Problème à deux corps : Page pour l'impression

Equation de Newton

Les planètes et l'étoile ont un certain volume. Cependant, on peut montrer que lorsque la distance entre deux corps en intéraction gravitationnelle augmente, leur comportement se rapproche de plus en plus de celui de deux points matériels. On néglige aussi les effets relativistes, de sorte que l'on est ramené à la modélisation de l'intéraction de deux points matériels, dont la résolution va suivre. Considérons deux points matériels (planète) et (pour "star" de sorte à éviter un conflit de notation avec l'anomalie excentrique ) de masses respectives et et l'origine d'un repère Galiléen. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit: $m \frac{d^2\overrightarrow{OP}}{dt^2} = -GmM \frac{\overrightarrow{S P}}{S P^3}$ où est la constante universelle de gravitation.. En posant $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{SP}$ et $\mu = G(M+m)$ on obtient:

$\frac{d^2 \overrightarrow{r}}{dt^2} = -G(m+M) \frac{ \overrightarrow{r}}{r^3} = -\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r^3}$

On va montrer que la solution de cette équation décrit une conique plane, une ellipse dans le cas des planètes liées à une étoile. On suppose que le système est isolé, on peut donc choisir comme origine du repère le barycentre du système, ce qui permet d'obtenir facilement $\overrightarrow{OP}$ et $\overrightarrow{OS}$ par la relation $m\overrightarrow{OP} + M\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{0}$ .

On suppose que le système est isolé, donc le mouvement du barycentre du système {Etoile+planètes} est rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen (par exemple le référentiel barycentrique du système solaire).

Quantités conservées

L'équation de Newton est une équation différentielle de degré deux sur des vecteurs de $\mathbf{R}^3$ . Pour la résoudre il faut trouver six quantités conservées au cours du mouvement (ou intégrales premières du mouvement) indépendantes. En l'occurrence on peut facilement montrer que deux vecteurs sont conservés au cours du mouvement (ce qui fait deux fois trois composantes, on a bien six scalaires conservés). Notons $\overrightarrow{r}} = r \overrightarrow{u}$ , où $\overrightarrow{u}$ est un vecteur unitaire (et donc est la norme de $\overrightarrow{r}$ ) et $\dot{\overrightarrow{a}}$ la dérivée par rapport au temps d'un vecteur $\overrightarrow{a}$ . On a la conservation du moment cinétique par unité de masse $\overrightarrow{G} = \overrightarrow{r} \wedge \dot{\overrightarrow{r}}$ et du vecteur excentricité $\overrightarrow{P} = \frac{ \dot{\overrightarrow{r}} \wedge \overrightarrow{G} }{\mu} - \overrightarrow{u}$ au cours du mouvement c'est à dire leur dérivée temporelle est nulle

En effet, soit $\overrightarrow{r}(t)$ une solution de l'équation de Newton. Alors $\frac{d \overrightarrow{G}}{dt}(t) = \frac{d( \overrightarrow{r}(t) \wedge \dot{\overrightarrow{r}(t)})}{dt} = \dot{\overightarrow{r}}(t) \wedge \dot{\overightarrow{r}}(t) + \overightarrow{r}(t) \wedge \ddot{\overightarrow{r}(t)} =0$ car d'après l'équation de Newton, $\ddot{\overrightarrow{r}$ est colinéaire à $\overrightarrow{r}$ . D'autre part, $\frac{d\overrightarrow{P}}{dt}(t) = \frac{\ddot{\overrightarrow{r}}(t) \wedge \overrightarrow{G}(t) }{\mu} - \dot{\overrightarrow{u}}(t)$ , or

$\ddot{\overrightarrow{r}} \wedge \overrightarrow{G} = - \frac{\mu}{r^3} \overrightarrow{r} \wedge (\overrightarrow{r} \wedge \dot{\overrightarrow{r}}) = - \frac{\mu}{r^3} \overrightarrow{r} \wedge (\overrightarrow{r} \wedge r \dot{\overrightarrow{u}}) = - \frac{\mu}{r^3} r \overrightarrow{u} \wedge (r \overrightarrow{u} \wedge r \dot{\overrightarrow{u}}) = \mu \dot{\overrightarrow{u}}$

Donc $\frac{d\overrightarrow{P}}{dt} = \overrightarrow{0}$ .

