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On cherche à étudier le mouvement de deux corps de masses M_1 et M_2 assimilés à deux points matériels localisés aux points P_1 et P_2 qui sont leur centre de gravité. Le système de ces deux corps étant isolé on fait l'étude dans un référenciel (R) supposé Galiléen d'origine arbitraire.

Les forces en présence

Lorsque deux corps massiques sont en présence l'un de l'autre, l'effet de la gravitation qui agit sur ces corps se traduit par une force d'attraction. Si ces deux corps sont assimilés à des points matériels localisés en leur centre de gravité, cette force est proportionnelle aux deux masses en jeu et inversement proportionnelle à la distance au carré entre les deux points.

Cette force explique aussi bien la chute des corps sur Terre que le mouvement d'une planète autour de son soleil ou d'une lune autour de sa planète.

L'attraction gravitationnelle

On a la force exercée par M_1 sur M_2 , $\overrightarrow{F_1_2}=-G \frac{M_1 M_2}{|\overrightarrow{P_2P_1}|^3}\overrightarrow{P_1P_2}$ et, par symétrie, la force exercée par M_2 sur M_1 , $\overrightarrow{F_2_1}=-G \frac{M_2 M_1}{|\overrightarrow{P_1P_2}|^3}\overrightarrow{P_2P_1}$

La constante de gravitation universelle est $G=6,67 .10^-^1^1 \; \mathrm{N \cdot m^2 \cdot kg^{-2}}$

On remarque que $\vec{F}_2_1=- \vec{F}_1_2$ en accord avec la loi de l'action et de la réaction pour un système isolé.

Dans ce référentiel (), le principe fondamental de la dynamique appliqué aux deux corps donne donc deux équations couplées

$\left\{ \begin{array}{l l l} {{M_1}\ddot{\overrightarrow{OP_1}}=-G {M_1}\frac{M_2}{|\overrightarrow{P_2P_1}|^3}\overrightarrow{P_1P_2}}\\ {{M_2}\ddot{\overrightarrow{OP_2}} = -G {M_2}\frac{M_1 }{|\overrightarrow{P_2P_1}|^3}\overrightarrow{P_2P_1}=-{{M_1}\ddot{\overrightarrow{OP_1}}\end{array}$

L'objectif est de connaître la position des centres de gravité P_1 et de P_2 en fonction du temps.

Le choix du référentiel de travail - Réduction à un problème à un corps

Si on considère l'ensemble des deux corps, le centre de gravité (ou barycentre) est défini de la façon suivante :

${(M_1+M_2)} \overrightarrow{OC}={M_1}{\overrightarrow{OP_1}}+{M_2}{\overrightarrow{OP_2}}$

On dérive deux fois par rapport au temps et on utilise le fait que ${M_1}{\ddot{\overrightarrow{OP_1}}}=-{M_2}{\ddot{\overrightarrow{OP_2}}}$ , on obtient alors

${(M_1+M_2)} \ddot{\overrightarrow{OC}}={M_1}{\ddot{\overrightarrow{OP_1}}}+{M_2}{\ddot{\overrightarrow{OP_2}}}=\overrightarrow{0}}$

Ce qui traduit le fait que le barycentre est en mouvement rectligne et uniforme dans le référentiel (). Le repère barycentrique ( R_C ) dont l'origine est le centre de gravité des deux corps est donc lui aussi Galiléen.

On choisit de travailler dans le repère ( R_C ) ce qui permet de découpler le mouvement du barycentre des mouvements relatifs des deux corps.

Les équations du mouvement dans le repère barycentrique ( R_C )

On note $\vec{r}_1=\overrightarrow{CP_1}$ , $\vec{r}_2=\overrightarrow{CP_2}$

et on introduit $\vec{r}=\overrightarrow{P_2P_1}=\overrightarrow{OP_1}-\overrightarrow{OP_2}=\overrightarrow{r_1}}-\overrightarrow{r_2}}$

soit $\left\{ \begin{array}{l l} {\overrightarrow{r_1}}=\overrightarrow{CP_1}}=\overrightarrow{CO}}+\overrightarrow{OP_1}} \\ {\overrightarrow{r_2}}=\overrightarrow{CP_2}}=\overrightarrow{CO}}+\overrightarrow{OP_2}} \end{array}$

