Venons-en aux formules qui permettent concrètement de résoudre le problème de l'urne. Soient A et B deux expériences. La probabilité de A sachant B vrai, noté P(A|B), est donnée par la loi suivante, dite formule de Bayes établie par le mathématicien et pasteur Thomas Bayes au XVIIIe siècle :
Il suffit de connaître P(A), P(B) et P(B|A) pour en déduire P(A|B).
Ce théorème provient du fait que 
et que, de même, 
donc que 
.
Dans le cas particulier des urnes, si l'on tire une boule blanche quelle est alors la probabilité que ce soit de l'urne A, probabilité notée P(Urne A|Blanche), ou de l'urne B, P(Urne B|Blanche) ? Dans le cas de l'urne A, il faut calculer les trois probabilités P(Blanche|Urne A), P(Urne A) et P(Blanche). La probabilité de tirer une boule blanche dans l'urne A est P(Blanche|Urne A) = 9/10. La probabilité de choisir l'urne A ou B est identique au début de l'expérience et vaut P(Urne A) = P(Urne B) = 0,5. Enfin la probabilité de tirer une boule blanche est P(Urne A)
P(Blanche|Urne A)+P(Urne B)
P(Blanche|Urne B) = 0,5
9/10 + 0,5
1/10 = 0,5 car il est possible de tirer une boule blanche depuis l'urne A ou depuis l'urne B, mais pas avec la même probabilité. Ainsi, la probabilité que l'on soit en présence de l'urne A sachant que l'on a tiré une boule blanche est donnée par P(Urne A|Blanche) = P(Blanche|Urne A)
P(Urne A)/P(Blanche) = 9/10
0,5/0,5 = 9/10. Dans l'autre cas P(Blanche|Urne B) = 1/10. Avec cette observation du tirage d'une boule blanche, on est passé d'une probabilité de 0,5 pour que l'urne étudiée soit l'urne A, à une probabilité de 9/10 pour que l'urne étudiée soit l'urne A.
