Bruits

Dans le modèle $f(\theta,T) + \epsilon$ , le symbole $\epsilon$ désigne un bruit gaussien. Comme ils apparaissent constamment en détection de planètes extrasolaires et ailleurs, nous allons en donner quelques propriétés.

A une expérience donnée, $\epsilon$ prendra une valeur imprévisible. La probabilité que la valeur de soit comprise entre b_1 et b_2 est $\int_{b_1}^{b_2} f(x) dx$ où f(x) est la densité de probabilité de $\epsilon$ . Dire que $\epsilon$ est un bruit gaussien veut dire que sa densité est de la forme $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}}$ où $\mu$ et $\sigma$ sont des réels, qui sont égaux respectivement à la moyenne et à l'écart-type de $\epsilon$ . On note souvent $\epsilon \sim g(\mu, \sigma^2)$ , qui signifie " $\epsilon$ suit une loi gaussienne de moyenne $\mu$ et de variance $\sigma^2$ . Dans la plupart des cas, le bruit est de moyenne nulle (c'est le cas ici).

Dans le modèle, des bruits d'origines différentes s'additionnent. Sachant que le résidu de l'activité stellaire que nous n'avons pas ajusté $\epsilon_S$ et le bruit de mesure $\epsilon_{mes}$ suiven une certaine loi, quelle loi suivra $\epsilon = \epsilon_{S} + \epsilon_{mes}$ ? Nous pouvons déjà dire que la moyenne de $\epsilon$ sera égale à la somme des moyennes de $\epsilon_S$ et $\epsilon_{mes}$ car l'espérance est un opérateur linéaire. Peut-on dire plus ? Si ces bruits dépendaient l'un de l'autre, la réponse pourrait être complexe. En l'occurrence, la physique de l'étoile cible et les erreurs instrumentales sont totalement indépendantes. On peut montrer que dans ces conditions, la variance de $\epsilon$ est égale à la somme des variances de $\epsilon_S$ et $\epsilon_{mes}$ . Nous pouvons même aller plus loin car la somme de deux variables gaussiennes indépendante est une variable gaussienne. En résumé, $\epsilon \sim g\left(\mu_{S} +\mu_{mes}, \sigma_{S}^2+ \sigma_{mes}^2\right)$ en l'occurrence $\mu_S$ et $\mu_{mes}$ sont nulles.

Lorsqu'on dispose de plusieurs mesures, à l'expérience numéro on a un certain bruit b_k réalisation d'une variable $\epsilon_k$ de densité f_k . La plupart du temps, on fait l'hypothèse que les brutis $\epsilon_k$ sont indépendants, c'est à dire que la probabilité d'obtenir le bruit b_k à l'expérience ne dépend pas des valeurs prises aux expériences précédentes et suivantes. Lorsque ce n'est pas le cas on parle de bruits corrélés. Pour les caractériser, on utilise souvent leur densité spectrale de puissance. Un certain profil de densité spectrale correspond à une "couleur" du bruit.

A retenir: la somme de variables gaussienne indépendantes $\epsilon = \sum\limits_{k=1}^n \epsilon_k$ où $\epsilon_k \sim g\left( \mu_k, \sigma_k^2)$ est une variable gaussienne suivant la loi $g \left( \sum\limits_{k=1}^n \mu_k , \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n \sigma_k^2 \right)$ .