Avec ces notations, les équations du mouvement dans le repère barycentrique deviennent :

$\left\{ \begin{array}{l l l} {M_{1}\ddot{\overrightarrow{{r_{1}}}}=\overrightarrow{F_{21}}}\\ {M_2\ddot{\overrightarrow{{r_2}}} = \overrightarrow{F_{12}}=- \overrightarrow{F_{21}}}\end{array}$

L'expression des forces d'attraction gravitationnelle permet de réécrire ce système sous la forme :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l l} {\ddot{\overrightarrow{r_{1}}}}=\frac{\overrightarrow{F_{21}}}{M_1}\\\\{\ddot{\overrightarrow{r_2}} = -\frac{\overrightarrow{F_{21}}}{M_2}\end{array}$ et d'obtenir par différence $\ddot{\overrightarrow{r}}}=\ddot{\overrightarrow{r_{1}}}}-\ddot{\overrightarrow{r_{2}}}}=\frac{\overrightarrow{F_{21}}}{M_1}+\frac{\overrightarrow{F_{21}}}{M_2}=\overrightarrow{F_{21}}}(\frac{1}{M_1}+\frac{1}{M_2}})$

$\frac{M_1M_2}{M_2+M_1}}\ddot{\overrightarrow{r}}}=\overrightarrow{F_{21}}}$

Cette équation peut être interprétée comme l'équation du mouvement d'un corps ponctuel fictif de masse $\mu=\frac{M_1M_2}{M_2+M_1}$ (appeléee masse réduite du système) soumis à la force $\overrightarrow{F_{21}}}$ , soit $\mu\ddot{\overrightarrow{r}}}=\overrightarrow{F_{21}}}$ . Dans la suite, ce point fictif sera noté .

Le problème à deux corps se réduit donc à un problème à un corps fictif unique. On aboutit à une équation unique pour le mouvement de dans laquelle n'apparait que l'inconnue $\vec{r}$ .Cette équation est valable dans le repère baycentrique ( R_C ).

${\mu}\ddot{\overrightarrow{r}}}=\mu \frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt^2}=-G M_2 M_1 \frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|^3}$

L'expression de la force de gravité permet a priori de modéliser l'interaction entre plusieurs corps (étoiles, planètes, lunes, petits corps ...). Cependant, seul le problème à deux corps peut être mathématiquement résolu sans approximation.

Equation du mouvement lorsque l'étoile est beaucoup plus massive que la planète

On suppose ici que $M_1 \gg M_2$

Dans le repère barycentrique, le point P_1 qui correspond au corps le plus massif est immobile. En effet, la position du centre de gravité est confondue avec celle du corps le plus massif, comme le montre le calcul suivant.

${(M_1+M_2)} \overrightarrow{OC}={M_1}{\overrightarrow{OP_1}}+{M_2}{\overrightarrow{OP_2}}$ devient $\overrightarrow{OC}={\overrightarrow{OP_1}}$

La masse $\mu$ du point est très voisine de celle M_2 du corps le plus léger. En effet, $\mu=\frac{M_1M_2}{M_2+M_1}}=\frac{M_2}{1+\frac{M_2}{M_1}}} \approx{M_2}$

Le corps 2 est donc en orbite autour du corps 1 dont le mouvement est négligeable. Cette situation particulière se présente fréquemment dans le cas d'une planète en interaction avec son étoile qui est souvent nettement plus massive qu'elle.

Etude du mouvement

On part de l'équation obtenue précédemment ${\mu}\ddot{\overrightarrow{r}}}=-G M_2 M_1\frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|^3}$ dans le repère barycentrique ( R_C ).

Le vecteur position $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{CP}$ est défini à partir du centre de gravité qui l'origine du repère.

$\overrightarrow{r}$ est l'inconnue dont il faut déterminer l'évolution en fonction du temps.

Démonstration de la planeité de la trajectoire - Première loi de Kepler

On démontre en utilisant le théorème du moment cinétique que la trajectoire du point est plane. C'est la première loi de Kepler.

