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Comme toute équation de la physique, les équations régissant la dynamique atmosphérique doivent s'exprimer dans un système de coordonnées et un référentiel choisis arbitrairement. Un tel système naturellement adapté à une sphère, et donc à une planète, sont les coordonnées sphériques $(r,\varphi,\theta)$ , où est la distance au centre de la sphère, $\varphi$ est la l'angle de la longitude, et $\theta$ est l'angle de la latitude.

On définit également un repère local pour tout point de l'espace de coordonnées (x,y,z) , avec comme base le triplet $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ où $\vec{i}$ est dirigé vers l'Est, $\vec{j}$ dirigé vers le Nord, et $\vec{k}$ selon la verticale locale vers le haut. Le référentiel d'étude est ce référentiel local, lié à la rotation de la planète, il s'agit donc d'un référentiel tournant, donc non galiléen.

Pour résumer, on travaille dans deux référentiels différents, ce qui donne trois systèmes de coordonnées différents :

Le référentiel de la planète, qui tourne avec elle, dans un système de coordonnées cartésiennes (axes ).
Le référentiel de la planète, qui tourne avec elle, dans un système de coordonnées sphériques (coordonnées $r,\varphi,\theta$ ).
Un référentiel local, de base $(\vec i,\vec j, \vec k)$ , qui est un système de coordonnées cartésiennes.

Système de coordonnées sphériques

Crédit : Arianna Piccialli

L'exercice suivant permet de se familiariser avec la manipulation mathématique des coordonnées et des repères. Les resultats serviront à établir l'équation fondamentale de la dynamique.

Exercice

Question 1)

Montrer que dans le référentiel de la planète, un point de coordonnées sphériques $\left( \begin{array}{c} r\\ \varphi \\ \theta \end{array} \right)$ a pour coordonnées cartésiennes $\left( \begin{array}{c} r\cos\theta\cos\varphi \\ r\cos\theta\sin\varphi \\ r\sin\theta \end{array} \right)$

Question 2)

Exprimer $\vec i$ , $\vec j$ et $\vec k$ dans le repère de la planète en fonction des angles $\varphi$ et $\theta$

Question 3)

Montrer qu'une vitesse dans le référentiel local $\left( \begin{array}{c} u\\ v \\ w \end{array} \right)$ au point de coordonnées sphériques $\left( \begin{array}{c} r\\ \varphi \\ \theta \end{array} \right)$ s'exprime par $\vec U = r\cos\theta\frac{d\varphi}{dt}\vec i+r\frac{d\theta}{dt}\vec j + \frac{dr}{dt}\vec k$ .

Question 4)

Exprimer $\frac{d\vec i}{dt}$ , $\frac{d\vec j}{dt}$ et $\frac{d\vec k}{dt}$ en fonction de (u,v,w) , $(r,\varphi,\theta)$ et $(\vec i,\vec j, \vec k)$ .

Forces apparentes

Pour résoudre les équations régissant une atmosphère, on se place dans le référentiel local, lui-même dans un référentiel tournant avec la planète. Ce référentiel n'est pas inertiel, c'est-à-dire qu'il est en accélération par rapport à un référentiel inertiel. Afin de poser le principe fondamental de la dynamique, il est essentiel de tenir de compte de l'accélération apparente du référentiel d'étude, sous la forme de pseudo-forces.

Précision

Traditionnellement et pour des raisons pratiques on parle de force, ou pseudo-force, en multipliant l'accélération apparente par la masse de l'objet. On parlera ici plutôt de l'accélération d'une force apparente afin de s'affranchir du terme de masse, qui disparaitra dans les équations finales.

Les deux forces apparentes à considérer dans le cas d'une atmosphère sont la force centrifuge et la force de Coriolis.

Produit vectoriel

L'expression mathématique des forces apparentes requiert l'emploi du produit vectoriel, défini ainsi:

Le produit vectoriel $\mathbf{C}$ des vecteurs $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ s'écrit $\mathbf{C}=\mathbf{A}\times\mathbf{B}$ et correspond au vecteur orthogonal à la fois à $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ tel que le triplet $(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C})$ soit de sens direct. et que le module du produit soit $\| \mathbf{C}\| = \| \mathbf{A}\| \| \mathbf{B}\| \sin \alpha$ où $\alpha$ est l'angle direct de $\mathbf{A}$ vers $\mathbf{B}$ . Ainsi, si $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ sont colinéaires, leur produit vectoriel sera le vecteur nul.

