Modélisation - Problème direct : Page pour l'impression

Dans cette section on répond à la question suivante: pour un système planétaire donné, quelles seront les observations ? Dans la section précédente on a introduit la fonction $f: \theta \in \mathbf{R}^n,t \in \mathbf{R}^m , \epsilon \in X^p \rightarrow y \in \mathbf{R}^m$ , où désigne un espace de variables aléatoires, qui donne des observations en fonction d'instants d'observation , d'erreurs alétoires $\epsilon$ et de paramètre du modèle $\theta$ incluant masse de la planète, de l'étoile, paramètres de l'orbites, etc. qui seront précisés. En l'occurrence, l'erreur est bien représentée par un "bruit additif", c'est à dire les observations sont de la forme $y=f(\theta,t) + \epsilon$ , où désigne une fonction modélisant la physique du phénomène observée, celle qui donnerait les observations "parfaites", sans aucune source d'erreur aléatoire. L'erreur $\epsilon$ modélise tous les phénomènes aléatoires intervenant dans les mesures. Selon la distinction adoptée ici, les paramètres du modèle peuvent inclure une source indésirable mais non aléatoire.

L'objet de ce chapitre est de construire cette fonction f_p avec une modélisation physique. La modélisation la plus précise, utilisant tout ce que l'on sait de la physique serait ici inutilement complexe, car compte tenu des erreurs de mesures la différence avec certains modèles plus simples serait si faible qu'il serait impossible de la détecter avec un niveau de confiance acceptable. Le niveau de précision du modèle présenté ici est couramment utilisé par les observateurs.

Remarque: En pratique, les algorithmes d'estimation de paramètres sont des algorithmes d'optimisation, qui nécessitent tous de donner un ou plusieurs points de départs pour la recherche. Lorsque des modèles plus complexes sont utilisés, les estimations précises peuvent être utilisées comme tels.

On présentera d'abord une modélisation physique de l'objet étudié, puis d'autres effets physiques à prendre en compte. Les bruits instrumentaux seront traités dans le chapitre suivant. Les effets physiques "indépendants de l'observateur" qui seront pris en compte sont:

Le mouvement de l'étoile dû aux planètes.
Le mouvement propre: mouvement de translation du barycentre du système {Etoile+Planètes}
Des effets stellaires variables (Ondes de pression, granularité, activité)

Ensuite, on modélise "comment" la lumière émise par l'étoile nous parvient, ce qui amènera à présenter:

La prise en compte du mouvement de la Terre (vitesse de celle-ci dans le référentiel barycentrique du système solaire pour les vitesses radiales, parallaxe et réduction des observations en astrométrie.
Les perturbations atmosphériques
Les variations de parallaxe et de mouvement propre.

Problème à deux corps

Problème à deux corps newtonien

Equation de Newton

Les planètes et l'étoile ont un certain volume. Cependant, on peut montrer que lorsque la distance entre deux corps en intéraction gravitationnelle augmente, leur comportement se rapproche de plus en plus de celui de deux points matériels. On néglige aussi les effets relativistes, de sorte que l'on est ramené à la modélisation de l'intéraction de deux points matériels, dont la résolution va suivre. Considérons deux points matériels (planète) et (pour "star" de sorte à éviter un conflit de notation avec l'anomalie excentrique ) de masses respectives et et l'origine d'un repère Galiléen. Le principe fondamental de la dynamique s'écrit: $m \frac{d^2\overrightarrow{OP}}{dt^2} = -GmM \frac{\overrightarrow{S P}}{S P^3}$ où est la constante universelle de gravitation.. En posant $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{SP}$ et $\mu = G(M+m)$ on obtient:

$\frac{d^2 \overrightarrow{r}}{dt^2} = -G(m+M) \frac{ \overrightarrow{r}}{r^3} = -\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r^3}$

On va montrer que la solution de cette équation décrit une conique plane, une ellipse dans le cas des planètes liées à une étoile. On suppose que le système est isolé, on peut donc choisir comme origine du repère le barycentre du système, ce qui permet d'obtenir facilement $\overrightarrow{OP}$ et $\overrightarrow{OS}$ par la relation $m\overrightarrow{OP} + M\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{0}$ .

On suppose que le système est isolé, donc le mouvement du barycentre du système {Etoile+planètes} est rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen (par exemple le référentiel barycentrique du système solaire).

Quantités conservées

L'équation de Newton est une équation différentielle de degré deux sur des vecteurs de $\mathbf{R}^3$ . Pour la résoudre il faut trouver six quantités conservées au cours du mouvement (ou intégrales premières du mouvement) indépendantes. En l'occurrence on peut facilement montrer que deux vecteurs sont conservés au cours du mouvement (ce qui fait deux fois trois composantes, on a bien six scalaires conservés). Notons $\overrightarrow{r}} = r \overrightarrow{u}$ , où $\overrightarrow{u}$ est un vecteur unitaire (et donc est la norme de $\overrightarrow{r}$ ) et $\dot{\overrightarrow{a}}$ la dérivée par rapport au temps d'un vecteur $\overrightarrow{a}$ . On a la conservation du moment cinétique par unité de masse $\overrightarrow{G} = \overrightarrow{r} \wedge \dot{\overrightarrow{r}}$ et du vecteur excentricité $\overrightarrow{P} = \frac{ \dot{\overrightarrow{r}} \wedge \overrightarrow{G} }{\mu} - \overrightarrow{u}$ au cours du mouvement c'est à dire leur dérivée temporelle est nulle

En effet, soit $\overrightarrow{r}(t)$ une solution de l'équation de Newton. Alors $\frac{d \overrightarrow{G}}{dt}(t) = \frac{d( \overrightarrow{r}(t) \wedge \dot{\overrightarrow{r}(t)})}{dt} = \dot{\overightarrow{r}}(t) \wedge \dot{\overightarrow{r}}(t) + \overightarrow{r}(t) \wedge \ddot{\overightarrow{r}(t)} =0$ car d'après l'équation de Newton, $\ddot{\overrightarrow{r}$ est colinéaire à $\overrightarrow{r}$ . D'autre part, $\frac{d\overrightarrow{P}}{dt}(t) = \frac{\ddot{\overrightarrow{r}}(t) \wedge \overrightarrow{G}(t) }{\mu} - \dot{\overrightarrow{u}}(t)$ , or

$\ddot{\overrightarrow{r}} \wedge \overrightarrow{G} = - \frac{\mu}{r^3} \overrightarrow{r} \wedge (\overrightarrow{r} \wedge \dot{\overrightarrow{r}}) = - \frac{\mu}{r^3} \overrightarrow{r} \wedge (\overrightarrow{r} \wedge r \dot{\overrightarrow{u}}) = - \frac{\mu}{r^3} r \overrightarrow{u} \wedge (r \overrightarrow{u} \wedge r \dot{\overrightarrow{u}}) = \mu \dot{\overrightarrow{u}}$

Donc $\frac{d\overrightarrow{P}}{dt} = \overrightarrow{0}$ .

Géométrie de l'orbite

Les quantités conservées définies page précédente permettent de donner une description géométrique de l'évolution de $\overrightarrow{r}$ .

On déduit de la conservation du moment cinétique que le mouvement est plan. En effet, $\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{G} = \overrightarrow{r} \cdot (\overrightarrow{r} \wedge \dot{ \overrightarrow{r}) }$ et comme $\overrightarrow{r} \cdot (\overrightarrow{r} \wedge \dot{ \overrightarrow{r}) }$ est un produit mixte, il est invariant par permutation circulaire: $\overrightarrow{r} \cdot (\overrightarrow{r} \wedge \dot{ \overrightarrow{r}) } = \dot{\overrightarrow{r}} \cdot (\overrightarrow{r} \wedge \overrightarrow{r}) } = \overrightarrow{0}$ car le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul. Le vecteur $\overrightarrow{r}$ est orthogonal à $\overrightarrow{G}$ à tout instant, autrement dit le mouvement est dans un plan orthogonal à $\overrightarrow{G}$ .

