L'univers des événements

En probabilité, les variables sont dites aléatoires car pour, une même expérience, la mesure de la même observable sera différente, aléatoire. Par exemple lorsqu'un dé est lancé, l'observable qui est le numéro du dé est aléatoire (à moins qu'il ne soit envoyé par une machine pouvant envoyer le dé à chaque fois exactement de la même façon). Ce qui importe pour une variable aléatoire c'est l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre. Pour un dé, il y a six faces ; le nombre d'événements possibles est six (on suppose que le dé ne peut pas s'arrêter sur une arête). Autre exemple, la variable donnant l'instant du prochain accident de voiture en France peut prendre n'importe quelle valeur à priori entre 0 seconde et l'infini : 1 secondes, 10 minutes, 1 heures, etc. Il y a une infinité de possibilités.

Il existe donc deux types de variables aléatoires : les variables discrètes (lancer de dés) et les variables continues (temps entre deux accidents). Pour les variables discrètes, le nombre d'evénements peut être fini ou infini. Il est toujours infini pour une variable continue. L'ensemble des évènements est appelé l'ensemble univers des évènements. La suite donne quelques exemples détaillés de ces types d'ensembles. En probabilité, les événements sont très souvent associés à des nombres pour pouvoir être traités mathématiquement. Par exemple pour un jeu de cartes, la carte roi de pique peut être associée à la valeur numérique de 25.

Exemples de variables discrètes

L'ensemble univers le plus connu et le plus simple de tous est l'ensemble des évènements d'un jet d'une pièce de monnaie. Il n'y a que deux évènements : {pile ; face} (trois évènements si l'on prend en compte le cas où la pièce reste sur son bord). Par commodité, on utilise l'ensemble {0, 1} en liant pile à 0 et face à 1.

L'autre variable aléatoire très connue est le lancer de dé avec ses six évènements possibles qui sont déjà des nombres : {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Il est aussi possible de lancer deux dés à la fois et de sommer leurs résultats. Dans ce cas, cela conduit à un ensemble de 11 évènements {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

Des urnes remplies de boules de différentes couleurs sont aussi un exemple très pédagogiques d'ensemble univers. Par exemple, pour une urne remplie de 5 boules qui ne se différencient que par leurs couleurs : 2 noires, 2 blanches et 1 rouge, l'ensemble des évènements si l'on tire une boule est {noire, blanche, rouge}. Si l'on en tire deux, c'est alors {(noire, noire), (noire, blanche), (noire, rouge), (blanche, rouge)}. Encore une fois, il faut associer chaque couleur à un nombre pour pouvoir travailler dessus.

Enfin, pour les joueurs d'argent, et les aficionados de probabilités à variables discrètes, le casino est l'endroit rêvé. Il est possible de trouver là une multitude de jeux avec des ensembles univers allant de la case rouge ou noir à des images sur une machine à sous. Les casinos utilisent bien évidemment aussi les jeux de cartes pour enrichir le nombre d'évènement possibles.

Bref, les variables aléatoires discrètes sont partout dans la société. C'est d'ailleurs souvent à la suite de créations de la société : pièces, dés, cartes, roulette, loto, ...

Exemples de variables continues

Les variables continues se trouvent plus souvent liées à des propriétés physiques de la nature. Un exemple simple peut se trouver dans les prévisions météorologiques : "Quand pleuvra-t-il chez moi ?". La réponse se trouve être entre tout de suite (0 seconde) et jamais (un temps infini). Il y a donc une infinité continue de durées possibles. Il peut se passer plusieurs jours sans pleuvoir alors que parfois moins d'une heure s'écoule entre deux averses. Cet exemple de variable aléatoire est similaire à celui de l'intervalle de temps entre deux accidents de voitures. Plus généralement, il se trouve que certains phénomènes naturels n'arrivent pas de manière régulière. On peut alors introduire la variable aléatoire qui donne le temps entre deux occurences.

