Equation de Kepler

Auteur: Nathan Hara & Jacques Laskar

Anomalies

Représentation de l'anomalie vraie

, excentrique

et moyenne

Equation de Kepler

L'équation de Kepler est une relation entre l'anomalie excentrique et l'anomalie moyenne, cette page présente un moyen de l'établir. L'aire $\mathcal{A}(FAC)$ est proportionnelle à l'anomalie moyenne .

$\mathcal{A} (AFC) = \frac{M}{2 \pi} \pi a^2 \sqrt{1-e^2} = \frac{1}{2} a^2 \sqrt{1-e^2} M$

L'ellipse de la trajectoire est obtenue par une affinité sur l'axe $\overrightarrow{Y}$ de rapport $\frac{b}{a} = \sqrt{1-e^2}$ . Donc

$\mathcal{A}(AFC') = \frac{\mathcal{A}(AFC)}{\sqrt{1-e^2}} = \frac{a^2 M}{2}$

Par ailleurs en notant l'angle $\widehat{AOC'}$

$\mathcal{A}(AOC') = \frac{1}{2} a^2 E = \mathcal{A}(FOC') + \mathcal{A}(AFC')$

L'aire du triangle FOC' s'obtient facilement car $HC' = HC / \sqrt{1-e^2}$

$\mathcal{A}(FOC') = \frac{1}{2} a^2e \sin E$

On a finalement l'équation de Kepler

$E - e\sin E = M$

Cette équation est "transcendante", en conqéquence il n'existe pas d'expression analytique de en fonction de . Cependant, on peut développer en puissances de .