Notons l'angle entre $\overrightarrow{r}$ et $\overrightarrow{P}$ et posons $e = \|\overrightarrow{P} \|$ . Alors comme $\overrightarrow{u}$ est unitaire, $\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{u} = e \cos v$ d'autre part en remplaçant $\overrightarrow{P}$ par sa définition, on a $\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{u} = \frac{\overrightrarrow{r} \cdot ( \dot{\overrightarrow{r}} \wedge \overrightarrow{G} )}{r \mu} -1$ et comme $\overrightarrow{r} \cdot ( \dot{\overrightarrow{r}} \wedge \overrightarrow{G} )$ est un produit mixte, $\overrightarrow{r} \cdot ( \dot{\overrightarrow{r}} \wedge \overrightarrow{G} ) = \overrightarrow{G} \cdot ( \overrightarrow{r} \wedge \dot{\overrightarrow{r}} ) = \overrightarrow{G} \cdot \overrightarrow{G} = G^2$ . où est la norme de $\overrightarrow{G}$ . On obtient alors en fonction de :

$r(v) = \frac{p}{1+e \cos v}$

Où $p = \frac{G^2}{\mu}$ , qui est l'équation polaire d'une conique du plan. Cette équation donne une paramétrisation de la solution en fonction de , appelée anomalie vraie. Cependant, nous voulons exprimer la solution en fonction du temps, l'objet de la page suivante est d'exhiber une relation entre et le temps. On sait que lorsque e < 1 , il s'agit de l'équation d'une ellipse. On peut montrer géométriquement que p = a(1-e^2) où est le demi-grand axe de l'ellipse. Si e = 1 ou e>1 , la trajectoire est respectivement parabolique ou hyperbolique. Dans ces deux cas le mouvement n'est pas borné, il concernerait une planète en phase d'éjection, événement dont l'observation est très improbable et indiscernable d'une planète à très longue période ou du mouvement propre sur les données actuelles.

L'orbite est dans un plan perpendiculaire à $\overrightarrow{G}$ , et le vecteur $\overrightarrow{P}$ est parallèle à $\overrightarrow{FA}$ . Notons $\overrightarrow{I}= \frac{\overrightarrow{P}}{\|\overrightarrow{P} \|}$ et $\overrightarrow{K}= \frac{\overrightarrow{G}}{\|\overrightarrow{G} \|}$ . On introduit un vecteur $\overrightarrow{J}$ de sorte que $(\overrightarrow{I}, \overrightarrow{J}, \overrightarrow{K})$ forme une base orthonormale.

Géométrie du mouvement elliptique

Le mouvement est dans le plan $(\overrightarrow{P}, \overrightarrow{Y})$

Loi des aires

Nous avons montré que la solution au problème des deux corps est plane, et peut s'exprimer en fonction de l'anomalie vraie , angle entre le vecteur excentricité et le vecteur $\overrightarrow{r}$ .

$r(v) = \frac{a(1-e^2)}{1+e \cos v}$

Afin d'exprimer en fonction du temps on va introduire successivement deux variables, et appelées respectivement 'anomalie moyenne et 'anomalie excentrique.

Loi des Aires

Avec les notations précédentes, $\overrightarrow{u}(v) = \cos v \overrightarrow{I} + \sin v \overrightarrow{J}$ , donc $\dot{\overrightarrow{u}}(v) = -\sin v \overrightarrow{I} + \cos v \overrightarrow{J}$ en remplaçant dans, $\overrightarrow{G} = r \overrightarrow{u} \wedge (\dot{r}\overrightarrow{u}} + r \dot{\overrightarrow{u}})$ on obtient:

$r^2 \frac{dv}{dt}=G$

Cette équation s'appelle la Loi des aires et signifie que $\overrightarrow{r}$ balaie les aires à vitesse constant . En particulier l'aire totale de l'ellipse est parcourue en un certain temps fixe: le mouvement est périodique. L'aire de l'ellipse vaut:

$\pi a b = \pi a^2 \sqrt{1-e^2} = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} r^2 dv = \int_{0}^T \frac{G}{2}dt = \frac{T}{2} \sqrt{\mu a (1-e^2)}$

On retrouve bien la troisième loi de Kepler : $n^2 a^3 = \mu$ avec $n = \frac{2 \pi}{T}$ . On définit alors l'anomalie moyenne par M = n(t-t_0) où t_0 est le temps de passage au périastre ( sur la figure), qui est proportionnelle à l'aire FAC (voir figure).

Exercices

Conservation de l'énergie

Difficulté : ☆☆

Question 1)

Pour établir l'équation du mouvement, les conservations du moment cinétique et du vecteur eccentricité suffisent. On a une autre intégrale du mouvement: l'énergie. Considérons deux points matériels et de masses respectives et . On pose $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{SP}$ , $r = \|\overrightarrow{r}\|$ et $\mu = \mathcal{G}(m+M)$ où $\mathcal{G}$ est la constante universelle de gravitation.

Montrer que $\frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt^2} = -\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r^3}$
Calculer l'énergie potentielle associée à la force de gravitation
On note $v = \left\| \frac{d \overrightarrow{r}}{dt} \right\|$ . Déduire du théorème de l'énergie mécanique que $\frac{1}{2} v^2 - \frac{\mu}{r}$ est une quantité constante au cours du mouvement
Quel est le point de l'orbite où la vitesse de l'étoile est la plus élevée ? la moins élevée ?

Equation de Kepler

L'équation de Kepler est une relation entre l'anomalie excentrique et l'anomalie moyenne, cette page présente un moyen de l'établir. L'aire $\mathcal{A}(FAC)$ est proportionnelle à l'anomalie moyenne .

$\mathcal{A} (AFC) = \frac{M}{2 \pi} \pi a^2 \sqrt{1-e^2} = \frac{1}{2} a^2 \sqrt{1-e^2} M$

L'ellipse de la trajectoire est obtenue par une affinité sur l'axe $\overrightarrow{Y}$ de rapport $\frac{b}{a} = \sqrt{1-e^2}$ . Donc

$\mathcal{A}(AFC') = \frac{\mathcal{A}(AFC)}{\sqrt{1-e^2}} = \frac{a^2 M}{2}$

Par ailleurs en notant l'angle $\widehat{AOC'}$

$\mathcal{A}(AOC') = \frac{1}{2} a^2 E = \mathcal{A}(FOC') + \mathcal{A}(AFC')$

L'aire du triangle FOC' s'obtient facilement car $HC' = HC / \sqrt{1-e^2}$

$\mathcal{A}(FOC') = \frac{1}{2} a^2e \sin E$

On a finalement l'équation de Kepler

$E - e\sin E = M$

Cette équation est "transcendante", en conqéquence il n'existe pas d'expression analytique de en fonction de . Cependant, on peut développer en puissances de .