Un autre type de variables aléatoires continues sont les incertitudes dues à de faibles changements des conditions initiales. Refaire exactement la même chose un grand nombre de fois donne un résultat similaire mais pas identique. Lancer un poids est un de ces cas. Vous aurez beau faire attention, vous ne lancerez jamais avec exactement la même force, dans la même position et dans les mêmes conditions (vent, atterissage, etc). La conséquence est que le poids ne tombera jamais au même endroit. Il en est de même pour la production de pièces en série qui ne sont jamais tout à fait identiques. Tous ces cas peuvent se traiter avec les variables aléatoires continues.

Équipartition

Dans le cas d'un ensemble fini, il est parfois très facile de calculer la fonction de probabilité. Il suffit que tous les événements soient équiprobables, c'est à dire qu'ils aient la même probabilité, notée . Cela est vrai pour un jet de dé ou de pièce non faussés, ou pour un jeu de cartes bien mélangé. Dans ce cas, la probabilité de tous les évènements, donc de l'ensemble univers, vaut P({E₁, E₂, E₃, ..., E_n}) = P({E₁}) + P({E₂})+ P({E₃})+ ... + P({E_n}) = p +p +p +...+p = car tous les ensembles d'évènements sont disjoints, c'est à dire pour tous et , { } = {}. Or la probabilité de l'ensemble univers vaut par définition 1. Donc ce qui implique que . Cela justifie pourquoi la probabilité pour le lancer d'une pièce vaut 1/2, pour le jet d'un dé vaut 1/6 et pour le tirage d'une carte dans un jeu de 52 cartes vaut 1/52.

Loi des grands nombres

Lorsqu'il n'y a pas équipartition dans les probabilités, il est moins direct de déduire la loi de probabilité. Une façon simple en théorie mais hélas irréalisable en pratique est la loi des grands nombres. Pour connaître la loi de probabilité, il suffit de mesurer plusieurs fois la valeur d'une variable aléatoire, de compter combien de fois sortent les mêmes valeurs puis de diviser ces nombres par le nombre total d'essais. Ainsi pour connaître la loi d'un dé, il suffit de faire une grand nombre de lancers, 1000 par exemple, et de regarder combien de 1 de 2 de 3, ... et de 6 sont sortis et enfin de diviser ces nombres d'occurences par le nombre total de lancers, 1000 dans ce cas. Cela fournit une valeur proche de la probabilité de chaque évènement mais pas exacte. La théorie mathématique prouve que si le nombre total d'essais est infini (ce qui est évidemment impossible en pratique), on en déduit alors la probabilité exacte pour chaque événement.

Pour des variables continues où les résultats sont des réels, deux résultats ne peuvent jamais être identiques car la chance d'avoir exactement deux réels identiques est nulle. Ce qui est mesuré est la probabilité d'avoir des valeurs dans un petit intervalle autour d'une valeur donnée. De toute façon, les outils de mesure n'étant pas parfaits, il est impossible de mesurer avec une précision infinie. La largeur des intervalles considérés dépendra donc de la précision des mesures.

L'espérance

En théorie des probabilités, l'espérance est la valeur moyenne à laquelle on s'attend pour une variable aléatoire suivant une loi de probabilité donnée. Elle se définit dans le cas d'une variable discrète par la relation suivante : . De manière similaire, elle se définit pour une variable continue : où et sont les limites inférieures et supérieures que peut prendre la variable .

Un exemple dans la cas d'une variable discrète est la moyenne au lancer d'un dé. L'espérance est alors = 1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6 = 21/6 = 3,5. Dans le cas d'une variable continue comme la loi uniforme de 0 à 1 (), l'espérance est . Moyenne et espérance se ressemblent beaucoup, cependant elle ont une différence. L'espérance est une valeur dans le cadre de la théorie des probabilités associée à une loi de probabilité. La moyenne est, quant à elle, le résultat d'une opération arithmétique sur un échantillon. La moyenne dépend donc de l'échantillon alors que l'espérance est théorique et donc unique pour une loi donnée. La moyenne calculée à partir d'un échantillon doit être proche de l'espérance mais pas forcément identique. Par exemple, lorsqu'un dé est tiré 10 fois et que la moyenne des résultats est faite, le résultat n'est pas forcément l'espérance de 3,5. De plus, si l'on refait 10 lancers la nouvelle moyenne ne sera pas forcément identique à la première. Cependant, d'après la loi des grands nombres, plus le nombre de lancers de dé sera grand, plus la moyenne s'approchera de l'espérance. L'espérance doit être vue comme la limite de la moyenne lorsque l'on fait tendre le nombre d'essais vers l'infini.

Le moment d'ordre deux centré - la variance

La variance ou "moment d'ordre deux centré" est une mesure du carré de la dispersion d'une variable aléatoire autour de son espérance. En d'autres termes, la variance donne une information sur la dispersion de la variable aléatoire autour de l'espérance. Plus la variance est grande plus les valeurs de la variable aléatoire auront de chance d'être loin de l'espérance, et vice versa. Une variance faible donnera une loi de probabilité piquée autour de l'espérance. Pour une variable discrète, la variance se définit comme suit : avec l'espérance. Dans le cas d'une variable continue, . On peut aussi définir la variance en n'utilisant que l'espérance de la variable et : . La démonstration est demandée en exercice. L'écart-type, souvent noté , est la racine carrée de la variance : . De même que pour le couple espérance-moyenne, le terme variance s'utilise plutôt en probabilité et écart-type en statistique.

Pour le lancer de dé non biaisé, la variance vaut environ 2,91667 et donc l'écart type vaut environ 1,70783. Pour la loi uniforme de 0 à 1, la variance vaut 1/12 ≈ 0,0833.

Fonction de distribution

Pour une variable aléatoire notée , la fonction de distribution, notée , donne la probabilité d'avoir la variable strictement plus petite que : . La fonction est donc par définition une fonction croissante et bornée par la valeur 1. Cette définition convient aussi bien aux variables discrètes qu'aux variables continues. Il est aisé avec cette fonction de calculer la probabilité d'avoir la variable entre et . C'est tout simplement . En conséquence, si la courbe est plate ou avec une pente faible entre deux points et , cela conduit à une probabilité entre et faible alors que si la pente est forte la probabilité l'est aussi.

La figure en haut à gauche montre la fonction de distribution d'un dé. Pour , la fonction est nulle, il est en effet impossible qu'un jet de dé puisse sortir un nombre plus petit que 1. De à , est constante et vaut 1/6 qui est la probabilité d'avoir un 1 à un jet de dé. Ensuite entre 2 et 3 exclus, la fonction vaut ; cela correspond à la probabilité de sortir un 1 ou un 2. La fonction continue d'augmenter pour plafonner jusqu'à x>6 où elle atteint sa valeur maximale de 1 car il est certain qu'un dé sorte un chiffre plus petit ou égale à 6.

La figure en haut à droite montre la fonction de distribution d'une variable continue. En dessous de 0, sa valeur est nulle au dessus de 1 elle vaut 1. Les valeurs possibles de cette variable sont donc comprises entre 0 et 1 inclus. La pente est une droite ; pour n'importe quel intervalle entre 0 et 1 de même taille la probabilité est donc la même. En conséquence, la probabilité d'avoir une valeur entre [, ] est identique. Cette fonction de distribution n'est autre que la fonction de distribution de la loi uniforme entre 0 et 1 ; chaque nombre entre 0 et 1 ayant la même chance d'être tiré.

Loi de probabilité

La fonction de distribution est l'outil statistique par excellence en probabilité. Cependant, d'un point de vue pratique, on lui préfère sa dérivée qui est plus parlante : la loi de probabilité. En effet, c'est la pente de la fonction de distribution qui indique si une valeur a une forte probabilité ou pas de survenir. Cela revient en statistique à faire l'histogramme vu aussi dans la première partie de ce cours.

