Trajectoire observée depuis le barycentre du système solaire

Observation depuis le barycentre du système solaire

Position de l'étoile en coordonnées sphériques dans le référérentiel barycentrique du système solaire et dans le référentiel translaté au centre de masse de la Terre. Les observations sont disponibles dans le référentiel terrestre, représenté en rouge, qui dépend de l'instant de mesure

Le modèle précédent donne le mouvement de l'étoile observée dans un référentiel galiléen, en particulier le référentiel barycentrique du système solaire $(O,\overrightarrow{I},\overrightarrow{J},\overrightarrow{K})$ , que l'on munit d'un repère de coordonnées sphériques $(O, \rho, \alpha, \delta)$ repérant l'étoile . Supposons que l'observateur est situé en . A un instant il mesure:

soit la vitesse radiale $\dot{\|\overrightarrow{OS}\|}(t) = \dot{\rho}(t)$
soit la position sur la sphère céleste $(\alpha(t), \delta(t))$ dans le cas de mesures astrométriques

On peut facilement montrer avec un développement limité qu'au premier ordre en $\frac{\| \overrightarrow{BS} \|}{\| \overrightarrow{OS}\|}$ , $\rho(t) = \rho_B(t)+ \overrightarrow{e_{\rho}} \cdot \overrightarrow{BS}(t)$ , $\alpha(t) \cos \delta(t) = \alpha_B(t)\cos \delta(t)+ \frac{1}{\rho_B} \overrightarrow{e_{\alpha}} \cdot \overrightarrow{BS}(t)$ , de même $\delta(t) = \delta_B(t)+ \frac{1}{\rho_B} \overrightarrow{e_{\delta}} \cdot \overrightarrow{BS}(t)$ (à faire en exercice). Supposons que n_p planètes indéxées par gravitent autour de l'étoile en et $(\overrightarrow{I_k}, \overrightarrow{J_k}, \overrightarrow{K_k})$ le repère orbital de la planète . On projette le mouvement $\left( \begin{array}{c} X_k(t) \\ Y_k(t) \\ 0\end{array} \right)$ dans le repère orthonormé direct $(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\alpha}}, \overrightarrow{e_{\delta}})$ associé aux coordonnées sphériques $(O, \rho_B, \alpha_B, \delta_B)$ (voir figure). Avec les notations de la page Changement de référentiel:

$\Large \left( \begin{array}{c} \alpha(t) \cos \delta_B \\ \delta(t) \\ \rho(t) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \alpha_B(t)\cos \delta_B \\ \delta_B(t) \\ \rho_B(t) \end{array} \right) - \frac{1}{M} \sum\limits_{k=1}^{n_p} m_k \left( \begin{array}{ccc} \frac{A_k}{\rho} & \frac{F_k}{\rho} & \star \\ \frac{B_k}{\rho} & \frac{G_k}{\rho} & \star \\ C_k & D_k & \star \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} X_k(t) \\ Y_k(t) \\ 0 \end{array} \right)$