Géométrie de l'orbite

Les quantités conservées définies page précédente permettent de donner une description géométrique de l'évolution de $\overrightarrow{r}$ .

On déduit de la conservation du moment cinétique que le mouvement est plan. En effet, $\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{G} = \overrightarrow{r} \cdot (\overrightarrow{r} \wedge \dot{ \overrightarrow{r}) }$ et comme $\overrightarrow{r} \cdot (\overrightarrow{r} \wedge \dot{ \overrightarrow{r}) }$ est un produit mixte, il est invariant par permutation circulaire: $\overrightarrow{r} \cdot (\overrightarrow{r} \wedge \dot{ \overrightarrow{r}) } = \dot{\overrightarrow{r}} \cdot (\overrightarrow{r} \wedge \overrightarrow{r}) } = \overrightarrow{0}$ car le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul. Le vecteur $\overrightarrow{r}$ est orthogonal à $\overrightarrow{G}$ à tout instant, autrement dit le mouvement est dans un plan orthogonal à $\overrightarrow{G}$ .

Notons l'angle entre $\overrightarrow{r}$ et $\overrightarrow{P}$ et posons $e = \|\overrightarrow{P} \|$ . Alors comme $\overrightarrow{u}$ est unitaire, $\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{u} = e \cos v$ d'autre part en remplaçant $\overrightarrow{P}$ par sa définition, on a $\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{u} = \frac{\overrightrarrow{r} \cdot ( \dot{\overrightarrow{r}} \wedge \overrightarrow{G} )}{r \mu} -1$ et comme $\overrightarrow{r} \cdot ( \dot{\overrightarrow{r}} \wedge \overrightarrow{G} )$ est un produit mixte, $\overrightarrow{r} \cdot ( \dot{\overrightarrow{r}} \wedge \overrightarrow{G} ) = \overrightarrow{G} \cdot ( \overrightarrow{r} \wedge \dot{\overrightarrow{r}} ) = \overrightarrow{G} \cdot \overrightarrow{G} = G^2$ . où est la norme de $\overrightarrow{G}$ . On obtient alors en fonction de :

$r(v) = \frac{p}{1+e \cos v}$

Où $p = \frac{G^2}{\mu}$ , qui est l'équation polaire d'une conique du plan. Cette équation donne une paramétrisation de la solution en fonction de , appelée anomalie vraie. Cependant, nous voulons exprimer la solution en fonction du temps, l'objet de la page suivante est d'exhiber une relation entre et le temps. On sait que lorsque e < 1 , il s'agit de l'équation d'une ellipse. On peut montrer géométriquement que p = a(1-e^2) où est le demi-grand axe de l'ellipse. Si e = 1 ou e>1 , la trajectoire est respectivement parabolique ou hyperbolique. Dans ces deux cas le mouvement n'est pas borné, il concernerait une planète en phase d'éjection, événement dont l'observation est très improbable et indiscernable d'une planète à très longue période ou du mouvement propre sur les données actuelles.

L'orbite est dans un plan perpendiculaire à $\overrightarrow{G}$ , et le vecteur $\overrightarrow{P}$ est parallèle à $\overrightarrow{FA}$ . Notons $\overrightarrow{I}= \frac{\overrightarrow{P}}{\|\overrightarrow{P} \|}$ et $\overrightarrow{K}= \frac{\overrightarrow{G}}{\|\overrightarrow{G} \|}$ . On introduit un vecteur $\overrightarrow{J}$ de sorte que $(\overrightarrow{I}, \overrightarrow{J}, \overrightarrow{K})$ forme une base orthonormale.

