Exercices

Auteur: Sylvain Fouquet

Variables aléatoires
Ensemble
Probabilités à variables discrètes et équipartition
Probabilités conditionnelles
Fonction de distribution
Propriétés et applications de la loi binomiale
Propriétés et applications de la loi poissonnienne
Propriétés et applications de la Gaussienne

Exercices

Ce chapitre a pour but de revoir et de tester les connaissances sur la théorie des probabilités. Quelques questions de cours rappellent les concepts clés, puis, des questions proches du cours en sont une application directe pour tester la bonne compréhension du concept. Ensuite, des exercices, supposant que le cours est bien appris et compris, utilisent les probabilités pour résoudre des problèmes particuliers.

Variables aléatoires

Cours

Difficulté : ☆

Question 1)

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?

Question 2)

Quels sont les deux types de variables aléatoires ?

Exercice sur les variables aléatoires

Difficulté : ☆

Question 1)

Ayant deux dés distinguables, un bleu et un rouge, combien d'événements sont possibles en les lançant ? Notez bien que l'évènement "Face 1" pour le dé rouge et "Face 2" pour le dé bleu, noté (1,2), n'est pas le même événement que "Face 2" pour le dé rouge et "Face 1" pour le dé bleu, noté (2,1).

Question 2)

Même question avec deux dés rouges que l'on choisit de ne pas distinguer. En d'autres termes, les couples tels que (2, 1) et (1, 2) sont considérés comme un unique évènement.

Question 3)

Supposons un générateur parfait de nombres aléatoires réels dans l'intervalle [0, 1[. Quels sont les évènements possibles et combien y en a-t-il ?

Question 4)

L'ordinateur n'est pas parfait et ne peut garder en mémoire que 4 chiffres après la virgule. Combien d'événements le générateur de la question 3) peut-il alors fournir ?

Ensemble

La théorie des probabilités se sert beaucoup de la théorie des ensembles. Ces exercices ont pour but de vous l'illustrer

Cours sur les ensembles

Question 1)

Définir l'union de deux ensembles A et B ? Quelle est alors la probabilité P(A cup B) , le signe cup signifiant Union ?

Question 2)

Définir l'intersection de deux ensembles A et B. Que dire de P(A cap B) par rapport à P(A) et P(B) pour des variables discrètes à valeurs dans un ensemble fini ? Donner un exemple où P(A cap B)=0 . Notez que le symbole cap signifie l'intersection.

Question 3)

Quelle est la probabilité P(A U B U C) en fonction de P(A), P(B) et P(C) ?

Question 4)

Définir le complémentaire de l'ensemble A. Quelle est alors sa probabilité par rapport à P(A) ?

Probabilités à variables discrètes et équipartition

Lancers de deux dés

Difficulté : ☆

Question 1)

Soit deux dés distincts que l'on lance, quels sont les différents événements et leurs probabilités ?

Question 2)

On s'intéresse maintenant à la somme des deux dés. Quels sont les événements possibles et comment sont-ils liés aux événements de la question précédente ? De là, quelles sont leurs probabilités ?

Question 3)

Commentez la nouvelle loi de probabilité calculée.

Question 4)

Vaut-il mieux tenter de faire un 6 avec un dé ou avec la somme de deux dés ?

Jeu de fléchettes

Difficulté : ☆☆

Question 1)

Soit un jeu de fléchettes avec une cible de rayon 10 cm. Quels événements considère-t-on en général dans ce jeu ? Sur quoi est basée la probabilité de ces derniers ?

Question 2)

On suppose que la moitié des fléchettes n'atteint pas la cible et que la zone centrale donnant le plus de point a un rayon de 1 cm. Quelle est alors la probabilité de faire le maximum de points ?

Probabilités conditionnelles

Faux positifs

Difficulté : ☆☆

Lors du dépistage d'une maladie rare, touchant près d'une personne sur mille, les tests ne sont pas fiables à 100%. Après une campagne de dépistage, il y a alors des faux positifs, c'est-à-dire des personnes dépistées comme malades alors qu'elles sont saines. À l'inverse, il y a aussi des faux négatifs, c'est-à-dire des personnes dépistées comme saines mais en réalité malades. Le problème est alors de savoir quelle est la proportion de faux positifs parmi les détections.

On suppose qu'un patient malade est détecté par le dépistage avec une probabilité de 99%. À l'inverse, un patient sain est détecté comme tel avec une probabilité de 95%.

