La vraisemblance

Etant donné des paramètres $\theta$ , le modèle global $f(\theta,T)+\epsilon$ est une variable aléatoire: il est somme d'une variable aléatoire valant $f(\theta,T)$ avec une probabilité 1 et d'un vecteur de variables aléatoires gaussienne $\epsilon$ . A ce titre, il a une certaine densité de probabilité que l'on note $L(y|\theta)$ . Le symbole | se lisant "sachant". La lettre L vient de Likelihood, qui veut dire vraisemblance en anglais. Il s'agit dans l'idée de la probabilité d'obtenir $y = f(\theta,T)+\epsilon$ pour une valeur de $\theta$ donnée..

La fonction $\theta \rightarrow L(y|\theta)$ est souvent appelée "fonction de vraisemblance". La valeur de $\theta$ maximisant $L(y|\theta)$ est appelé l'estimateur du maximum de vraisemblance. Il a de bonnes propritétés statistiques. En effet, on peut montrer que c'est un estimateur:

Non biaisé: lorsque le nombre de mesure tend vers l'infini, l'estimateur du maximum de vraisemblance tend vers la bonne valeur $\theta$
De variance minimale: parmi les estimateurs non biaisés, il a la variance la plus faible que l'on puisse espérer.

Dans notre cas, si les $\epsilon_k$ sont des variables indépendantes, leur densité de probabilité jointe est égale au produit de leurs densité de probabilité. $L(y|\theta) = \prod\limits_{k=1}^m g_k(y-f(\theta,t_k))$ où g_k est la densité de probabilité de la variable $\epsilon_k$ . De plus, si ces varibles sont gaussiennes et indépendantes, on a: $L(y|\theta) = \prod\limits_{k=1}^m \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_k} e^{-\frac{(y-f(\theta,t_k))^2}{\sigma_k^2}} = \frac{1}{(\sqrt{2\pi})^m \prod\limits_{k=1}^m \sigma_k} e^{-\sum\limits_{k=1}^m \frac{(y-f(\theta,t_k))^2}{\sigma_k^2}}}$