Anomalies

Représentation de l'anomalie vraie

, excentrique

et moyenne

Solutions en fonction du temps

Il reste à trouver une relation entre et , ce qui s'obtient aisément en exprimant la position (X,Y) de dans le plan $(\overrightarrow{I}, \overrightarrow{J})$ :

$\left\{ \begin{array}{l l l} X =& r \cos v =& a(\cos E - e) \\ Y =& r \sin v =& a \sqrt{1-e^2} \sin E\end{array}$

On en déduit les relations utiles: $\begin{array}{l l} \cos v = \frac{\cos E - e}{1 - e \cos E}, \quad & \sin v = \frac{\sqrt{1-e^2} \sin E}{1 - e \cos E} \end{array}$

A ce point, rappelons que l'objectif est d'exprimer la position et la vitesse de l'étoile comme des observables. En exprimant en fonction de puis en fonction de on a la position du corps à un instant quelconque. En ce qui concerne l'astrométrie, on peut s'arrêter aux équations ci-dessus et simplement faire un changement de référentiel, c'ést à dire exprimer la projection de $X(t)\overrightarrow{I} + Y(t)\overrightarrow{J}$ sur la sphère céleste et choisir un jeu de paramètres $\theta$ à ajuster. Pour les vitesses radiales nous avons besoin de $\frac{dX}{dt} = \frac{dX}{dE} \frac{dE}{dM} \frac{dM}{dt}$ . En dérivant l'équation de Kepler par rapport à on obtient:

$\frac{dE}{dM} = \frac{a}{r}$

D'où:

$\left\{ \begin{array}{l l l} \dot{X} =& -na\frac{\sin E}{1-e \cos E} &= -\frac{na}{\sqrt{1-e^2}} \sin v \\ \dot{Y} =& na\sqrt{1-e^2}\frac{\cos E}{1-e \cos E} &= \frac{na}{\sqrt{1-e^2}} (e+\cos v) \end{array}$

En pratique, il n'est pas nécessaire de calculer en fonction de . Les expressions ci-dessus suffisent. Pour mémoire, en remplaçant $\cos v$ dans la formule trigonométrique $\tan^2 \frac{v}{2} = \frac{1-\cos v}{1+\cos v}$ , on obtient:

$\tan \frac{v}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} \tan \frac{E}{2}$

Changement de référentiel

Les observations sont disponibles dans un référentiel $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$ où $\overrightarrow{k}$ est la direction d'observation et $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ sont choisis de sorte que le repère est orthonormé direct. Le repère $(\overrightarrow{I}, \overrightarrow{J}, \overrightarrow{K})$ est lui aussi orthormé direct. La matrice de passage du repère orbital au repère d'observation est donc une rotation, que l'on décompose en trois rotations dont les angles ont des noms usuels.

Une rotation d'angle $\omega$ d'axe $\overrightarrow{K}$ (parallèle au moment cinétique), cet angle est appelé argument du périastre. Le repère obtenu par cette rotation est noté $(\overrightarrow{I'}, \overrightarrow{J'}, \overrightarrow{K})$ .
Une rotation d'angle d'axe $\overrightarrow{I'}$ , c'est l' inclinaison
Une rotation d'angle $\Omega$ d'axe $\overrightarrow{k}$ , c'est l'ascension droite au noeud ascendant

$\left( \begin{array}{cc} x & \dot{x} \\ y & \dot{y} \\ z & \dot{z} \end{array} \right) = \mathcal{R}_3(\Omega) \mathcal{R}_1(i) \mathcal{R}_3(\omega) \left( \begin{array}{cc} X & \dot{X} \\ Y & \dot{Y} \\ Z & \dot{Z} \end{array} \right)$

Où:

$\mathcal{R}_1(\theta) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \quad ; \quad \mathcal{R}_3(\theta) = \left( \begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Soit le barycentre du système {planète+étoile}, on note $\mathcal{R}_3(\Omega) \mathcal{R}_1(i) \mathcal{R}_3(\omega) = \left( \begin{array}{ccc} B & G & \star \\ A & F & \star \\ C & D & \star \end{array} \right)$ où A, B, F, G sont appelées les constantes de Thiele-Innes. On conserve la notation classique pour ces constantes, qui sautent quelques lettres de l'alphabet pour une raison inconnue des auteurs. La notation C,D n'est en revanche qu'une convention pour ce cours et ne se trouve pas spécialement dans la littérature. On ne donne pas de nom particulier aux éléments de la dernière colonne de la matrice car étant donné que Z=0 , ils n'apparaissent jamais dans les calculs

Paramètres d'un mouvement à deux corps newtonien

Le plan de référence est ici le plan d'observation.

Paramètres orbitaux classiques

On peut caractériser l'orbite par les éléments suivants:

: le demi-grand axe
: l'excentricité
: la période
$\omega$ : l'argument du périastre
: l'inclinaison
$\Omega$ : l'ascension droite au noeud ascendant

Ces éléments donnent la géométrie de l'orbite. Pour déterminer la position de la planète à un instant donné, il faut de plus connaître l'instant de son passage au périastre t_p . On peut alors calculer $M = 2\pi \frac{t-t_p}{P}$ connaisant on peut calculer l'anomalie excentrique par l'équation de Kepler, puis l'anomalie vraie . On en déduit la position sur l'ellipse par l'équation donnée page "Loi des aires", $r(v) = \frac{a(1-e^2)}{1+e \cos v}$ . Enfin, la position sur l'orbite est donnée par les rotations explicitées ci-dessus.

Conclusion pour le problème à deux corps

Dans un référentiel galiléen quelconque de centre , le mouvement de l'étoile en fonction du temps peut s'écrire:

$\begin{array}{ccc}\overrightarrow{OS}(t) &= \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{array}\right) &= \overrightarrow{OB}_0 + \alpha t \overrightarrow{u} + \overrightarrow{BS}(t) \\ \dot{\overrightarrow{OS}}(t) &= \left( \begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ \dot{y}(t) \\ \dot{z} (t) \end{array}\right) &= \alpha \overrightarrow{u} + \dot{\overrightarrow{BS}}(t) \end{array}$

Où $\overrightarrow{OB}_0$ est la position du barycentre du système {Etoile, Planète} à t=0 , $\overrightarrow{u}$ est la direction du mouvement de et $\alpha$ son module. $\overrightarrow{BS}(t) = - \frac{m}{m+M} \overrightarrow{r}$ où $\overrightarrow{r}$ vérifiel'équation de Newton $\frac{d^2 \overrightarrow{r}}{dt^2} = -\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r^3}$ , qui est une équation différentielle de degré deux sur l'espace. Lorsque $\mu$ est fixé et la position et la vitesse à t=0 , $(\overrightarrow{r}_0, \dot{\overrightarrow{r}}_0)$ sont connus, la position et la vitesse sont données par le flot: $\begin{array}{cccc } \Phi_{\mu}:& \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 & \rightarrow & \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \\ & (t,\overrightarrow{r}_0, \dot{\overrightarrow{r}}_0)& \rightarrow &(\overrightarrow{r}(t), \dot{\overrightarrow{r}}(t))\end{array}$ . En d'autres termes, les sept paramètres $(\mu, X_0, Y_0, Z_0, \dot{X}_0, \dot{Y}_0,\dot{Z}_0)$ définissent une orbite de manière univoque. On peut faire un changement de variables pour décrire l'orbite par un autre jeu de sept paramètres, par exemple $a, e, P, \omega, i, \Omega$ et t_p , qui sont les paramètres classiques présentés dans la section précédente. La plupart des auteurs les utilisent pour ajuster le mouvement des planètes, mais ils ont l'inconvénient d'être très sensibles aux erreurs pour de faibles excentricités et inclinaisons. Pour palier à ce problème on définit:

$\varpi = \omega + \Omega$ : la longitude du périhélie
$k = e \cos \varpi$
$h = e\sin \varpi$
: le demi-grand axe
: l'inclinaison
$\Omega$ : l'ascension droite au noeud ascendant
$\lambda = M + \varpi$ : la longitude

Ces éléments sont des fonctions continues de l'inclinaison et de l'excentricité.

Exercices

Auteur: Nathan Hara

Bonnes et mauvaises configurations d'observation

Difficulté : ☆☆

Question 1)

On définit un repère (x,y,z) où la direction est selon la droite observateur - étoile. Avec les notations des pages précédentes, pour quelles valeurs de l'inclinaison les observations de vitesses radiales ne donnent aucune information sur le système ? lequelles rendent la configuration optimale ? Même question pour les angles et $\Omega$ en astrométrie.