Géométrie du mouvement elliptique

Le mouvement est dans le plan $(\overrightarrow{P}, \overrightarrow{Y})$

Loi des aires

Nous avons montré que la solution au problème des deux corps est plane, et peut s'exprimer en fonction de l'anomalie vraie , angle entre le vecteur excentricité et le vecteur $\overrightarrow{r}$ .

$r(v) = \frac{a(1-e^2)}{1+e \cos v}$

Afin d'exprimer en fonction du temps on va introduire successivement deux variables, et appelées respectivement 'anomalie moyenne et 'anomalie excentrique.

Loi des Aires

Avec les notations précédentes, $\overrightarrow{u}(v) = \cos v \overrightarrow{I} + \sin v \overrightarrow{J}$ , donc $\dot{\overrightarrow{u}}(v) = -\sin v \overrightarrow{I} + \cos v \overrightarrow{J}$ en remplaçant dans, $\overrightarrow{G} = r \overrightarrow{u} \wedge (\dot{r}\overrightarrow{u}} + r \dot{\overrightarrow{u}})$ on obtient:

$r^2 \frac{dv}{dt}=G$

Cette équation s'appelle la Loi des aires et signifie que $\overrightarrow{r}$ balaie les aires à vitesse constant . En particulier l'aire totale de l'ellipse est parcourue en un certain temps fixe: le mouvement est périodique. L'aire de l'ellipse vaut:

$\pi a b = \pi a^2 \sqrt{1-e^2} = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} r^2 dv = \int_{0}^T \frac{G}{2}dt = \frac{T}{2} \sqrt{\mu a (1-e^2)}$

On retrouve bien la troisième loi de Kepler : $n^2 a^3 = \mu$ avec $n = \frac{2 \pi}{T}$ . On définit alors l'anomalie moyenne par M = n(t-t_0) où t_0 est le temps de passage au périastre ( sur la figure), qui est proportionnelle à l'aire FAC (voir figure).

Exercices

Conservation de l'énergie

Difficulté : ☆☆

Question 1)

Pour établir l'équation du mouvement, les conservations du moment cinétique et du vecteur eccentricité suffisent. On a une autre intégrale du mouvement: l'énergie. Considérons deux points matériels et de masses respectives et . On pose $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{SP}$ , $r = \|\overrightarrow{r}\|$ et $\mu = \mathcal{G}(m+M)$ où $\mathcal{G}$ est la constante universelle de gravitation.

Montrer que $\frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt^2} = -\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r^3}$
Calculer l'énergie potentielle associée à la force de gravitation
On note $v = \left\| \frac{d \overrightarrow{r}}{dt} \right\|$ . Déduire du théorème de l'énergie mécanique que $\frac{1}{2} v^2 - \frac{\mu}{r}$ est une quantité constante au cours du mouvement
Quel est le point de l'orbite où la vitesse de l'étoile est la plus élevée ? la moins élevée ?

Equation de Kepler

L'équation de Kepler est une relation entre l'anomalie excentrique et l'anomalie moyenne, cette page présente un moyen de l'établir. L'aire $\mathcal{A}(FAC)$ est proportionnelle à l'anomalie moyenne .

$\mathcal{A} (AFC) = \frac{M}{2 \pi} \pi a^2 \sqrt{1-e^2} = \frac{1}{2} a^2 \sqrt{1-e^2} M$

L'ellipse de la trajectoire est obtenue par une affinité sur l'axe $\overrightarrow{Y}$ de rapport $\frac{b}{a} = \sqrt{1-e^2}$ . Donc

$\mathcal{A}(AFC') = \frac{\mathcal{A}(AFC)}{\sqrt{1-e^2}} = \frac{a^2 M}{2}$

Par ailleurs en notant l'angle $\widehat{AOC'}$

$\mathcal{A}(AOC') = \frac{1}{2} a^2 E = \mathcal{A}(FOC') + \mathcal{A}(AFC')$

L'aire du triangle FOC' s'obtient facilement car $HC' = HC / \sqrt{1-e^2}$

$\mathcal{A}(FOC') = \frac{1}{2} a^2e \sin E$

On a finalement l'équation de Kepler

$E - e\sin E = M$

Cette équation est "transcendante", en conqéquence il n'existe pas d'expression analytique de en fonction de . Cependant, on peut développer en puissances de .