La figure en bas à gauche montre la dérivée de la fonction de distribution pour un lancer de dé. On retrouve le résultat classique qui veut que la probabilité de sortir un 1, 2, 3, 4, 5, ou 6 soit identique et égale à 1/6. La figure en bas à droite fait de même mais avec la loi uniforme entre 0 et 1. La fonction est une courbe plate montrant bien que chaque valeur a une même probabilité.

Lois à deux événements

Les lois n'ayant que deux évènements sont les plus simples mais aussi les plus utilisées. L'ensemble univers de ces lois de probabilités n'étant composé que de deux événements, il s'agit d'une variable discrète. Les événements peuvent être représentés par 0 et 1. Par exemple le jet d'une pièce suit ce type de lois : 0 étant par convention "pile" et 1 "face". L'évènement 0 a une probabilité notée alors que l'événement 1 a une probabilité notée . Toujours, dans le cas d'une pièce de monnaie, . De manière générale, et n'ont aucune raison d'être identiques comme dans le cas de la pièce de monnaie. Je peux inventer une expérience où je définis l'évènement 0 si un dé sort la valeur 1 et l'événement 1 si un dé sort 2, 3, 4, 5 ou 6. Dans ce cas et . De manière générale comme 0 et 1 forment l'ensemble univers, alors la probabilité donc et . Les lois à deux événements ne dépendent donc que d'un paramètre, .

Loi binomiale

En compléxifiant la loi vue ci-dessus, il est possible de créer la loi binomiale. Cette dernière s'intéresse aux résultats de plusieurs lancers d'une expérience n'ayant que deux événements possibles. Par exemple, lorsqu'une pièce est lancée 20 fois de suite, quelle est la probabilité d'avoir 10 faces ou 3 piles ou même 20 faces de suite ? La loi binomiale dépend donc de deux paramètres : la propabilité de la loi à deux événements et le nombre de répétition de cette loi, . Son ensemble univers est constitué de toutes les séries possibles de répétitions de la loi à deux évènements. Le nombre d'événements vaut donc car à chaque répétition ( en tout) il y a deux événements possibles. Par exemple, lancer une pièce trois fois donne évènements possibles. L'ensemble univers est en ce cas : (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1). Chaque évènement est donc constitué d'un certain nombre de 0, noté , et de 1, noté . Par définition la probabilité de 0 vaut et celle de 1 vaut . Donc la probabilité d'un évènement est . L'intérêt dans ce type d'expérience est de savoir combien de fois sort l'évènement 0 ou 1 mais sans se soucier de l'ordre. Les évènements (0, 1, 0) ou (1, 0, 0) sont alors considérés comme identiques. La loi binomiale fournit la probabilité de tirer évènements 0 sur lancers. Pour cela, il suffit de remarquer que pour un nombre d'événements 0 parmi lancers, il est possible d'effectuer permutations. Donc la probabilité recherchée, notée , vaut .

Propriétés de la loi binomiale

Sur lancers, plus un évènement aura une grande probabilité plus il sortira souvent. Cependant, il est rare qu'il sorte pour chaque lancer. En conséquence, le pic de probabilité de la loi binomiale se situe en , où est la partie entière. Si p tend vers 1 alors le pic tendra vers , à l'inverse il tendra vers 0. De plus, l'espérance de la loi binomiale vaut et son écart type vaut . Dans le cas ou est très grand, un million par exemple, Le rapport écart-type sur espérance vaut , il tend vers zéro. Si l'on voit l'espérance comme la mesure d'une observation et l'écart type comme son incertitude absolue alors, si est très grand, l'incertitude relative sur la mesure sera très faible. Par exemple, dans un métal constitué de milliards d'atomes, supposons que les spins de chaque atome puissent être en haut ou en bas avec la même probabilité, . Alors le métal n'aura pas de champ magnétique significatif car il aura statistiquement à chaque instant quasiment autant de spins en haut qu'en bas. La différence instantanée entre le nombre d'atomes ayant un spin en haut ou en bas, générateur d'un champ magnétique, sera en ordre de grandeur ; ce qui fournira des champs très faibles en comparaison du potentiel que pourraient produire les atomes du métal si tous les spins étaient alignés dans le même sens. De plus, ce champ magnétique est très instable dans le temps (on dit qu'il fluctue) et a une moyenne nulle au cours du temps.