Auteur: Nathan Hara

Qu'est-ce que les vitesses radiales permettent de mesurer ?

Difficulté : ☆☆☆

Question 1)

On définit un repère (x,y,z) où la direction est selon la droite observateur - étoile. On note $\left( \begin{array}{c} \dot{X} \\ \dot{Y} \\ 0 \end{array} \right)$ les composantes du mouvement dans le plan orbital. Calculer la composante du mouvement de l'étoile selon la direction d'observation. On mettra les observations sous la forme $K ( \cos(\omega+\nu) + e\cos(\omega))$ , où est une constante à déterminer. Quels paramètres de l'orbite peut-on observer par vitesse radiale ? Montrer en particulier qu'on ne peut pas déterminer la masse exacte de la planète.

Modèle de la trajectoire

Les expressions établies jusqu'ici permettent de paramétrer le mouvement d'une étoile autour de laquelle une planète orbite, en faisant l'hypothèse que les deux corps sont ponctuels, forment un système isolé. Nous allons utiliser ces expressions pour donner un modèle général, lorsque n_p planètes orbitent autour de l'étoile.

En notant $\overrightarrow{r}_0$ et respectivement la position et la masse de l'étoile et $\overrightarrow{r_k}, m_k$ , $k = \mathbf{1}..n_p$ les positions et masses des n_p planètes , les équations de la mécanique (classique) dans le référentiel barycentrique de ce système sont:

$\begin{array}{cccccc} \ddot{\overrightarrow{r}_0} & = &-G\sum\limits_{k=1}^{n_p} m_k \frac{\overrightarrow{r_0}-\overrightarrow{r_k}}{\|\overrightarrow{r_0}-\overrightarrow{r_k}\|^3} & &=& -GM\left(\sum\limits_{k=1}^{n_p} \frac{m_k}{M} \frac{\overrightarrow{r_0}-\overrightarrow{r_k}}{\|\overrightarrow{r_0}-\overrightarrow{r_k}\|^3 \right) \\ \vdots & & & & & \\ \ddot{\overrightarrow{r}_j} & = &-GM\frac{\overrightarrow{r_j}-\overrightarrow{r_0}}{\|\overrightarrow{r_j}-\overrightarrow{r_0}\|^3}& -G\sum\limits_{k=1, k\not=j}^{n_p} m_k \frac{\overrightarrow{r_j}-\overrightarrow{r_k}}{\|\overrightarrow{r_j}-\overrightarrow{r_k}\|^3}& = &-GM \left(\frac{\overrightarrow{r_j}-\overrightarrow{r_0}}{\|\overrightarrow{r_j}-\overrightarrow{r_0}\|^3} - \sum\limits_{k=1,k\not=j}^{n_p} \frac{m_k}{M} \frac{\overrightarrow{r_j}-\overrightarrow{r_k}}{\|\overrightarrow{r_j}-\overrightarrow{r_k}\|^3} \right) \\ \vdots & & & & & \\ \ddot{\overrightarrow{r}_{n_p}} & = &-GM\frac{\overrightarrow{r_{n_p}}-\overrightarrow{r_0}}{\|\overrightarrow{r_{n_p}}-\overrightarrow{r_0}\|^3}& -G\sum\limits_{k=1}^{n_p-1} m_k \frac{\overrightarrow{r_{n_p}}-\overrightarrow{r_k}}{\|\overrightarrow{r_{n_p}}-\overrightarrow{r_k}\|^3} &=& -GM \left(\frac{\overrightarrow{r_{n_p}}-\overrightarrow{r_0}}{\|\overrightarrow{r_{n_p}}-\overrightarrow{r_0}\|^3} - \sum\limits_{k=1}^{n_p-1} \frac{m_k}{M} \frac{\overrightarrow{r_{n_p}}-\overrightarrow{r_k}}{\|\overrightarrow{r_{n_p}}-\overrightarrow{r_k}\|^3} \right) \end{array}$

En négligeant tous les termes du type $\frac{m_k}{M} \frac{\overrightarrow{r_j} - \overrightarrow{r_k}}{\|\overrightarrow{r_j} - \overrightarrow{r_k} \|^3}$ , c'est à dire l'intéraction entre les planètes, on obtient:

$\begin{array}{cccc} \ddot{\overrightarrow{r}_0} & =& -GM\left(\sum\limits_{k=1}^{n_p} \frac{m_k}{M} \frac{\overrightarrow{r_0}-\overrightarrow{r_k}}{\|\overrightarrow{r_0}-\overrightarrow{r_k}\|^3 \right) = -\sum\limits_{k=1}^{n_p} \frac{m_k}{M} \ddot{\overrightarrow{r_k}} \\ \vdots & & & \\ \ddot{\overrightarrow{r}_j} & = &-GM\frac{\overrightarrow{r_j}-\overrightarrow{r_0}}{\|\overrightarrow{r_j}-\overrightarrow{r_0}\|^3}& \\ \vdots & & & \\ \ddot{\overrightarrow{r}_{n_p}} & = &-GM\frac{\overrightarrow{r_{n_p}}-\overrightarrow{r_0}}{\|\overrightarrow{r_{n_p}}-\overrightarrow{r_0}\|^3}& \end{array}$

En résolvant les n_p problèmes à deux corps associés à chacune des planètes, par $M \overrightarrow{r}_0 + \sum\limits_{k=1}^{n_p} m_k \overrightarrow{r_k} = \overrightarrow{0}$ (dont la première équation du système ci-dessus est la dérivée seconde) on obtient le mouvement de l'étoile. Le modèle de trajectoire complet dans un référentiel galiléen est:

$\begin{array}{ccccccc}\overrightarrow{OS}(t) &=& \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{array}\right) &=& \overrightarrow{OB}_0 + \alpha t \overrightarrow{u} + \overrightarrow{BS}(t) & =& \overrightarrow{OB}_0 + \alpha t \overrightarrow{u} - \frac{1}{M}\sum\limits_{k=1}^{n_p} m_k \overrightarrow{r_k} \\ \dot{\overrightarrow{OS}}(t) &= &\left( \begin{array}{c} \dot{x}(t) \\ \dot{y}(t) \\ \dot{z} (t) \end{array}\right) &=& \alpha \overrightarrow{u} + \dot{\overrightarrow{BS}}(t)&=& \alpha \overrightarrow{u} - \frac{1}{M}\sum\limits_{k=1}^{n_p} m_k \dot{\overrightarrow{r_k}} \end{array}$

Trajectoire observée depuis le barycentre du système solaire

Le modèle précédent donne le mouvement de l'étoile observée dans un référentiel galiléen, en particulier le référentiel barycentrique du système solaire $(O,\overrightarrow{I},\overrightarrow{J},\overrightarrow{K})$ , que l'on munit d'un repère de coordonnées sphériques $(O, \rho, \alpha, \delta)$ repérant l'étoile . Supposons que l'observateur est situé en . A un instant il mesure:

soit la vitesse radiale $\dot{\|\overrightarrow{OS}\|}(t) = \dot{\rho}(t)$
soit la position sur la sphère céleste $(\alpha(t), \delta(t))$ dans le cas de mesures astrométriques

On peut facilement montrer avec un développement limité qu'au premier ordre en $\frac{\| \overrightarrow{BS} \|}{\| \overrightarrow{OS}\|}$ , $\rho(t) = \rho_B(t)+ \overrightarrow{e_{\rho}} \cdot \overrightarrow{BS}(t)$ , $\alpha(t) \cos \delta(t) = \alpha_B(t)\cos \delta(t)+ \frac{1}{\rho_B} \overrightarrow{e_{\alpha}} \cdot \overrightarrow{BS}(t)$ , de même $\delta(t) = \delta_B(t)+ \frac{1}{\rho_B} \overrightarrow{e_{\delta}} \cdot \overrightarrow{BS}(t)$ (à faire en exercice). Supposons que n_p planètes indéxées par gravitent autour de l'étoile en et $(\overrightarrow{I_k}, \overrightarrow{J_k}, \overrightarrow{K_k})$ le repère orbital de la planète . On projette le mouvement $\left( \begin{array}{c} X_k(t) \\ Y_k(t) \\ 0\end{array} \right)$ dans le repère orthonormé direct $(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\alpha}}, \overrightarrow{e_{\delta}})$ associé aux coordonnées sphériques $(O, \rho_B, \alpha_B, \delta_B)$ (voir figure). Avec les notations de la page Changement de référentiel:

$\Large \left( \begin{array}{c} \alpha(t) \cos \delta_B \\ \delta(t) \\ \rho(t) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \alpha_B(t)\cos \delta_B \\ \delta_B(t) \\ \rho_B(t) \end{array} \right) - \frac{1}{M} \sum\limits_{k=1}^{n_p} m_k \left( \begin{array}{ccc} \frac{A_k}{\rho} & \frac{F_k}{\rho} & \star \\ \frac{B_k}{\rho} & \frac{G_k}{\rho} & \star \\ C_k & D_k & \star \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} X_k(t) \\ Y_k(t) \\ 0 \end{array} \right)$

Observation depuis le barycentre du système solaire

Position de l'étoile en coordonnées sphériques dans le référérentiel barycentrique du système solaire et dans le référentiel translaté au centre de masse de la Terre. Les observations sont disponibles dans le référentiel terrestre, représenté en rouge, qui dépend de l'instant de mesure

Trajectoire observée depuis la Terre

Le modèle précédent donne l'évolution de l'étoile dans le repère barycentrique du système solaire (RBSS). Or les observations sont disponibles depuis la Terre. Si est la position de l'observateur, l'étoile cible on a $\overrightarrow{TS} = \overrightarrow{TO} + \overrightarrow{OS}$

La mesure de vitesse radiale est celle de $\dot{\overrightarrow{TS}}$ , il faut donc soustraire des observations $\dot{\overrightarrow{TO}}$
En astrométrie on observe la projection du mouvement de l'étoile sur la sphère céleste à un certain instant. Non seulement il faut estimer $\overrightarrow{TO}$ comme dans le cas des vitesses radiales, mais aussi s'assurer que toutes les observations sont exprimées dans le même référentiel (par exemple le référenciel barycentrique translaté, sur la figure) alors que chaque observation est dans un référentiel dépendant de l'observation (en rouge sur la figure). L'expression des mesures prises à des instants différents selon une même échelle se pose aussi pour les vitesses radiales, mais passe par l'étalonnage de l'instrument de mesure.

La dérivée temporelle des vecteur est toujours définie par rapport à un référentiel. Ici la notation $\dot{a}$ désigne la dérivée temporelle par rapport au RBSS.

La détermination de la position du centre de masse de la Terre par rapport au barycentre du système solaire est un sujet à part entière. La trajectoire d'un corps céleste au cours du temps dans un référentiel donné est appelée une éphéméride. Les principaux laboratoires de calcul des éphémérides sont le JPL (NASA) et l'IMCCE (Observatoire de Paris). Les liens envoient sur les générateurs en lignes d'éphémérides respectifs des deux laboratoires. .

Vitesses radiales

La vitesse de l'observateur par rapport au barycentre du système solaire peut se décomposer en $\dot{\overrightarrow{OT}} = \dot{\overrightarrow{OC}} + \dot{\overrightarrow{CT}}$ . La partie $\overrightarrow{OC}$ est donné par les éphémérides, comme expliqué plus haut. La correction de la deuxième partie est essentielle: l'observateur parcourt deux fois le rayon terrestre en une nuit, ce qui donne une vitesse d'environ 300 m/s. Si M(t) désigne la matrice de changement de repère entre le référentiel lié à la Terre et le référentiel barycentrique du système solaire, on a $\dot{\overrightarrow{CT}} = \dot{M}(t) \overrightarrow{CT}_{R_t}$ où $\overrightarrow{CT}_{R_t}$ désigne la position de l'observateur dans le référentiel terrestre.

La détermination de est aussi un sujet à part entière, appelé "rotation de la Terre". Les paramètres de rotations officiels sont donnés par le Service de rotation de la Terre au SYRTE (Observatoire de Paris).

Parallaxe (astrométrie)

En ce qui concerne l'astrométrie, il faut exprimer la relation entre les positions mesurées et la position dans le RBSS, ce qui peut se décomposer en deux étapes: passer du référentiel terrestre au RBS translaté au centre de masse de la Terre (passer du référentiel rouge au référentiel noir à droite sur la figure), puis passer du référentiel translaté au RBS. Comme on le verra plus tard, il est aussi possible de se passer de cette étape en prenant un champ contenant des étoiles de référence.

Notons (x,y,z) la position de la Terre dans le RBS. En exprimant $\overrightarrow{OS}$ dans le RBSS de deux manières on obtient une relation entre les coordonnées $(\rho_B, \alpha_B, \delta_B)$ et $(\rho_T, \alpha_T, \delta_T)$ : $\begin{array}{lll} \rho_T \cos \delta_T \cos \alpha_T & = & \rho_T \cos \delta_S \cos \alpha_S -x\\ \rho_T \cos \delta_T \sin \alpha_T & = & \rho_T \cos \delta_S \sin \alpha_S - y \\ \rho_T \sin \delta_T & = & \rho_B \sin \delta_B -z\end{array}$

Lorsque est suffisamment loin, ces expressions différenciées au voisinage de $(\rho_B, \alpha_B, \delta_B)$ donnent au premier ordre en $\Delta \alpha = \alpha_T - \alpha_B$ , $\Delta \delta = \delta_T - \delta_B$ et $\Delta \rho = \rho_T - \rho_B$

$\begin{array}{lll} \Delta \alpha \cos \delta &=& \frac{x}{\rho_B} \sin \alpha - \frac{y}{\rho_B} \cos \alpha \\ \Delta \delta &=& \left( \frac{x}{\rho_B} \cos \alpha + \frac{y}{\rho_B} \sin \alpha \left) \sin \delta - \frac{z}{\rho_B} \cos \delta \\ \Delta \rho &= &-x \cos \alpha \cos \delta - y\sin \alpha \cos \delta + z \sin \delta \end{array}$

On appelle la quantité $\varphi = \frac{1}{\rho_B} \approx \frac{1}{\rho}$ la parallaxe de l'étoile (en général notée $\pi$ ou $\varpi$ , qui sont des symboles déjà utilisés dans le cours). Elle considérée comme constante au cours des observations et est ajustée aux observations en astrométrie.

Remarque: la procédure de changement de référentiel passe par des changements d'échelle de temps (UTC, UT1, TDB...) qui ne seront pas détaillés ici.

Changement de coordonnées

Accélération de perspective et changement de parallaxe (astrométrie)

Accélération de perspective

L'accélération de perspective est un effet purement géométrique, qui tient à la définition du mouvement propre d'une étoile. Le mouvement propre est en effet défini comme $\mu = \frac{V\sin \theta}{\rho}$ où est la vitesse du système observé, $\rho$ la distance entre l'observateur et le système, $\theta$ est l'angle entre la ligne de visée et la vitesse du système observé. Nous supposons que les mesures astrométriques sont sur un plan. Cependant, on mesure la projection du mouvement sur une sphère, donc $\theta$ n'est pas constant au cours du temps. En dérivant par rapport au temps, comme est constant:

$\frac{d \mu }{dt} = - \frac{V}{\rho^2} \sin \theta \frac{d\rho}{dt}+\frac{V}{\rho} \cos \theta \frac{d\theta}{dt}$

On voit sur le triangle OSP que $\frac{d\theta}{dt} = - \mu$ et $V \cos\theta =V_r=\frac{d\rho}{dt}$ . D'où:

$\frac{d\mu}{dt} = - \frac{\mu}{\rho} \frac{d\rho}{dt} - \frac{\mu}{\rho} V_r = -\frac{2\mu}{\rho} V_r$

En pratique on ajuste un terme quadratique $\eta$ , où le mouvement angulaire sur la sphère céleste est donné par $\mu (t) = \mu_0 t + \eta t^2$ .

Variation de parallaxe

La variation de parallaxe vaut: $\dot{\varphi}= -\frac{1}{\rho^2} \frac{d\rho}{dt} = -\frac{1}{\rho^2} V_r= - \varphi^2 V_r$ . Comme elle est du deuxième ordre en $\varphi$ , elle n'est en général pas prise en compte.

Changement de coordonnées

Définition de $\theta$

Etoile

L'ajustement des paramètres orbitaux permet de connaître $\mu = G(m+M)$ ou bien $\mu \sin i$ dans le cas des vitesses radiales. Il est impossible de distinguer les masses et séparément a priori. Cependant, on peut mesurer la masse de l'étoile de sorte à lever l'indetermination.

La modélisation des étoiles permet de distinguer les effets sur le spectre de la variation de leur flux lumineux de la présence de compagnons planétaires. Ces variations sont modélisées par des variables aléatoires suivant une certaine loi de probabilité, dont l'amplitude varie de plusieurs ordres de grandeur selon le type d'étoile. Plus l'étoile est active, plus l'amplitude du mouvement dû à la planète doit être grande pour distinguer la planète du bruit. En particulier certains types d'étoiles sont trop actives pour pouvoir détecter des potentielles super-Terres compagnon.

La description physique des étoiles est complexe car de nombreux phénomènes, tous interdépendants, ont lieu: convection, radiation, magnétisme... Les modèles utilisés en détection par vitesses radiales comprennent trois phénomènes

Les ondes de pression se propageant dans les couches extrérieures de l'étoile entrainent des compressions-dilatations de celles-ci, ce qui change la vitesse radiale moyenne observée par rapport à une photosphère statique.Cet effet affecte principalement les observations de vitesses radiales.
La granulation: phénomène convectif (c'est à dire lié au déplacement de matière dans l'étoile)
L'activité de l'étoile: la présence de régions sombres ou lumineuses à la période de rotation de l'étoile

L'impact de ces effets sur les mesures n'est pas simple à quantifier. Selon le type d'étoile et les instants d'observations, l'effet peut être très variable. Certains auteurs estiment les incertitudes par des simulations numérique, d'autres par des modèles théoriques. Nous donnons une description qualitative de ces phénomènes et une modélisation possible, mais il faut garder à l'esprit que c'est un sujet de recherche ouvert. Dans le cas des vitesses radiales, ces bruits sont classiquement modélisées par un processus stochastique d'une certaine densité spectrale de puissance, notion importante en statistique, qui est définie dans cette page.

Masse de l'étoile

La mesure de la masse de l'étoile peut se faire de deux manières

Par ajustement aux observations de modèles théoriques d'intérieurs stellaires.
Par mesure du mouvement dans un système binaire

Dans le premier cas, si la distance à l'étoile est connue (par exemple par mesure de parallaxe), on peut mesurer sa luminosité intrinsèque (si on ne connaît pas la distance on ne mesure évidemment que la luminosité apparente). Par son spectre, on peut mesurer sa température effective $T_{eff}$ . Des modèles d'intérieurs stellaires permettent ensuite d'évaluer la masse. Cette estimation peut être rafinée avec un modèle d'atmosphère stellaire. On peut alors avoir la gravité à la surface de l'étoile . Comme $L \approx T_{eff}^4 R^2$ et $g \approx \frac{M}{R^2}$ , on peut avoir une estimation de la masse.

Dans le cas des étoiles binaires (systèmes de deux étoiles), le spectre présente des raies des deux étoiles. Le mouvement de ces raies se fait à la même fréquence, mais dans des directions opposées (lorsqu'une étoile approche l'autre s'éloigne). La période de ces mouvements est liée à la masse du système par l'équation de Kepler. L'amplitude relative de ces mouvements permet de déterminer la masse des deux étoiles séparément. Comme dans le cas de la détermination des orbites des planètes, la masse n'est connue qu'à un faceteur $\sin i$ près. Pour lever cette indetermination, il faut déterminer l'inclinaison de l'orbite par rapport à l'observateur . Si on observe des eclipses (une binaire passe devant l'autre), $\approx 0$ . Si le système n'est pas dans cette configuration, on peut séparer angulairement les deux étoiles par des techniques d'interférométrie.

Processus stochastique et Densité spectrale de puissance

Processus stochastique

La notion de densité spectrale de puissance (DSP) n'est pas simple à définir, cependant très utilisée dans la littérature de traitement du signal. Nous donnons une définition mathématique pour qu'il n'y ait pas d'ambiguités mais compte tenu de la sophistication des notions introduites, le lecteur pourra se référer à la description qualitative suivante.

La densité spectrale de puissance est une propriété relative à plusieurs variables aléatoires. Les familles de variables aléatoires peuvent par exemple représenter des mesures sur lesquelles on a une incertitude. A chaque instant de mesure on associe une variable alétoire qui a une certaine densité de probabilité. En physique théorique ou en économie, on rencontre des processus stochastiques continus - typiquement le mouvement brownien, qui représente des mouvements d'atomes ou des fluctuations de prix. Formellement, un processus stochastique est une famille de variables aléatoires indexées par un ensemble totalement ordonné , toutes définies sur le même espace de probabilité ( $\forall t \in T, X_t \in (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) )$ . Dans ce cours on aura seulement besoin de $T=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{N}$ . On note $\mathbb{E}$ l'espérance mathématique.

Dans le cas général, la densité de probabilité de la variable aléatoire $X_{t}$ (pour $t \in \mathbb{R}$ ) dépend des valeurs prises à d'autres "instants" par les autres variables aléatoires. En particulier on peut s'intéresser à une éventuelle probabilité de périodicité. Par exemple si on modélise un nombre de ventes de vêtement par jour, on verra des ventes plus importantes au moment des soldes (à peu près tous les six mois). La densité spectrale de puissance est un outil qui permet de visualiser ce genre de périodicité. Dans la section suivante, on voit que si on prend une famille de variables aléatoires certaines, c'est à dire que X_t vaut une certaine valeur réelle x(t) avec la probabilité 1, la DSP en une fréquence $\omega$ est égale à $|\hat{x}(\omega)|^2$ , où $\hat{x}$ est la transformée de Fourier de . Si maintenant X_t est une variable alétoire, la DSP sera la "transformée de Fourier typique" d'une réalisation de X_t .

Pour définir cette notion mathématiquement, on doit d'abord introduire les notions de convergences et intégrales en moyenne quadratique. Pour plus de précision le lecteur peut se référer au cours de Timo Koski à KTH.

Intégrale en moyenne quadratique (Mean Square Integral)

Rappelons d'abord que si Y_1, ..., Y_n sont des variables aléatoires et $\phi: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m$ une fonction mesurable alors $\phi(Y_1,...,Y_n)$ est une variable aléatoire. En particulier, si $\lambda$ est un scalaire, $\lambda Y_1$ et Y_1 + Y_2 +...+Y_n sont des variables aléatoires. Pour un rappel sur les variables aléatoires, voir le cours de Didier Pelat.