Le moment cinétique $\overrightarrow{L}$ d'un point en mouvement est défini, pour un repère particulier et par rapport à l'origine du repère, de la façon suivante ${\overrightarrow{L}}=\mu \overrightarrow{r}} \wedge\overrightarrow{v}}$ . Le théorème du moment cinétique (qui se déduit des lois de la mécanique) exprime le fait que la dérivée de ce moment cinétique $\overrightarrow{L}$ est le produit vectoriel du rayon vecteur $\overrightarrow{r}$ et de la force $\overrightarrow{F}$ .

Pour le cas qui nous intéresse, dans le repère barycentrique ( R_C ) au point , on a donc

$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}=\overrightarrow{r}} \wedge\overrightarrow{F}}=-G \overrightarrow{r}} \wedge\frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|^3}$ puisque $\overrightarrow{F}=-G \frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|^3}$

Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires étant nul, on obtient $\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}=\overrightarrow{0}$ . $\overrightarrow{L}$ est donc un vecteur constant.

Or, du fait du produit vectoriel, le vecteur ${\overrightarrow{L}}=\mu \overrightarrow{r}} \wedge\overrightarrow{v}}$ doit être orthogonal à chacun des vecteurs $\overrightarrow{r}$ et $\overrightarrow{v}$ . On montre ainsi que le plan défini en tout instant par les deux vecteurs $\overrightarrow{r}$ et $\overrightarrow{v}$ est invariant (orthogonal à l'axe défini par ce vecteur constant $\overrightarrow{L}$ ). C'est le plan dans lequel le point évolue.

En conclusion, la trajectoire du point est bien plane.

Etude du mouvement

Démonstration de la loi des aires - Deuxième loi de Kepler

A partir du moment cinétique, il est aussi possible de démontrer la loi des aires.

Nous avons démontré précédemment que la trajectoire du point restait dans un plan fixe qui est perpendiculaire à la direction du moment cinétique constant. Dans ce plan, il est donc possible de décrire le mouvement en coordonnées polaires. l'angle polaire sera noté ν (il s'agit de l'anomalie vraie définie dans La première loi de Kepler )

Dans ce système de coordonnées, on a $\overrightarrow{r}=r\overrightarrow{e{_r}}$ , $\overrightarrow{v}=\dot\overright{r}\overrightarrow{e{_r}}+r\dot\overright{\nu}\overrightarrow{e{_\nu}}$ et $\overrightarrow{a}=(\ddot\overright{r}-r\dot\overright{\nu}^2)\overrightarrow{e{_r}}+(2\dot\overright{r}\dot\overright{\nu}+r\ddot{\nu})\overrightarrow{e{_\nu}}$

Il est possible dès à présent de simplifier l'experssion de l'accélération puisque la force n'a pas de composante que selon l'axe $\overrightarrow{e{_\nu}}$ . On a $\overrightarrow{a}=(\ddot\overright{r}-r\dot\overright{\nu}^2)\overrightarrow{e{_r}}$

Avec ces notation, le moment cynétique constant s'écrit ${\overrightarrow{L}}=\mu \overrightarrow{r}} \wedge\overrightarrow{v}}=\mu r\overrightarrow{e{_r}}\wedge(\(r\overrightarrow{e{_r}}+r\dot\overright{\nu}\overrightarrow{e{_\nu}})=\mu r^2\dot\overright{\nu}\overrightarrow{e{_z}}$ .

On démontre ainsi, puisque ${\overrightarrow{L}}$ est un vecteur constant, que la quantité $V_A=r^2\dot\overright{\nu}$ (appelée vitesse aréolaire) reste constante lors du mouvement du corps autour du point .

Or $\frac{r^2\dot\overright{\nu}}2 dt$ est l'aire balayée pendant la durée dt par le vecteur ${\overrightarrow{CP}}$ .

Géométrie illustrant la loi des aires

On en déduit donc que la surface balayée (en rouge sur la figure) pendant un temps donné est constante le long de la trajectoire et égale à $\frac{r^2\dot\overright{\nu}}2 dt$ . C'est la loi des aires de Kepler.

Remarque 1 : On peut également noter que si $r^2\dot\overright{\nu}$ est une constante, alors le signe de $\dot\overright{\nu}$ est constant, ce qui traduit le fait que la rotation s'effectue toujours dans le même sens.