Anomalies

Représentation de l'anomalie vraie

, excentrique

et moyenne

Solutions en fonction du temps

Il reste à trouver une relation entre et , ce qui s'obtient aisément en exprimant la position (X,Y) de dans le plan $(\overrightarrow{I}, \overrightarrow{J})$ :

$\left\{ \begin{array}{l l l} X =& r \cos v =& a(\cos E - e) \\ Y =& r \sin v =& a \sqrt{1-e^2} \sin E\end{array}$

On en déduit les relations utiles: $\begin{array}{l l} \cos v = \frac{\cos E - e}{1 - e \cos E}, \quad & \sin v = \frac{\sqrt{1-e^2} \sin E}{1 - e \cos E} \end{array}$

A ce point, rappelons que l'objectif est d'exprimer la position et la vitesse de l'étoile comme des observables. En exprimant en fonction de puis en fonction de on a la position du corps à un instant quelconque. En ce qui concerne l'astrométrie, on peut s'arrêter aux équations ci-dessus et simplement faire un changement de référentiel, c'ést à dire exprimer la projection de $X(t)\overrightarrow{I} + Y(t)\overrightarrow{J}$ sur la sphère céleste et choisir un jeu de paramètres $\theta$ à ajuster. Pour les vitesses radiales nous avons besoin de $\frac{dX}{dt} = \frac{dX}{dE} \frac{dE}{dM} \frac{dM}{dt}$ . En dérivant l'équation de Kepler par rapport à on obtient:

$\frac{dE}{dM} = \frac{a}{r}$

D'où:

$\left\{ \begin{array}{l l l} \dot{X} =& -na\frac{\sin E}{1-e \cos E} &= -\frac{na}{\sqrt{1-e^2}} \sin v \\ \dot{Y} =& na\sqrt{1-e^2}\frac{\cos E}{1-e \cos E} &= \frac{na}{\sqrt{1-e^2}} (e+\cos v) \end{array}$

En pratique, il n'est pas nécessaire de calculer en fonction de . Les expressions ci-dessus suffisent. Pour mémoire, en remplaçant $\cos v$ dans la formule trigonométrique $\tan^2 \frac{v}{2} = \frac{1-\cos v}{1+\cos v}$ , on obtient:

$\tan \frac{v}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan \frac{E}{2}$

Changement de référentiel

Les observations sont disponibles dans un référentiel $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$ où $\overrightarrow{k}$ est la direction d'observation et $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ sont choisis de sorte que le repère est orthonormé direct. Le repère $(\overrightarrow{I}, \overrightarrow{J}, \overrightarrow{K})$ est lui aussi orthormé direct. La matrice de passage du repère orbital au repère d'observation est donc une rotation, que l'on décompose en trois rotations dont les angles ont des noms usuels.

Une rotation d'angle $\omega$ d'axe $\overrightarrow{K}$ (parallèle au moment cinétique), cet angle est appelé argument du périastre. Le repère obtenu par cette rotation est noté $(\overrightarrow{I'}, \overrightarrow{J'}, \overrightarrow{K})$ .
Une rotation d'angle d'axe $\overrightarrow{I'}$ , c'est l' inclinaison
Une rotation d'angle $\Omega$ d'axe $\overrightarrow{k}$ , c'est l'ascension droite au noeud ascendant

$\left( \begin{array}{cc} x & \dot{x} \\ y & \dot{y} \\ z & \dot{z} \end{array} \right) = \mathcal{R}_3(\Omega) \mathcal{R}_1(i) \mathcal{R}_3(\omega) \left( \begin{array}{cc} X & \dot{X} \\ Y & \dot{Y} \\ Z & \dot{Z} \end{array} \right)$

Où:

