = sqrt(1-p)/sqrt(N*p) prop 1/sqrt(N) , il tend vers zéro. Si l'on voit l'espérance comme la mesure d'une observation et l'écart type comme son incertitude absolue alors, si est très grand, l'incertitude relative sur la mesure sera très faible. Par exemple, dans un métal constitué de milliards d'atomes, supposons que les spins de chaque atome puissent être en haut ou en bas avec la même probabilité, p =1/2 . Alors le métal n'aura pas de champ magnétique significatif car il aura statistiquement à chaque instant quasiment autant de spins en haut qu'en bas. La différence instantanée entre le nombre d'atomes ayant un spin en haut ou en bas, générateur d'un champ magnétique, sera en ordre de grandeur (1/2)*sqrt(n) = 0.5*sqrt(10^9) ~= 1500 ; ce qui fournira des champs très faibles en comparaison du potentiel que pourraient produire les 10^9 atomes du métal si tous les spins étaient alignés dans le même sens. De plus, ce champ magnétique est très instable dans le temps (on dit qu'il fluctue) et a une moyenne nulle au cours du temps.