Question 1)

Quel est la malchance d'être diagnostiqué faux-positif, c'est à dire, quelle est la probabilité qu'une personne positive soit en fait non malade ?

Question 2)

Qu'en déduire sur le résultat d'un test positif ? Comment expliquer cela ?

Fonction de distribution

Cours

Difficulté : ☆

Question 1)

Pour la variable , Démontrer que variance(x) = moyenne(x^2) - mu^2 pour une variable discrète. (La démonstration est similaire pour une variable continue en changeant le signe somme en intégrale). signifie l'espérance de x^2 et mu = moyenne(x) .

Question 2)

Définir la fonction de distribution d'une loi de probabilité.

Question 3)

Quelle est la fonction de distribution de la loi de probabilité : p(x) = (3/2)(1-x^2) pour x dans l'intervall [0, 1], et p(x) = 0 en dehors.

Propriétés et applications de la loi binomiale

Loi binomiale

Difficulté : ☆

Question 1)

Définir la loi de probabilité binomiale ? Quelles sont ces propriétés : espérance et écart-type ?

Question 2)

Pour des événements de 30 lancers d'une pièce de monnaie non biaisée, combien de combinaisons présentent 28 lancers "face" ? Combien présentent 13 lancers "pile" ?

Question 3)

Si la probabilité d'avoir pile vaut p = 0,2 , quelles sont alors les probabilités d'avoir 28 faces ou 13 piles ?

Propriétés et applications de la loi poissonnienne

Loi de Poisson

Difficulté : ☆

Question 1)

Définir la loi de probabilité de Poisson ? Quelles sont ses propriétés : espérance et écart-type ?

Question 2)

Soit un champ de 100 m², il tombe des gouttes de pluie en 10 secondes suivant une loi de Poisson de paramètre lambda = 1240,23 . Combien en moyenne, tombera-t-il de gouttes d'eau dans ce champ en 1 heure ?

Propriétés et applications de la Gaussienne

Loi Normale

Difficulté : ☆

Question 1)

Définir la loi de probabilité normale ? Quelles sont ses propriétés : espérance et écart-type ?

Question 2)

Pour une loi normale de moyenne nulle, quelles sont les probabilités d'avoir, un résultat en dehors de 1 ou 3 sigma ( sigma étant l'écart-type) ?

Question 3)

Supposons qu'un modèle physique prédise une mesure théorique de 20 mètres lors d'une expérience. L'expérimentateur fait l'expérience et trouve 19,5 mètres. Que dire sur le modèle physique selon que l'incertitude est de 0,5 m ou de 0,05 m ?

Réponses aux exercices

pages_stat-exercice/variable.html

Exercice 'Cours'

Question 1
Aide :
La réponse est dans le cours.

Solution :
Une variable aléatoire est une variable dont la réalisation (valeur numérique par exemple) change à chaque mesure de façon aléatoire.
Question 2
Aide :
La réponse se trouve dans le cours.

Solution :
Ce sont les variables aléatoires discrètes (l'ensemble des valeurs possibles de la variable est dénombrable) et les variables aléatoires continues (pour lesquelles l'ensemble des valeurs possibles n'est pas dénombrable).

pages_stat-exercice/variable.html

Exercice 'Exercice sur les variables aléatoires'

Question 1
Aide :
Pensez à bien énumérer toutes les combinaisons possibles, en se souvenant que l'univers pour l'ensemble des deux dés est donné par le produit cartésien des univers pour chacun des dés.

Solution :
Il y a 6 possibilités d'évènements pour le dé rouge : {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pour chacun de ces évènements, il y en a six autres pour le dé bleu. Donc le nombre total d'évènements est . Une façon plus détaillée de le comprendre est de dire qu'un évènement est le couple des résultats du dé rouge et du dé bleu (Rouge, Bleu). Les couples sont donc (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), ... On retrouve qu'il y a 6 possibilités pour le premier membre du couple et 6 pour l'autre, cela donne 36 possibilités.
Question 2
Aide :
Quels événements de la question précédente sont à présent confondus ? Sur quel critère ? Combien d'événements sont concernés ?

Solution :
Dans ce cas, une méthode lente mais sûre est de lister tous les couples possibles en commençant par tous ceux qui ont le nombre 1 pour le premier dé, puis ceux qui reste avec le 2, ensuite le 3 et ainsi de suite : (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 6). Il est facile de remarquer qu'il y a six couples avec le nombre 1 puis 5 avec le 2 sans réintroduire les couples déjà vus avec le chiffre 1, puis 4, 3, 2, et enfin 1 couple possible avec le chiffre 6 qui est (6,6). Le nombre total de couples est 6+5+4+3+2+1 = 21.

Une autre façon plus rapide de calculer le nombre d'évènements est de repartir du résultat de la question précédente. Sur les 36 couples, seuls les couples avec deux nombres différents peuvent être confondus lorsque les dés sont de la même couleur, par exemple (2, 1) avec (1, 2). Cependant les couples (1, 1), (2, 2), ...(6, 6) ne peuvent pas être confondus avec d'autres. Donc sur les 36 évènements, 30 sont confondables. Chacun de ces 30 cas ne peut être confondu qu'avec un autre couple. (3, 1) n'est confondable qu'avec (1, 3). Sur les 30 évènements, il y en a donc deux fois trop. En résumé, il reste les 6 évènements non confondables et les 15 confondables, on retrouve bien les 21 évènements.
Question 3
Aide :
La variable aléatoire ainsi générée est-elle discrète ou continue ?

Solution :
Les évènements possibles sont tous les nombres réels allant de 0 inclus à 1 non inclus. Il y en a donc une infinité non dénombrable.
Question 4
Aide :
Pensez à énumérer tous les cas possibles, en gardant à l'esprit que l'ensemble des possibilités est donné par le produit cartésien des possibilités pour chaque décimale.

Solution :
Pour chacune des quatre décimales, le générateur peut fournir 10 chiffres allant de 0 à 9, donc il y a donc évènements. Le premier est 0,0000 puis 0,0001 etc. et le dernier est 0,9999.

pages_stat-exercice/ensemble.html

Exercice 'Cours sur les ensembles'

Question 1
Aide :
Une représentation graphique des ensembles A et B (dans le cas général où leur intersection est non vide) pourra être utile.

Solution :
L'ensemble C, défini comme l'union de A et B () se définit comme l'ensemble contenant les éléments se trouvant dans A ou dans B. On a alors où le symbole désigne l'intersection.
Question 2
Aide :
Une représentation graphique des ensembles A et B (dans le cas général où leur intersection est non vide) pourra être utile.

Solution :
L'ensemble se définit comme l'ensemble contenant les éléments se trouvant dans A etdans B. L'ensemble étant par conséquent inlcus dans A et B, sa probabilité sera inférieure ou égale à la probabilité de chacun de ces deux ensembles : . Dans un jeu de 52 cartes, si A est l'ensemble des cartes rouges et B l'ensemble des cartes noires alors est l'ensemble vide, d'où .
Question 3
Aide :
Là encore, une représentation graphique des ensembles A, B, C et de leurs intersections sera très utile.

Solution :
Or Donc
Question 4
Aide :
Une représentation graphique de l'univers des possibles, de son sous-ensemble A et de son complémentaire peut être utile.

Solution :
L'ensemble C, complémentaire de A se définit comme l'ensemble contenant tous les éléments qui ne se trouvent pas dans A. Par exemple, si l'ensemble A se définit par les coeurs dans un jeu de cartes, l'ensemble opposé de A, noté , se définit comme tout ce qui n'est pas coeur : pique, trèfle et carreau. Il est parfois plus simple de définir un ensemble par ce qu'il n'est pas plutôt que par ce qu'il est. De là, le principe du tiers exclu donne , l'univers des possibles. Or . Comme cette dernière intersection est vide, on a .

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Exercice 'Lancers de deux dés'

Question 1
Aide :
On pourra se reporter à l'exercice précédent.

Solution :
Cette question est déjà vue à la question sur les variables aléatoires. Il y a 36 possibilités qui se définissent par un couple de deux nombres (a, b) où a et b peuvent prendre toutes les valeurs de 1 à 6. Si les dés ne sont pas faussés, chaque événement aura la même probabilité donc
Question 2
Aide :
Examiner les valeurs que prend la somme pour chaque événement décrit à la question précédente.

Solution :
Les événements possibles de sommes sont les nombres de 2 à 12. La preuve en est la liste exhaustive :
- (1, 1) = 2 ; 1 possibilité : Probabilité = 1/36 = 0.02777
- (1, 2) (2, 1) = 3 ; 2 possibilités : Probabilité = 2/36 = 1/18 = 0.05555
- (1, 3) (2, 2) (3, 1) = 4 ; 3 possibilités : Probabilité = 3/36 = 1/12 = 0.08333
- (1, 4) (2, 3) (3, 2) (4, 1) = 5 ; 4 possibilités : Probabilité = 4/36 = 1/9 = 0.11111
- (1, 5) (2, 4) (3, 3) (4, 2) (5, 1) = 6 ; 5 possibilités : Probabilité = 5/36 = 0.1388
- (1, 6) (2, 5) (3, 4) (4, 3) (5, 2) (6, 1) = 7 ; 6 possibilités : Probabilité = 6/36 = 1/6 = 0.16666
- (2, 6) (3, 5) (4, 6) (5, 3) (6, 2) =8 ; 5 possibilités : Probabilité = 5/36 = 0,13888
- (3, 6) (4, 5) (5, 4) (6, 3) = 9 ; 4 possibilités : Probabilité = 4/36 = 0,1111
- (4, 6) (5, 5) (6, 4) = 10 ; 3 possibilités : Probabilité = 3/36 = 0,083333
- (5, 6) (6, 5) = 11 ; 2 possibilités : Probabilité = 2/36 = 0.05555
- (6, 6) = 12 ; 1 possibilités : Probabilité = 1/36 = 0.027777
Cette liste donne les combinaisons pour toutes les sommes de deux dés. En utilisant la loi , il est alors possible de calculer la probabilité pour chaque valeur possible de la somme (de 2 à 12). Comme les évènements sont par nature disjoints l'un de l'autre, est toujours nulle. De ce fait, pour avoir la probabilité, il suffit de prendre le nombre total de combinaisons donnant la même valeur pour la somme, et de diviser ce nombre par 36.
Question 3
Aide :
Reconnaît-on une loi du cours ? Donner les différentes caractéristiques observées sur cette loi (symétries éventuelles ?)

Solution :
Cette loi, de forme "triangulaire", n'est pas équiprobable : la probabilité d'avoir une somme valant 3 n'est pas la même que d'avoir une somme valant 9. Cette loi présente un maximum pour la valeur 7 qui est la valeur la plus probable. Cette loi est symétrique par rapport à 7 car pour tout entier compris entre 2 et 12, .
Question 4
Solution :
La probabilité de faire un 6 avec un dé vaut , et celle de faire une somme valant 6 avec deux dés est , comme vu à la question précédente. Donc il vaut mieux prendre un seul dé pour espèrer faire un 6.

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Exercice 'Jeu de fléchettes'

Question 1
Aide :
Comment compte-t-on les points sur une cible de fléchettes ?

Solution :
Dans le jeu de fléchettes, les événements sont l'ensemble des positions que peut atteindre la fléchette. Il y a l'extérieur de la cible qui vaut généralement 0 point et des zones à l'intérieur de la cible. Chaque zone de la cible a une surface bien définie. C'est l'étendue de cette surface qui détermine la probabilité de la toucher. Pour un joueur sans aucun talent pour viser, la probabilité de toucher une zone est proportionnelle à sa surface.
Question 2
Solution :
La probabilité de toucher la cible est 1 moins "la probabilité de ne pas toucher la cible", car ces deux ensembles sont complémentaires. Donc la probabilité de toucher la cible vaut 0,5. En outre, la surface du centre vaut cm² et celle de la cible tout entière vaut cm². Or, la probabilité est proportionnelle à la surface, donc la probabilité de toucher la zone centrale, sachant que l'on a touché la cible, est P(toucher la cible) P(toucher la zone centrale | toucher la cible) .

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Exercice 'Faux positifs'

Question 1
Solution :
La probabilité P(non malade | positif) = P(positif | non malade) P(non malade) / P(positif). La probabilité d'être non malade est P(non malade) = 0,999 d'après l'énoncé. La probabilité d'être positif mais en étant non malade est P(positif | non malade) = 5% = 0,05, toujours d'après l'énoncé. Il reste le plus difficile, la probabilité d'être dépisté positif, qui est la somme entre les cas (disjoints) "malades" et "non malades" : P(positif) = P(positif | malade) P(malade) + P(positif | non malade) P(non malade) = 0,990,001 + 0,050,999 = 0,00099 + 0,04995 = 0,05094. En définitif, la probabilité d'être faux-positif est P(non malade | positif) = 0,05 0,999 / 0,05094 0,98. Donc 98% des patients étant déclarés malades sont en réalité sains.
Question 2
Solution :
Ce résultat, qui paraît absurde car le dépistage est censément très fiable, est dû au fait que le nombre de personnes saines est bien plus grand que celui des personnes malades. Donc, même si l'erreur est faible, cela touche un bien plus grand nombre de gens et donc révèle plus de faux malades que de vrais. Sur 1000 personnes, il ne devrait y avoir en moyenne qu'une personne malade car P(malade) = 0,1% de 1000, soit 1. Cependant en moyenne, le test en montre 50 de plus car P(positif|non malade) = 5% de 1000, soit 50.

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Exercice 'Cours'

Question 1
Aide :
Écrire la définition mathématique de la variance, et y reconnaître les espérances pour des variables discrètes.

Solution :
La variance est pour une variable discrète : = = . Or , alors . Ce qui montre que variance = .
Question 2
Aide :
Voir cours.

Solution :
Une loi de probabilité est la dérivée de la fonction de distribution d'une variable aléatoire : . Cette fonction de distribution décrit la répartition de la variable aléatoire selon l'égalité
Question 3
Aide :
Utiliser la définition mathématique de la fonction de distribution par rapport à celle de la loi de probabilité correspondante.

Solution :
Comme la loi de probabilité est nulle en dehors de [0, 1], alors la fonction de distribtution vaut donc 0 pour et 1 pour . La fonction de distribution est l'intégrale de la loi de probabilité. Donc elle vaut où est la constante de normalisation pour que .

pages_stat-exercice/prop-binomiale.html

Exercice 'Loi binomiale'

Question 1
Aide :
Voir cours.

Solution :
Pour une loi binomiale de paramètre , on a et l'écart-type de vaut
Question 2
Aide :
Penser aux fonctions mathématiques de dénombrement vues en cours.

Solution :
Il y a combinaisons pour avoir 28 faces. Il y a pour avoir 13 piles.
Question 3
Aide :
Utiliser la définition de la loi binomiale.

Solution :
En reprenant le résultat de la question précédente et le cours, on trouve (face) = 0,8, (nombre de "face" = 28) = et (nombre de "pile" = 13) =

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Exercice 'Loi de Poisson'

Question 1
Aide :
Voir cours.

Solution :
Pour une loi de Poisson de paramètre , , et
Question 2
Aide :
Utiliser la réponse à la question précédente.

Solution :
En 10 secondes, il tombe en moyenne gouttes. Comme en une heure, il y a 360 fois 10 secondes, donc en 1 heure, il tombe en moyenne 446482,8 gouttes.

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Exercice 'Loi Normale'

Question 1
Aide :
Voir cours.

Solution :
Pour une loi normale d'espérance et d'écart-type , on a
Question 2
Aide :
Utiliser les valeurs tabulées de la fonction de distribution associées à la loi normale se trouvant sur la figure du cours.

Solution :
La probabilité d'avoir un résultat en dehors de est donnée avec la loi de distribution : . En regardant le cours, on calcule que la probabilité est d'environ 0,3173 en dehors de et d'environ 0,0027 en dehors de .
Question 3
Aide :
Réfléchir en termes d'interprétation statistique selon une loi normale, en supposant la mesure non biaisée (c'est-à-dire que la moyenne des valeurs mesurées tend vers la valeur théorique quand le nombre de mesures s'accroît).

Solution :
Lors d'une expérience, la mesure est toujours entachée d'une erreur du fait qu'il est impossible de refaire exactement la même mesure. Une mesure suit généralement une loi normale où l'espérance est la mesure attendue et l'écart-type est l'incertitude. Dans notre cas, l'espérance est de 20 mètres. Si l'écart-type attendu par l'expérimentateur est de 0,5 m alors la valeur mesuré de 19,5 est à 1 de la valeure théorique. Cela est probable (31,73% de chance, voir question ci-dessus) ; la théorie ne semble pas fausse. Par contre si l'écart-type attendu est 0,05 alors la mesure est à 10 . A trois , la probabilité est déjà faible (0,0027) mais à 10 elle est infinitésimale. La théorie semble alors invalidée par l'expérience.