$\mathcal{R}_1(\theta) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \quad ; \quad \mathcal{R}_3(\theta) = \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Soit le barycentre du système {planète+étoile}, on note $\mathcal{R}_3(\Omega) \mathcal{R}_1(i) \mathcal{R}_3(\omega) = \left( \begin{array}{ccc} B & G & \star \\ A & F & \star \\ C & D & \star \end{array} \right)$ où A, B, F, G sont appelées les constantes de Thiele-Innes. On conserve la notation classique pour ces constantes, qui sautent quelques lettres de l'alphabet pour une raison inconnue des auteurs. La notation C,D n'est en revanche qu'une convention pour ce cours et ne se trouve pas spécialement dans la littérature. On ne donne pas de nom particulier aux éléments de la dernière colonne de la matrice car étant donné que Z=0 , ils n'apparaissent jamais dans les calculs

Paramètres d'un mouvement à deux corps newtonien

Le plan de référence est ici le plan d'observation.

Paramètres orbitaux classiques

On peut caractériser l'orbite par les éléments suivants:

: le demi-grand axe
: l'excentricité
: la période
$\omega$ : l'argument du périastre
: l'inclinaison
$\Omega$ : l'ascension droite au noeud ascendant

Ces éléments donnent la géométrie de l'orbite. Pour déterminer la position de la planète à un instant donné, il faut de plus connaître l'instant de son passage au périastre t_p . On peut alors calculer $M = 2\pi \frac{t-t_p}{P}$ connaisant on peut calculer l'anomalie excentrique par l'équation de Kepler, puis l'anomalie vraie . On en déduit la position sur l'ellipse par l'équation donnée page "Loi des aires", $r(v) = \frac{a(1-e^2)}{1+e \cos v}$ . Enfin, la position sur l'orbite est donnée par les rotations explicitées ci-dessus.

Conclusion pour le problème à deux corps

Dans un référentiel galiléen quelconque de centre , le mouvement de l'étoile en fonction du temps peut s'écrire:

$\begin{array}{ccc}\overrightarrow{OS}(t) &= \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{array}\right) &= \overrightarrow{OB}_0 + \alpha t \overrightarrow{u} + \overrightarrow{BS}(t) \\ \dot{\overrightarrow{OS}}(t) &= \left( \begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ \dot{y}(t) \\ \dot{z} (t) \end{array}\right) &= \alpha \overrightarrow{u} + \dot{\overrightarrow{BS}}(t) \end{array}$

Où $\overrightarrow{OB}_0$ est la position du barycentre du système {Etoile, Planète} à t=0 , $\overrightarrow{u}$ est la direction du mouvement de et $\alpha$ son module. $\overrightarrow{BS}(t) = - \frac{m}{m+M} \overrightarrow{r}$ où $\overrightarrow{r}$ vérifiel'équation de Newton $\frac{d^2 \overrightarrow{r}}{dt^2} = -\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r^3}$ , qui est une équation différentielle de degré deux sur l'espace. Lorsque $\mu$ est fixé et la position et la vitesse à t=0 , $(\overrightarrow{r}_0, \dot{\overrightarrow{r}}_0)$ sont connus, la position et la vitesse sont données par le flot: $\begin{array}{cccc } \Phi_{\mu}:& \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 & \rightarrow & \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \\ & (t,\overrightarrow{r}_0, \dot{\overrightarrow{r}}_0)& \rightarrow &(\overrightarrow{r}(t), \dot{\overrightarrow{r}}(t))\end{array}$ . En d'autres termes, les sept paramètres $(\mu, X_0, Y_0, Z_0, \dot{X}_0, \dot{Y}_0,\dot{Z}_0)$ définissent une orbite de manière univoque. On peut faire un changement de variables pour décrire l'orbite par un autre jeu de sept paramètres, par exemple $a, e, P, \omega, i, \Omega$ et t_p , qui sont les paramètres classiques présentés dans la section précédente. La plupart des auteurs les utilisent pour ajuster le mouvement des planètes, mais ils ont l'inconvénient d'être très sensibles aux erreurs pour de faibles excentricités et inclinaisons. Pour palier à ce problème on définit: