mise à jour : 1 février 2022
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- Structures planétaires

Etude du mouvement

Auteur: Valérie Ciarletti

On part de l'équation obtenue précédemment {\mu}\ddot{\overrightarrow{r}}}=-G M_2 M_1\frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|^3} dans le repère barycentrique (R_C).

Le vecteur position \overrightarrow{r}=\overrightarrow{CP} est défini à partir du centre de gravité C qui l'origine du repère.

\overrightarrow{r} est l'inconnue dont il faut déterminer l'évolution en fonction du temps.

Démonstration de la planeité de la trajectoire - Première loi de Kepler

On démontre en utilisant le théorème du moment cinétique que la trajectoire du point P est plane. C'est la première loi de Kepler.

Le moment cinétique \overrightarrow{L} d'un point en mouvement est défini, pour un repère particulier et par rapport à l'origine du repère, de la façon suivante {\overrightarrow{L}}=\mu \overrightarrow{r}} \wedge\overrightarrow{v}} . Le théorème du moment cinétique (qui se déduit des lois de la mécanique) exprime le fait que la dérivée de ce moment cinétique \overrightarrow{L} est le produit vectoriel du rayon vecteur \overrightarrow{r} et de la force \overrightarrow{F}.

Pour le cas qui nous intéresse, dans le repère barycentrique (R_C) au point C, on a donc

\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}=\overrightarrow{r}} \wedge\overrightarrow{F}}=-G \overrightarrow{r}} \wedge\frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|^3} puisque \overrightarrow{F}=-G \frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|^3}

Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires étant nul, on obtient \frac{d\overrightarrow{L}}{dt}=\overrightarrow{0}. \overrightarrow{L} est donc un vecteur constant.

Or, du fait du produit vectoriel, le vecteur {\overrightarrow{L}}=\mu \overrightarrow{r}} \wedge\overrightarrow{v}} doit être orthogonal à chacun des vecteurs \overrightarrow{r} et \overrightarrow{v}. On montre ainsi que le plan défini en tout instant par les deux vecteurs \overrightarrow{r} et \overrightarrow{v} est invariant (orthogonal à l'axe défini par ce vecteur constant \overrightarrow{L} ). C'est le plan dans lequel le point évolue.

En conclusion, la trajectoire du point P est bien plane.

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