Les variables aléatoires

L'univers des événements

En probabilité, les variables sont dites aléatoires car pour, une même expérience, la mesure de la même observable sera différente, aléatoire. Par exemple lorsqu'un dé est lancé, l'observable qui est le numéro du dé est aléatoire (à moins qu'il ne soit envoyé par une machine pouvant envoyer le dé à chaque fois exactement de la même façon). Ce qui importe pour une variable aléatoire c'est l'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre. Pour un dé, il y a six faces ; le nombre d'événements possibles est six (on suppose que le dé ne peut pas s'arrêter sur une arête). Autre exemple, la variable donnant l'instant du prochain accident de voiture en France peut prendre n'importe quelle valeur à priori entre 0 seconde et l'infini : 1 secondes, 10 minutes, 1 heures, etc. Il y a une infinité de possibilités.

Il existe donc deux types de variables aléatoires : les variables discrètes (lancer de dés) et les variables continues (temps entre deux accidents). Pour les variables discrètes, le nombre d'evénements peut être fini ou infini. Il est toujours infini pour une variable continue. L'ensemble des évènements est appelé l'ensemble univers des évènements. La suite donne quelques exemples détaillés de ces types d'ensembles. En probabilité, les événements sont très souvent associés à des nombres pour pouvoir être traités mathématiquement. Par exemple pour un jeu de cartes, la carte roi de pique peut être associée à la valeur numérique de 25.

Exemples de variables discrètes

L'ensemble univers le plus connu et le plus simple de tous est l'ensemble des évènements d'un jet d'une pièce de monnaie. Il n'y a que deux évènements : {pile ; face} (trois évènements si l'on prend en compte le cas où la pièce reste sur son bord). Par commodité, on utilise l'ensemble {0, 1} en liant pile à 0 et face à 1.

L'autre variable aléatoire très connue est le lancer de dé avec ses six évènements possibles qui sont déjà des nombres : {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Il est aussi possible de lancer deux dés à la fois et de sommer leurs résultats. Dans ce cas, cela conduit à un ensemble de 11 évènements {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

Des urnes remplies de boules de différentes couleurs sont aussi un exemple très pédagogiques d'ensemble univers. Par exemple, pour une urne remplie de 5 boules qui ne se différencient que par leurs couleurs : 2 noires, 2 blanches et 1 rouge, l'ensemble des évènements si l'on tire une boule est {noire, blanche, rouge}. Si l'on en tire deux, c'est alors {(noire, noire), (noire, blanche), (noire, rouge), (blanche, rouge)}. Encore une fois, il faut associer chaque couleur à un nombre pour pouvoir travailler dessus.

Enfin, pour les joueurs d'argent, et les aficionados de probabilités à variables discrètes, le casino est l'endroit rêvé. Il est possible de trouver là une multitude de jeux avec des ensembles univers allant de la case rouge ou noir à des images sur une machine à sous. Les casinos utilisent bien évidemment aussi les jeux de cartes pour enrichir le nombre d'évènement possibles.

Bref, les variables aléatoires discrètes sont partout dans la société. C'est d'ailleurs souvent à la suite de créations de la société : pièces, dés, cartes, roulette, loto, ...

Exemples de variables continues

Les variables continues se trouvent plus souvent liées à des propriétés physiques de la nature. Un exemple simple peut se trouver dans les prévisions météorologiques : "Quand pleuvra-t-il chez moi ?". La réponse se trouve être entre tout de suite (0 seconde) et jamais (un temps infini). Il y a donc une infinité continue de durées possibles. Il peut se passer plusieurs jours sans pleuvoir alors que parfois moins d'une heure s'écoule entre deux averses. Cet exemple de variable aléatoire est similaire à celui de l'intervalle de temps entre deux accidents de voitures. Plus généralement, il se trouve que certains phénomènes naturels n'arrivent pas de manière régulière. On peut alors introduire la variable aléatoire qui donne le temps entre deux occurences.

Un autre type de variables aléatoires continues sont les incertitudes dues à de faibles changements des conditions initiales. Refaire exactement la même chose un grand nombre de fois donne un résultat similaire mais pas identique. Lancer un poids est un de ces cas. Vous aurez beau faire attention, vous ne lancerez jamais avec exactement la même force, dans la même position et dans les mêmes conditions (vent, atterissage, etc). La conséquence est que le poids ne tombera jamais au même endroit. Il en est de même pour la production de pièces en série qui ne sont jamais tout à fait identiques. Tous ces cas peuvent se traiter avec les variables aléatoires continues.