Remarque 2 : On peut utiliser la relation $V_A=r^2\dot\overright{\nu}$ pour exprimer les dérivées de et de $\nu$ par rapport au temps et réecrire l'accélération du point en introduisant la fonction $u(\nu)=1/r$ . $\dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{d(1/u)}{dt}=-\frac{du}{dt}\frac{1}{u^2}=\frac{du}{d\nu}\frac{d\nu}{dt}\frac{1}{u^2}=-u'\dot{\nu}\frac{1}{u^2}=-u'V_A$ en notant $\frac{du}{d\nu}=u'$ $\ddot{r}=\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{d(1/u)}{dt}=-u''\dot{\nu}V_A=-u''u^2V_A^2$ en notant $\frac{d^2u}{d\nu^2}=u''$ $\dot\overright{\nu}=V_Au^2$

L'accélération $\overrightarrow{a}$ devient alors $\overrightarrow{a}=(\ddot\overright{r}-r\dot\overright{\nu}^2)\overrightarrow{e{_r}}=-V_A^2u^2(u''+u)\overrightarrow{e{_r}}$ . Cette expression sera utilisée par la suite pour trouver l'équation de la trajectoire du point .

Equation de la trajectoire

Les solutions de l'équation du mouvementpermettent de déterminer la façon dont la position du point déterminée par les deux variables r(t) et $\nu(t)$ évolue au cours du temps. Cependant, la résolution de cette équation différentielle, n'est pas possible analytiquement. Nous allons donc nous focaliser sur la relation entre la distance r et l'angle polaire $\nu$ qui modélise la trajectoire du point dans le plan de l'orbite.

Le résultat recherché est obtenu en utilisant la fonction $u(\nu)=1/r$ introduite précédemment. Avec cette nouvelle variable, l'équation ${\mu}\ddot{\overrightarrow{r}}}=-G M_2 M_1\frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|^3}$ devient ${\mu}V_A^2u^2(u''+u)\overrightarrow{e{_r}}=G M_2 M_1u^2\overrightarrow{e{_r}}$

soit après simplifications : $u''+u=G \frac{(M_2+M_1)}{ V_A^2}$

Remarque : Cette équation peut également être obtenue en utilisant la conservation de l'énergie mécanique (cinétique+potentielle) du point

L'équation à résoudre est une équation différentielle du second ordre (présence de u'' ) à coefficients constants avec second membre constant $G \frac{(M_2+M_1)}{ V_A^2}$ .

La solution de cette équation est la somme d'une solution particulière de l'équation complète avec second membre et de la solution générale de l'équation sans second membre. On choisit comme solution particulière la solution constante égale à $G \frac{(M_2+M_1)}{ V_A^2}$ .

La solution générale de l'équation sans second membre u''+u=0 est une fonction sinusoïdale de phase à l'origine et d'amplitude qui dépendent des conditions initiales du problème.

Au final, on obtient donc une solution de la forme $u(t)=a cos(\nu(t)-{\nu}_0)+G \frac{(M_2+M_1)}{ V_A^2}$ .

Il est maintenant possible de repasser à la fonction r(t) et on obtient l'équation en polaire d'une conique :

$r(t)=\frac{1}{u_0 cos(\nu(t)-{\nu}_0)+G \frac{(M_2+M_1)}{ V_A^2}}=\frac{ {V_A}^2}{G(M_2+M_1)}\frac{1}{\frac{u_0 V_A^2}{G(M_2+M_1)} cos(\nu(t)-{\nu}_0)+1}$

Par identification aux paramètres de l'équation classique de l'ellipse $r=a \left( \frac{1-e^2}{1+e \cos(\nu)} \right)$ , on a

$e= \frac{u_0 V_A^2}{G(M_1+M_2)}$ et $a= \frac{\frac{{V_A}^2}{G(M_1+M_2)}}{1-{{(\frac{u_0 V_A^2}{G(M_1+M_2)}})}^2}$

Exercice sur la trajectoire circulaire

Exercice

Difficulté : ☆☆

Vous vous intéressez à la trajectoire du corps fictif (F) de masse $\mu=\frac{M_1M_2}{M_2+M_1}$ qui est en orbite autour du centre de gravité (C) du système isolé planète-étoile, ceci dans le cas particulier d'une orbite circulaire.