Définition

La loi de Poisson, nommée d'après le mathématicien français Siméon Denis Poisson, s'applique à une variable discrète mais pouvant prendre des valeurs arbitrairement grandes. Son ensemble univers peut alors se confondre avec l'ensemble des entiers naturels. La loi de Poisson dépend d'un paramètre noté par usage . La loi de probabilité de la loi de Poisson est toujours positive (voir figure). Si vaut 0, comme et , alors . Lorsque tend vers l'infini, tend vers 0 du fait du terme en factorielle qui domine le terme . Cette loi de probabilité admet un unique pic, appelé aussi mode, avec la valeur de , si n'est pas un entier, et deux pics, et , si est un entier. L'espérance ainsi que la variance de cette fonction valent . L'écart type vaut donc .

Bruit de photons

Il a déjà été fait mention dans la première partie de ce cours sur les statistiques des exoplanètes, que les photons captés pendant un temps par un pixel de caméra CCD suivent une loi de Poisson. De ce fait, lorsque plusieurs poses du même objet astronomique sont faites, durant par exemple 10 minutes, le nombre de photons d'un pixel provenant de l'objet décrit une loi de Poisson dont la moyenne qui est la mesure physique est le paramètre de la loi.

Définition

La dernière loi décrite est la plus connue si ce n'est la plus utilisée dans le domaine des statistiques. C'est le prolifique mathématicien allemand Carl Frierich Gauss qui la popularisa, elle porte son nom : la loi gaussienne aussi appelée loi normale. A l'inverse des deux précedentes lois, elle s'applique sur l'ensemble des réels. Pour un intervalle [, ], cette loi de probabilité vaut : . Elle a deux paramètres qui sont , l'espérance de la fonction de probabilité, et , l'écart type. Le terme devant l'exponentielle est un terme de normalisation afin que la probabilité totale de l'univers, donné par l'intégrale de cette loi depuis jusque , vale 1. Le mode, valeur pour laquelle la fonction connaît un pic, est égale à sa moyenne, . L'écart-type à l'espérance est donné par . A la probabilité chute d'une facteur ; à , ce facteur devient , soit un peu plus de 90. La chute est donc très rapide à mesure qu'on s'éloigne de la valeur moyenne. En d'autres termes, la probabilité de voir sortir un réel séparé de plus de de la moyenne devient très faible, et cette probabilité devient quasiment nulle à (voir la troisième figure).

Une loi pour les erreurs de mesures

Lorsqu'une expérience est effectuée plusieurs fois, un résultat un peu différent de celui attendu apparaît. La différence entre la vraie valeur et notre mesure est appelée l'erreur. Par exemple, dans le cas de la fabrication de pièces mécaniques dans l'industrie, aucune pièce n'est strictement identique à une autre. Il y a donc un écart (une erreur) à la valeur désirée par le fabricant. Les causes des erreurs peuvent être multiples mais si elles sont sans lien entre elles (on dit qu'elles sont indépendantes), alors la loi de probabilité suivie par les erreurs est une gaussienne. Deux qualificatifs caractérisent une expérience ou la machine fabriquant une pièce mécanique : la fiabilité et la précision. La fiabilité informe si vous êtes en accord avec l'espérance en calculant la différence entre la moyenne obtenue et la valeur réelle. La précision quantifie l'incertitude pour chaque expérience, elle est donnée par l'écart-type, . Si la moyenne diffère significativement de l'espérance ("signifcativement" voulant dire "par rapport à l'écart-type"), on parle de mesure biaisée.