mise à jour : 1 février 2022
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- Techniques et méthodes

Conclusion pour le problème à deux corps

Auteur: Nathan Hara & Jacques Laskar

Dans un référentiel galiléen quelconque de centre O, le mouvement de l'étoile S en fonction du temps peut s'écrire:

\begin{array}{ccc}\overrightarrow{OS}(t) &= \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \\ z(t)   \end{array}\right) &= \overrightarrow{OB}_0 + \alpha t \overrightarrow{u} + \overrightarrow{BS}(t) \\ \dot{\overrightarrow{OS}}(t) &= \left( \begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ \dot{y}(t) \\ \dot{z} (t)  \end{array}\right) &= \alpha  \overrightarrow{u} + \dot{\overrightarrow{BS}}(t) \end{array}

\overrightarrow{OB}_0 est la position du barycentre B du système {Etoile, Planète} à t=0, \overrightarrow{u} est la direction du mouvement de B et \alpha son module.\overrightarrow{BS}(t) = - \frac{m}{m+M} \overrightarrow{r} \overrightarrow{r} vérifiel'équation de Newton \frac{d^2 \overrightarrow{r}}{dt^2} =  -\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r^3} , qui est une équation différentielle de degré deux sur l'espace. Lorsque \mu est fixé et la position et la vitesse à t=0, (\overrightarrow{r}_0, \dot{\overrightarrow{r}}_0) sont connus, la position et la vitesse sont données par le flot: \begin{array}{cccc } \Phi_{\mu}:& \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 & \rightarrow &  \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \\   & (t,\overrightarrow{r}_0, \dot{\overrightarrow{r}}_0)& \rightarrow &(\overrightarrow{r}(t), \dot{\overrightarrow{r}}(t))\end{array} . En d'autres termes, les sept paramètres (\mu, X_0, Y_0, Z_0, \dot{X}_0, \dot{Y}_0,\dot{Z}_0) définissent une orbite de manière univoque. On peut faire un changement de variables pour décrire l'orbite par un autre jeu de sept paramètres, par exemple a, e, P, \omega, i, \Omega et t_p, qui sont les paramètres classiques présentés dans la section précédente. La plupart des auteurs les utilisent pour ajuster le mouvement des planètes, mais ils ont l'inconvénient d'être très sensibles aux erreurs pour de faibles excentricités et inclinaisons. Pour palier à ce problème on définit:

Ces éléments sont des fonctions continues de l'inclinaison et de l'excentricité.

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