Question 1)

Utilisez la relation $\mu \frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt^2}=-G M_2 M_1\frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|^3}$ pour montrer que, dans le cas d'une trajectoire circulaire, la vitesse est constante en module sur toute la trajectoire circulaire suivie par le point fictif (F) autour du centre de masse des deux corps. Exprimez cette vitesse en fonction du rayon du cercle suivi par (F) .

Question 2)

Exprimer la période de l'orbite (temps mis par le corps pour parcourir une fois le cercle).Vérifier, toujours dans le cas d'une trajectoire circulaire, la deuxième loi de Kepler.

Question 3)

Dans le cas particulier où ce point est confondu avec le centre de gravité de la planète ( $M_1 \gg M_2$ ), simplifier les expressions obtenues précédemment.

Forme des trajectoires

Evolution de la distance planète-étoile et de la vitesse instantanée le long de l'orbite

Mise en évidence de l'effet de l'excentricté e sur la vitesse instantanée de déplacement de la planète sur son orbite. Le cas particulier de l'orbite circulaire est représenté en rouge.

Les animations ci-dessous montrent l'effet de cette force d'attraction en fonction du rapport des deux masses en jeu. La croix rouge imobile correspond au centre de gravité (barycentre) de l'ensemble.

mouvement de deux corps de même masse

mouvement de deux corps de masse très différente

description des orbites

Pour faire les calculs du mouvement d'une planète et de son étoile nous nous avons choisi un repère approprié pour simplifier les calculs (centre du repère au centre de masse, deux axes dans le plan de l'ellipse, ...), il faut maintenant tenir compte du fait que cette ellipse possède une certaine orientation dans l'espace et compléter la liste de paramètres que nous avons pour l'instant. Une orbite elliptique est décrite au moyen de deux plans (le plan de l'orbite et le plan de référence) et de six paramètres

Description de l'ellipse et du mouvement du corps dans le plan orbital

Plan orbital et mouvement de la planète sur son orbite

Le demi-grand axe a donne la taille de l'ellipse. C'est la moitié de la distance entre les deux points les plus éloignés de l'orbite que sont le périastre et l'apoastre
l'excentricité e donne la forme de cette ellipse.
L'anomalie $\nu$ est l'angle polaire qui donne la position de la planète sur son orbite. La valeur $\nu=0$ correspond à la direction du point de l'ellipse le plus proche de l'étoile (Le Périastre).
L'orientation de l'orbite dans le plan orbital est donnée par l'argument du périastre $\omega$ . Cet angle est défini par rapport à la ligne des noeuds qui est l'intersection du plan orbital avec le plan de référence défini plus loin

Description du plan orbital

L'orientation du plan orbital est donnée par rapport à un plan de référence.

Ce plan de référence contient le centre de gravité de l'étoile
Il contient l'axe vernal qui fait office de direction de référence 'absolue' (même si cette direction n'est pas rigoureusement fixe puisque qu'elle tourne de 360° en presque 30 000 ans). Le plan de l'équateur terrestre coupe le plan de l'écliptique selon une ligne qui passe par le centre de la Terre. On appelle cette ligne la ligne des équinoxes. La direction de cette ligne au moment de l'équinoxe de printemps (21 mars) désigne la direction du point vernal $\gamma$ rejeté à l'infini.
L'intersection du plan orbital et du plan de référence forme une ligne que l'on nomme la ligne des noeuds. Le noeud ascendant est le point de l'orbite d'un objet où il traverse le plan de référence depuis l'hémisphère céleste Sud vers l'hémisphère Nord. Le noeud descendant est le point de l'orbite où l'objet traverse le plan de référence de l'hémisphère céleste Nord vers le Sud.

Plan orbital et Plan de référence

Orientation du plan orbital par rapport au plan de référence

L'inclinaison i de l'orbite. C'est l'angle entre le plan de l'orbite et le plan de référence.
La longitude du noeud ascendant $\Omega$ . Le plan de l'orbite coupe le plan de référence en une droite qui est appelée ligne des nœuds. L'orbite coupe donc le plan de référence en deux points qui sont appelés nœuds. Le nœud ascendant est celui par lequel le corps passe en trajectoire ascendante ; l'autre est le nœud descendant. $\Omega$ est l'angle, dans le plan de référence, entre la direction du point vernal et celle du neud ascendant
L'argument du périastre $\omega$ donne l'orientation de l'axe de l'ellipse dans le plan orbital. C'est l'angle, dans le plan orbital, entre la direction du noeud ascendant et du périastre de l'ellipse.

Méthodes de détection des exoplanètes fondées sur le mouvement

Méthode des transits

le transit désigne le passage d'une planète entre son étoile et nous. L'observation consiste à mesurer la variation du flux stellaire lors de ce passage de façon à obtenir des informations sur la planète étudiée et son orbite. La première planète ainsi découverte est HD209458b en 2000 (Charbonneau et al. 2000). Le principe est illustré sur la figure ci-dessous. Cette méthode permet de détecter la présence d'une exoplanète en orbite autout de son étoile et d'avoir accès à certains paramètres de l'ellipse. Pour en savoir plus, voir cours sur la méthode de détection des exoplanètes par la méthode des transits.

Illustration du principe de la méthode des transits (crédit CNES)

Dans notre système solaire, on peut observer depuis la Terre le transit des planètes Mercure et Vénus qui sont sur des orbites plus proches du soleil que celle de la Terre. Johannes Kepler a été le premier à prédire et pouvoir observer le transit de Mercure en novembre 1631, ainsi que celui de Vénus un mois plus tard.

Méthode des vitesses radiales

Principe : On mesure par effet Doppler la vitesse d'éloignement ou de rapprochement de l'étoile, on peut détecter ainsi qu'il y a une planète en orbite et estimer la période de révolution. Pour en savoir plus,voir cours sur la méthode de détection des exoplanètes par la méthode des vitesses radiales.

Illustration du principe de la méthode des vitesses radiales (crédit CNES)

Problème à N corps

Le cas d'un problème à deux corps, qui a été traité précédemment et qui permet de démontrer les lois de Kepler, est une approximation valable lorsque l'on peut négliger les forces de gravitation dues aux autres corps.

Le problème à N (N>2) corps se pose lorsque N corps massifs interagissent sans que l'on puisse a priori négliger certaines de ces interactions. Dans ce cas, on a un système de N équations à N inconnues qui sont les positions $\vec{r_i}$ des centres de gravité des N corps de masse $M_{j}$ .

$\forall j : 1- N, {M_{j}\ddot{\overrightarrow{{r_{j}}}}=\sum_{i=1}^{N}{\vec{F_j_i}}$

$\forall j : 1- N, {\ddot{\overrightarrow{{r_{j}}}}=-G \sum_{i=1}^{N}{\left(\frac{ M_i}{{r_{ji}}^3}\right)\vec{r}_j_i}$ avec $\vec{r}_j_i=\vec{r}_i-\vec{r}_j$

Trouver analytiquement les solutions de ce système d'équations est impossible dans le cas général. Il faut recourir à des méthodes de résolutions approchées (perturbatives ou numériques).

Les points de Lagrange

Dans le cas particulier du problème à trois corps, on s'intéresse ici au mouvement d'un corps 'test' de masse négligeable qui subit l'attraction de deux corps plus massifs $\ P_1$ et $\ P_2$ . Le fait que la masse du corps soit négligeable permet de considérer que les mouvements de $\ P_1$ et $\ P_2$ ne sont pas perturbés par la présence de .

Pour simplifier la présentation du problème, nous allons nous restreindre au cas où $\ P_1$ est l'étoile et $\ P_2$ une planète, beaucoup moins massive, est en orbite circulaire autour de son étoile.

Le mathématicien Joseph-Louis Lagrange (1772) étudie ce problème. Il montre qu'il existe 5 points, dits de Lagrange (notés $\L_1$ à $\L_5$ ), pour lesquels les forces d'attraction de $\ P_1$ et $\ P_2$ se combinent de façon à ce que le corps "test" de masse négligeable ait la même période de révolution que les deux autres corps et les suive donc dans leur mouvement autour du centre de gravité de $\ P_1$ et $\ P_2$ .