Soit $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ un espace de probabilités, on dit que la suite de variables aléatoires $(Y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $E\{Y_n\} < + \infty$ , définies sur cet espace converge en moyenne quadratique si et seulement si:

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\{|Y_n-Y |^2\}=0$

Soit $(X_t)_{\mathbf{t \in \mathbb{R}}}$ un processus stochastique continu ( $T=\mathbb{R}$ ) tel que chacune des variables aléatoires X_t a une espérance finie ( $E\{X_t\} < + \infty$ ). L'intégrale en moyenne quadratique du processus $(X_t)_{t \in T}$ sur l'intervalle [a,b] est définie comme la limite en moyenne quadratique (lorsqu'elle existe) de:

$\sum\limits_{k=1}^n X_{t_k} (t_k-t_{k-1}})$

Pour a=t_0 < t_1 <... <t_n=b et $\lim\limts_{n\rightarrow\infty}\max (t_k-t_{k-1}) = 0$ . On la note alors $\int_b^b X_t dt$ .

On définit alors la densité spectrale de puissance comme:

$P_X(\omega) = \lim\limits_{T\rightarrow \infty} \mathbb{E} \{|\hat{x}_T(\omega)|^2\}$

Où $\hat{x}_T(\omega) = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_0^T X_t e^{-i \omega t} dt$

Cette définition un peu complexe peut être vue comme une généralisation de la transformée de Fourier à des processus stochastiques. En effet, lorsque le processus X_t est telle que X_t = x(t) avec une probabilité 1, l'intégrale en moyenne quadratique se comporte comme l'intérale de Riemann, alors $P(\omega)$ est le carré du module de la transformée de Fourier de la fonction réelle d'une variable réelle x(t) . Dans le cas où les X_t sont aléatoire, est le carré de la transformée de Fourier "en moyenne" des réalisations de X_t. Par exemple si X_t modélise une tension mesurée au cours du temps dans une expérience d'électronique réalisée un grand nombre de fois, donnant profils de tension u_k(t) à l'expérience (des réalisations du processus stochastique U_t ), la moyenne des carrés du module des transformées de Fourier des u_k(t) notée $\tilde{P}_n(\omega)$ sera approximativement égal à $P_U(\omega)$ . Si le nombre d'expérience tend vers l'infini $\tilde{P_n} \rightarrow P_U$ en norme 2.

Dans le cas d'un processus stationnaire discret ( $T= \mathbb{Z}$ ), on peut directement définir $\hat{x}_n(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2n+1}} \sum\limits_{k=-n}^n X_ke^{-i\omega t_k}$ et $P_X(\omega) = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \mathbb{E} \{|\hat{x}_n(\omega)|^2\}$ .

Processus stationnaires au sens large

La densité spectrale de puissance a une définition plus simple lorsque le processus est stationnaire, c'est à dire lorsque le processus $(X_t)_{t\in T}$ vérifié:

Il existe $\mu \in \mathbb{R}$ tel que $\forall t \in T, \mathbb{E}\{X_t\} =\mu$
La fonction d'autocorrélation $\begin{array}{cccc}C: &\mathbb{R} \times \mathbb{R}: & \rightarrow & \mathbb{R} \\ &t,s & \rightarrow& \mathbb{E}\{X^{\star}_s X_t \} \end{array}$ ne dépend que de , i. e. $\forall t,s, t',s'$ tels que , on a . On note appelle alors habituellement la fonction d'autocorrélation , telle que

Les processus stationnaires modélisent des phénomènes qui ont une certaine invariance dans le temps, en particulier la covariance ne dépend pas de de manière absolue, mais de manière relative à un autre instant. Dans ce cas, la densité spectrale de puissance est égale au carré du module de la transformée de Fourier de la fonction . L'équivalence avec la définition de la densité spectrale de puissance donnée plus haut est établie par le théorème de Wiener-Khinchin.

Granulation

Le phénomène de granulation est lié à la convection du gaz dans l'étoile. La lumière rayonnée par le gaz chaud remontant à la surface va vers l'observateur, la longueur d'onde reçue est donc décalée vers le bleu. En rayonnant, le gaz se refroidit, puis repart vers le centre de l'étoile. Etant moins chaud, il émet moins de lumière, si bien que la lumière est globalement décalée vers le bleu. Ce phénomène est variable dans le temps, donc le décalage vers le bleu aussi. Cette variation peut apparaître dans le spectre et créer des fréquences parasites. La nature aléatoire du phénomène fait que même après ajustement, il reste un bruit résiduel. Pour une étoile de type solaire, il est de l'ordre de 0.5 - 1 m/s sur une observation.

La granulation est en général modélisée par un processus stochastique dits de bruits en créneaui (popcorn noise ou burst noise en anglais). Il s'agit de processus stochastiques pouvant prendre deux valeurs, par exemple -1 ou 1 avec une probabilité de changement suivant une loi de Poisson (loi exponentielle). Si à la valeur passe de 1 à -1, la densité de probabilité pour que la valeur passe à 1 à $t+ \Delta t$ est $e^{-\frac{t}{\tau}}$ où $\tau$ est un réel positif. Pour les vitesses radiales, la densité spectrale de puissance de ces bruits peut être modélisée par::

$P(\nu) = \frac{4 \sigma ^2 \tau}{1+(2\pi\nu\tau)^2}}$

Cette modélisation, due à Harvey (1985) a depuis été revue et d'autres densités spectrales de puissances ont été proposée à partir de simulations 3d de convection au sein d'une étoile. En pratique, le bruit dû à la granulation apparaitra comme un signal périodique de l'ordre de cinq minutes. Cependant, on observe aussi des phénomènes appelés meso-granulation et super-granulation sur des échelles de temps plus longues. La contribution totale de ces bruits est:

$P(\nu) = \frac{4 \sigma_g ^2 \tau_g}{1+(2\pi\nu\tau_g)^2}}+\frac{4 \sigma_{mg} ^2 \tau_{mg}}{1+(2\pi\nu\tau_{mg})^2}}+\frac{4 \sigma_{sg} ^2 \tau_{sg}}{1+(2\pi\nu\tau_{sg})^2}}$

Où les indices g, mg et sg se réfèrent respectivement à la granulation, la méso granulation et la super-granulation. En anticipant un peu sur le troisième chapitre, lorsque ces bruits sont pris en compte, les valeurs des $\sigma$ et $\tau$ sont ajustés sur le spectre de puissance du signal.

Activité magnétique

La formation d'arcs de champ magnétique à la surface de l'étoile inhibe le mouvement des particules, donc réduit la température et provoque donc des tâches sombres. Cet effet à des effets à court termes (à la fréquence de rotation de l'étoile $\approx 1$ mois), et à plus long terme à travers des cycles d'activité magnétique.

A court trerme, la tache introduit une dissymétrie entre la partie de l'étoile tournant vers l'observateur, et la partie s'en éloignant, ce qui engendre un décalage du spectre mesuré. D'autre part, la tache engendre un déplacement du photocentre de l'étoile périodique, pouvant être confondu avec la présence d'une planète. Pour éviter ces confusions, on estime la période de rotation de l'étoile par spectroscopie, et on ajuste des sinusoïdes à cette période et ses premières harmoniques.

L'activité magnétique peut se mesurer à travers divers indicateurs, dont on analyse les corrélations.

Toujours selon le modèle de Harvey (1985), la densité spectrale de puissance du bruit de vitesse radiale induit par une tache solaire est:

$P(\nu) = \frac{4 \sigma_{am} ^2 \tau_{am}}{1+(2\pi\nu\tau_{am})^2}}$

Effet de la rotation de l'étoile sur le spectre

La lumière provenant de la moitié de l'étoile ayant un mouvement vers l'observateur est décalé vers les hautes fréquences (vers le bleu). L'autre moitié est décalée vers les basses fréquences (vers le rouge). Dans l'hypothèse où l'étoile est sphérique, et a une luminosité identique partout sur sa surface, le décalage vers le rouge et celui vers le bleu ne fait qu'élargir les raies spectrales. Si une tache est présente, ici sur la partie bleue, la symétrie est brisée et le déficit de lumière entraine un décalage du spectre vers le rouge.

Oscillations radiales (vitesses radiales)

Des inhomogénéités de densité dues aux mouvements convectifs font que des ondes mécaniques se propagent au sein des étoiles. Certaines de ces ondes sont radiales, ce qui provoque un mouvement d'ensemble de la photosphère qui a une signature sur le décalage du spectre mesuré. L'étude de ces ondes est un domaine de la physique stellaire appelé "astérosismologie". Etant donné que la théorie est accessible au niveau licence, nous en donnons des principes généraux.

La théorie procède comme suit: on écrit localement 1) l'équation du mouvement linéarisée au premier ordre au voisinage d'un état d'équilibre, 2) la conservation de la masse ou équation de continuité, 3) l'équation de Poisson, liant le potentiel gravitationnel et la densité, 4) Le premier principe de la thermodynamique. On néglige l'effet du champ magnétique. En général, on fait l'hypothèse que le terme de transfert thermique dans le 1er principe est nul.

Perturbations atmosphériques

Vitesses radiales

L'atmosphère peut influencer la mesure de vitesses radiales de deux manières:

Par atténuation de l'intensité, ce qui augmente le bruit de photon
Par la modification du contenu spectral du signal

La présence de lignes spectrales d'émission ou d'absorption est difficile à corriger. C'est pourquoi on ne considère que des plages de fréquences où l'intensité des raies atmosphériques est inférieure à 1/10000 de l'intensité de la cible. De plus, la réponse de l'atmosphère dépend de la longueur d'onde. Le spectre obtenu est pondéré de sorte à corriger ces inhomogénéités.

Astrométrie

Avant de parvenir au télescope, la lumière issue de l'étoile traverse l'atmosphère. Les turbulences aux hautes altitudes créent des inhomogénéités de densité, donc d'indice optique, qui distordent le front d'onde de la lumière pénétrant dans l'atmosphère. La modélisation classique de ce phénomène passe par l'introduction de "Structure functions" qui modélisent la densité de probabilité des champs de vitesses, densité etc.

Afin de ne pas surcharger le cours, nous ne donnerons qu'un modèle très simple de ce phénomène. Les mouvements de turbulence forment des "cellules" de composition homogène et d'une taille typique d_0 . Vue du dessus, l'atmosphère se comporte approximativement comme un tableau de pixels de taille d_0 dont chaque cellule introduit une déviation angulaire du faisceau incident. Cette déviation est de l'ordre de $\approx \frac{\lambda}{d_0}$ . Dans le cas limite où une cellule a un indice 0 et les cellules avoisinantes ont un indice 1 (sont opaques), on retrouve l'ordre de grandeur de la diffraction. Les fronts d'ondes issus de ces différents pixels arrivent au télescope avec des angles différents, donc donnent chacun une image différente appelé "speckle". L'union de ces speckle forme une tache lumineuse élargie de taille environ égale à $1.22\frac{\lambda}{d_0}$ .

Récapitulation

Les effets expliqués précédemment sont pour la plupart périodiques, donc peuvent être confondus avec le signal d'une planète. Le tableau suivant récapitule ces effets, leurs amplitudes et périodes typiques pour des étoiles de type solaire.

Effets physiques
Effet	Description	Amplitude (vitesse radiale)	Amplitude (astrométrie)	Echelle de temps
Mouvement des planètes	Le mouvement des planètes autour de l'étoile engendre un mouvement périodique	1 cm/s - 200 m/s	Terre: 0.3, 0.03 $\mu$ as Jupiter: 500, 20 $\mu$ as à 1 et 10 parsec resp.	de un jour à plusieurs centaines d'années
Mouvement propre	Mouvement rectiligne uniforme	Dizaines de kilomètres par seconde	10 - 1000 mas pour les étoiles observables	Mouvement non périodique
Taches	La présence de taches sombres ou lumineuses dues à l'activité magnétique provoque une disymétris entre la luminosité de la partie bleue et la partie rouge de l'étoile, engendrant un décalage du spectre ou du photocentre.	1 m/s	Avec ces trois effets, 0.5 - 10 $\mu$ UA	Période de rotation de l'étoile (quelques jours)
Activité magnétique (long terme)	Le nombre de tâche à la surface de l'étoile peut varier de quelques unes à plusieurs centaines. Par exemple le soleil a une périodicité de 11 ans. L'effet précédent est modulé par ces variations à long terme.	10 m/s		1 - 10 ans
Granulation	Le mouvement convectif à l'intérieur de l'étoile provoque un mouvement du gaz dans la photosphère	0.5 - 1 m/s		Granulation: quelques minutes, mesogranulation:
Oscillations radiales (p-modes)	La propagations d'ondes acoustiques dans le manteau de l'étoile entraîne une oscillation de celui-ci	0.5 - 1 m/s	inconnu	5 - 10 minutes
Système multiple	La présence d'autres étoiles orbitant autour de l'étoile cible engendre un mouvement décrit par les mêmes équations que celles utilisées pour les planètes. Les autres étoiles étant beaucoup plus massives que des planètes, l'effet est plus important.	1 - 30 km/s	0.1 - 1 as/an	10 - 100 ans

effets observationnels
Effet	Description	Amplitude (vitesse radiale)	Amplitude (astrométrie)	Echelle de temps
Mouvement de l'observateur dans le RBSS	Comme l'observateur est en mouvement dans un référentiel galiléen,	30 km/s (après soustraction, on a une erreur $\approx$ 0.5 m/s à cause des incertitudes sur la rotation de la Terre et les éphémérides)	0.01 - 0.1 as/an	Une année
Perturbations atmosphériques	La présence de raies spectrales atmosphériques peut perturber les observations par vitesses radiale, et les turbulences dévient les fronts d'ondes, engendrant un déplacement apparent des sources.	0.5 m/s	1 mas	Quelques minutes

Modélisation - Problème direct

Présentation du modèle

Problème à deux corps

Problème à deux corps newtonien

Equation de Newton

Quantités conservées

Géométrie de l'orbite

Loi des aires

Loi des Aires

Exercices

Conservation de l'énergie

Equation de Kepler

Equation de Kepler

Solutions en fonction du temps

Changement de référentiel

Paramètres orbitaux classiques

Conclusion pour le problème à deux corps

Exercices

Bonnes et mauvaises configurations d'observation

Qu'est-ce que les vitesses radiales permettent de mesurer ?

Modèle de la trajectoire

Trajectoire observée depuis le barycentre du système solaire

Trajectoire observée depuis la Terre

Vitesses radiales

Parallaxe (astrométrie)

Accélération de perspective et changement de parallaxe (astrométrie)

Accélération de perspective

Variation de parallaxe

Etoile

Etoile

Masse de l'étoile

Processus stochastique et Densité spectrale de puissance

Processus stochastique

Intégrale en moyenne quadratique (Mean Square Integral)

Processus stationnaires au sens large

Granulation

Activité magnétique

Oscillations radiales (vitesses radiales)

Perturbations atmosphériques

Vitesses radiales

Astrométrie

Récapitulation

Réponses aux exercices

Exercice 'Bonnes et mauvaises configurations d'observation'

Exercice 'Qu'est-ce que les vitesses radiales permettent de mesurer ?'