Exercices

Auteur: Nathan Hara

Espérance et variance de la moyenne empirique

Difficulté : ☆☆☆

Question 1)

On rappelle que l'espérance et la variance d'une variable alétoire de densité de probabilité sont données par $\mathbb{E}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} xf(x)dx$ et $\text{Var}(X) = \mathbb{E}\left((X-\mathbb{E}(X))^2\right)= \int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mathbb{E}(X))^2f(x)dx$

Soit une variable aléatoire et un réel. Montrer que $\mathbb{E}(aX) = a \mathbb{E}(X)$ et $\text{Var}(aX) = a^2 \text{Var}(X)$
Soient et deux variables aléatoires indépendantes. Montrer que $\mathbb{E}(X+Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$ .
On définit la covariance par $\text{Cov}(X,Y) = \mathbb{E}\{ (X-\mathbb{E}(X)) (Y-\mathbb{E}(Y))\}$ . Montrer que $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2 \text{Cov}(X,Y)$
Nous allons maintenant voir un cas où la précision d'un estimateur est facilement calculable. On considère mesures entachées de bruits gaussiens d'une quantité fixe . Plus précisément, la mesure numéro est modélisée par une variable aléatoire $X_j = K + \epsilon_j$ où $\epsilon_j$ est un bruit gaussien de moyenne nulle et de variance $\sigma^2$ . On suppose que les mesures sont indépendantes, ce qui implique en particulier que $\text{Cov}(\epsilon_j,\epsilon_i) = 0$ pour $i \neq j$ . Pour obtenir une estimation de , on fait la moyenne empirique des expériences, c'est à dire $M = \frac{X_1 + X_2 +... X_m}{m}$ . Montrer que $\mathbb{E}(M) = K$ et $\text{Var}(M) = \frac{\sigma^2}{m}$
La précision de l'estimateur augmente-t-elle avec le nombre de mesures ?