En contradiction apparente avec les résultats obtenus dans le cadre du problème à deux corps, on peut trouver des corps de masse négligeable qui ont donc une période de révolution égale à celle de la planète mais qui ne sont pas sur la même orbite.

On montre que les points $\L_1$ , $\L_2$ et $\L_3$ (parfois appelés Points d'Euler) correspondent à des positions instables alors que les points $\L_4$ et $\L_5$ correspondent à des positions stables. Les positions de ces deux derniers points ne dépendent pas des masses des points $\ P_1$ et $\ P_2$ . Dans le cas, du système Soleil/Jupiter, ce sont au voisinage de ces points que se trouvent les nombreux astéroïdes troyens qui suivent (ou précèdent) la révolution de la Terre autour du Soleil. D'autres planètes du système solaire sont suivies ou précédées également par des petits corps troyens (la liste des troyens détectés à ce jour dans notre système solaire est disponible sur le site du Minor Planet Center )

Visualisation des points de Lagrange

Positions des points de Lagrange pour le système étoile-planète (représentées en rouge). Les points de Lagrange stables sont représentés en vert, les points instables en bleu.

Appliquette Système Solaire

Etude par simulation numérique des points de Lagrange

Vous allez utiliser l'appliquette pour visualiser les points de Lagrange (astéroïdes Troyens) stables et instables d'un système étoile-planète.

Attention : Cette appliquette utilise un système d'unités arbitraire pour les distances, vitesses, masses et temps de façon à ce que les valeurs numériques restent inférieures à un millier.

Question 1)

Choisissez pour commencer le système 'astéroïdes Troyens' proposé par l'appliquette

Laissez évoluer ce système, sans modifier les conditions initiales, jusqu'à 100 unités de temps pour vérifier que les deux petits corps positionnés aux points de Lagrange $\L_4$ et $\L_5$ ont bien la même période de révolution autour de l'étoile que la planète.

Vérifiez qu'initialement les trois corps ont des vitesses très voisines.

Modifiez la masse de l'un des astéroides (de 0.001 à 1 par exemple) et observer le changement qui apparait après un temps suffisamment long d'environ 50 unités. Expliquez ce qui se passe et proposez une explication.

Question 2)

Vous allez maintenant utiliser l'appliquette afin d'étudier les mouvements d'un corps de masse négligeable au voisinage des points de Lagrange instables L_1 et L_2 (situés de part et d'autre de la planète sur l'axe entre la planète et l'étoile).

Créez pour commencer un système à deux corps avec les valeurs numériques suivantes pour l'étoile et la planète : M_1=500 , M_2=10 , P_1P_2=120 , V_1=0 . Trouver (en tâtonnant) une valeur de la vitesse initiale qui permet d'avoir une orbite quasi-circulaire pour la planète. Vérifiez que l'orbite de P_2 autour de est voisine d'une orbite circulaire.

Question 3)

Etude des points de Lagrange L_1 et L_2

Vous allez maintenant ajouter à ce système un troisième corps de masse très faible aux positions qui correspondent aux points de Lagrange L_1 et L_2 .

On peut montrer par méthode perturbative que les positions de L_1 et L_2 par rapport au centre de masse du système étoile-planète sont données par les développements limités suivants:

$CL_1=CP_2 +P_1P_2(-\epsilon+\frac{1}{3}\epsilon^2+\frac{1}{9}\epsilon^3+...)$ et $CL_2=CP_2 +P_1P_2(\epsilon+\frac{1}{3}\epsilon^2-\frac{1}{9}\epsilon^3+...)$

avec $\epsilon=({\frac{1}{3}\frac{M_2}{M_2+M_1}})^\frac{1}{3}$

Calculer la valeur de CL_1 et CL_2 pour la configuration que vous allez simuler.

Question 4)

Ajoutez dans le système à deux corps, un point de masse négligeable sur l'axe étoile-planète à la position L_2 que vous avez précédemment calculée. Donnez à ce petit corps une vitesse initiale quelconque et observez ce que donne la simulation. Etudiez, en prenant quelques valeurs de vitesse différentes, l'impact sur la trajectoire du petit corps. Trouvez une valeur de vitesse initiale qui permet à ce petit corps d'avoir une vitesse angulaire proche de celle de la planète en révolution autour du soleil (au moins pendant une courte durée)