Variables aléatoires

La réponse est dans le cours.

Une variable aléatoire est une variable dont la réalisation (valeur numérique par exemple) change à chaque mesure de façon aléatoire.

La réponse se trouve dans le cours.

Ce sont les variables aléatoires discrètes (l'ensemble des valeurs possibles de la variable est dénombrable) et les variables aléatoires continues (pour lesquelles l'ensemble des valeurs possibles n'est pas dénombrable).

Pensez à bien énumérer toutes les combinaisons possibles, en se souvenant que l'univers pour l'ensemble des deux dés est donné par le produit cartésien des univers pour chacun des dés.

Il y a 6 possibilités d'évènements pour le dé rouge : {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pour chacun de ces évènements, il y en a six autres pour le dé bleu. Donc le nombre total d'évènements est . Une façon plus détaillée de le comprendre est de dire qu'un évènement est le couple des résultats du dé rouge et du dé bleu (Rouge, Bleu). Les couples sont donc (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), ... On retrouve qu'il y a 6 possibilités pour le premier membre du couple et 6 pour l'autre, cela donne 36 possibilités.

Quels événements de la question précédente sont à présent confondus ? Sur quel critère ? Combien d'événements sont concernés ?

Dans ce cas, une méthode lente mais sûre est de lister tous les couples possibles en commençant par tous ceux qui ont le nombre 1 pour le premier dé, puis ceux qui reste avec le 2, ensuite le 3 et ainsi de suite : (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 6). Il est facile de remarquer qu'il y a six couples avec le nombre 1 puis 5 avec le 2 sans réintroduire les couples déjà vus avec le chiffre 1, puis 4, 3, 2, et enfin 1 couple possible avec le chiffre 6 qui est (6,6). Le nombre total de couples est 6+5+4+3+2+1 = 21.

Une autre façon plus rapide de calculer le nombre d'évènements est de repartir du résultat de la question précédente. Sur les 36 couples, seuls les couples avec deux nombres différents peuvent être confondus lorsque les dés sont de la même couleur, par exemple (2, 1) avec (1, 2). Cependant les couples (1, 1), (2, 2), ...(6, 6) ne peuvent pas être confondus avec d'autres. Donc sur les 36 évènements, 30 sont confondables. Chacun de ces 30 cas ne peut être confondu qu'avec un autre couple. (3, 1) n'est confondable qu'avec (1, 3). Sur les 30 évènements, il y en a donc deux fois trop. En résumé, il reste les 6 évènements non confondables et les 15 confondables, on retrouve bien les 21 évènements.

La variable aléatoire ainsi générée est-elle discrète ou continue ?

Les évènements possibles sont tous les nombres réels allant de 0 inclus à 1 non inclus. Il y en a donc une infinité non dénombrable.

Pensez à énumérer tous les cas possibles, en gardant à l'esprit que l'ensemble des possibilités est donné par le produit cartésien des possibilités pour chaque décimale.

Pour chacune des quatre décimales, le générateur peut fournir 10 chiffres allant de 0 à 9, donc il y a donc évènements. Le premier est 0,0000 puis 0,0001 etc. et le dernier est 0,9999.