Conclusion pour le problème à deux corps

Auteur: Nathan Hara & Jacques Laskar

Dans un référentiel galiléen quelconque de centre , le mouvement de l'étoile en fonction du temps peut s'écrire:

$\begin{array}{ccc}\overrightarrow{OS}(t) &= \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{array}\right) &= \overrightarrow{OB}_0 + \alpha t \overrightarrow{u} + \overrightarrow{BS}(t) \\ \dot{\overrightarrow{OS}}(t) &= \left( \begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ \dot{y}(t) \\ \dot{z} (t) \end{array}\right) &= \alpha \overrightarrow{u} + \dot{\overrightarrow{BS}}(t) \end{array}$

Où $\overrightarrow{OB}_0$ est la position du barycentre du système {Etoile, Planète} à t=0 , $\overrightarrow{u}$ est la direction du mouvement de et $\alpha$ son module. $\overrightarrow{BS}(t) = - \frac{m}{m+M} \overrightarrow{r}$ où $\overrightarrow{r}$ vérifiel'équation de Newton $\frac{d^2 \overrightarrow{r}}{dt^2} = -\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r^3}$ , qui est une équation différentielle de degré deux sur l'espace. Lorsque $\mu$ est fixé et la position et la vitesse à t=0 , $(\overrightarrow{r}_0, \dot{\overrightarrow{r}}_0)$ sont connus, la position et la vitesse sont données par le flot: $\begin{array}{cccc } \Phi_{\mu}:& \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 & \rightarrow & \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \\ & (t,\overrightarrow{r}_0, \dot{\overrightarrow{r}}_0)& \rightarrow &(\overrightarrow{r}(t), \dot{\overrightarrow{r}}(t))\end{array}$ . En d'autres termes, les sept paramètres $(\mu, X_0, Y_0, Z_0, \dot{X}_0, \dot{Y}_0,\dot{Z}_0)$ définissent une orbite de manière univoque. On peut faire un changement de variables pour décrire l'orbite par un autre jeu de sept paramètres, par exemple $a, e, P, \omega, i, \Omega$ et t_p , qui sont les paramètres classiques présentés dans la section précédente. La plupart des auteurs les utilisent pour ajuster le mouvement des planètes, mais ils ont l'inconvénient d'être très sensibles aux erreurs pour de faibles excentricités et inclinaisons. Pour palier à ce problème on définit: