Probabilités à variables discrètes et équipartition

On pourra se reporter à l'exercice précédent.

Cette question est déjà vue à la question sur les variables aléatoires. Il y a 36 possibilités qui se définissent par un couple de deux nombres (a, b) où a et b peuvent prendre toutes les valeurs de 1 à 6. Si les dés ne sont pas faussés, chaque événement aura la même probabilité donc

Examiner les valeurs que prend la somme pour chaque événement décrit à la question précédente.

Les événements possibles de sommes sont les nombres de 2 à 12. La preuve en est la liste exhaustive :

• (1, 1) = 2 ; 1 possibilité : Probabilité = 1/36 = 0.02777
• (1, 2) (2, 1) = 3 ; 2 possibilités : Probabilité = 2/36 = 1/18 = 0.05555
• (1, 3) (2, 2) (3, 1) = 4 ; 3 possibilités : Probabilité = 3/36 = 1/12 = 0.08333
• (1, 4) (2, 3) (3, 2) (4, 1) = 5 ; 4 possibilités : Probabilité = 4/36 = 1/9 = 0.11111
• (1, 5) (2, 4) (3, 3) (4, 2) (5, 1) = 6 ; 5 possibilités : Probabilité = 5/36 = 0.1388
• (1, 6) (2, 5) (3, 4) (4, 3) (5, 2) (6, 1) = 7 ; 6 possibilités : Probabilité = 6/36 = 1/6 = 0.16666
• (2, 6) (3, 5) (4, 6) (5, 3) (6, 2) =8 ; 5 possibilités : Probabilité = 5/36 = 0,13888
• (3, 6) (4, 5) (5, 4) (6, 3) = 9 ; 4 possibilités : Probabilité = 4/36 = 0,1111
• (4, 6) (5, 5) (6, 4) = 10 ; 3 possibilités : Probabilité = 3/36 = 0,083333
• (5, 6) (6, 5) = 11 ; 2 possibilités : Probabilité = 2/36 = 0.05555
• (6, 6) = 12 ; 1 possibilités : Probabilité = 1/36 = 0.027777

Cette liste donne les combinaisons pour toutes les sommes de deux dés. En utilisant la loi , il est alors possible de calculer la probabilité pour chaque valeur possible de la somme (de 2 à 12). Comme les évènements sont par nature disjoints l'un de l'autre, est toujours nulle. De ce fait, pour avoir la probabilité, il suffit de prendre le nombre total de combinaisons donnant la même valeur pour la somme, et de diviser ce nombre par 36.

Reconnaît-on une loi du cours ? Donner les différentes caractéristiques observées sur cette loi (symétries éventuelles ?)

Cette loi, de forme "triangulaire", n'est pas équiprobable : la probabilité d'avoir une somme valant 3 n'est pas la même que d'avoir une somme valant 9. Cette loi présente un maximum pour la valeur 7 qui est la valeur la plus probable. Cette loi est symétrique par rapport à 7 car pour tout entier compris entre 2 et 12, .

La probabilité de faire un 6 avec un dé vaut , et celle de faire une somme valant 6 avec deux dés est , comme vu à la question précédente. Donc il vaut mieux prendre un seul dé pour espèrer faire un 6.

Comment compte-t-on les points sur une cible de fléchettes ?

Dans le jeu de fléchettes, les événements sont l'ensemble des positions que peut atteindre la fléchette. Il y a l'extérieur de la cible qui vaut généralement 0 point et des zones à l'intérieur de la cible. Chaque zone de la cible a une surface bien définie. C'est l'étendue de cette surface qui détermine la probabilité de la toucher. Pour un joueur sans aucun talent pour viser, la probabilité de toucher une zone est proportionnelle à sa surface.

La probabilité de toucher la cible est 1 moins "la probabilité de ne pas toucher la cible", car ces deux ensembles sont complémentaires. Donc la probabilité de toucher la cible vaut 0,5. En outre, la surface du centre vaut cm² et celle de la cible tout entière vaut cm². Or, la probabilité est proportionnelle à la surface, donc la probabilité de toucher la zone centrale, sachant que l'on a touché la cible, est P(toucher la cible) P(toucher la zone centrale | toucher la cible) .