$\mathbf{A}$ , $\mathbf{B}$ et $\mathbf{C}$ forment une base directe puisque $\sin \alpha$ est positif. Si $\sin \alpha$ était négatif, la base serait dans le sens indirect.

Crédit : Thomas Navarro

Le produit vectoriel s'écrit avec des coordonnées dans un système cartésien uniquement :

$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_az_b-z_ay_b \\ z_ax_b-x_az_b \\ x_ay_b-y_ax_b \end{array} \right)$

Cette relation n'est pas valable en coordonnées sphériques. Il faut faire la transformartion en coordonnées cartésiennes pour pouvoir utiliser cette relation.

Force centrifuge

La force centrifuge est la force apparente due au fait que le référentiel d'étude est en rotation, donc en accélération. En effet, l'orientation de la vitesse d'un point lié à la planète varie, mais pas son module. Ainsi, une particule au repos dans un référentiel galiléen aura une force apparente dans le référentiel de la planète.

On définit le vecteur rotation $\mathbf{\Omega}$ comme étant le vecteur orienté selon l'axe de rotation de la planète et de module $\|\mathbf{\Omega}\| = \Omega = \frac{2\pi}{T}$ avec la période de rotation de la planète. L'accélération de la force centrifuge s'exprime $\mathbf{a_{ce}}}=-\mathbf{\Omega}\times(\mathbf{\Omega}\times\mathbf{l})$ avec $\mathbf{l}$ le vecteur position depuis l'axe de rotation où la force s'applique. Dans un système de coordonnées sphériques, on a $\|\mathbf{l}\|=\|\mathbf{r}\|\cos{\theta}$ , avec $\mathbf{r}$ le vecteur position depuis le centre de la planète.

Une autre manière de l'exprimer est de dire qu'il s'agit d'une accélération perpendiculaire à l'axe de rotation, orientée vers l'extérieur et de valeur $r\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\cos\theta = r\Omega^2\cos\theta$

La force centrifuge est regroupée avec la force de gravité, dont l'accélération vaut $\mathbf{g_m} = -g_m\vec k$ , l'indice faisant référence à la masse de la planète. On obtient une force dont l'accélération totale est $\mathbf{g} = -\mathbf{\Omega}\times(\mathbf{\Omega}\times\mathbf{l})+\mathbf{g_m}$ . Cette force dérive d'un potentiel, qu'on appelle le géopotentiel, somme de l'action de la gravité et de la force centrifuge.

Exercices de démonstration et d'acquisition du cours

Question 1)

Démontrer par l'analyse ou par un schéma en 3D que $\mathbf{\Omega}\times(\mathbf{\Omega}\times\mathbf{l})$ correspond bien à une accélération perpendiculaire à l'axe de rotation, orientée vers l'extérieur et de valeur $r\Omega^2 \cos\theta$ . Comment s'exprime cette accélération dans le référentiel local ?

Question 2)

Par la suite on fait l'approximation que pour l'accélération due au géopotentiel, on peut se contenter de considérer sa composante uniquement suivant l'axe $\vec k$ pour l'additionner à la pesanteur, ceci afin de simplifier les équations du problème. Afin de s'assurer que cette approximation reste acceptable, quelle est l'erreur maximale faite dans le cas de la Terre si on ne considère pas les autres composantes de l'accélération due au géopotentiel ? Quelle est cette erreur relativement à l'accélération de pesanteur ? Et pour Jupiter ?

Force de Coriolis

Dans un référentiel en rotation, une autre force apparente est à prendre en compte lors d'un déplacement. Il s'agit de la force de Coriolis, qui tient compte du fait que le déplacement d'une particule génère une accélération apparente supplémentaire. Par exemple, le mouvement rectiligne d'une particule est apparement dévié pour un observateur situé dans un référentiel tournant.

L'accélération de la force de Coriolis s'exprime $\mathbf{a_{co}}}=-2\mathbf{\Omega}\times\mathbf{U}$ avec $\mathbf{U}$ le vecteur vitesse de la parcelle d'air considérée.

La vitesse $\mathbf{U}$ d'une parcelle d'air dans l'atmosphère est généralement orientée parallèlement à la surface locale, c'est-à-dire que sa composante radiale (c'est-à-dire sa composante verticale locale) est en générale petit par rapport à au moins une des deux autres. En négligeant la composante radiale, on constate les choses suivantes :

A l'équateur l'accélération de Coriolis est orientée selon l'axe radial, c'est-à-dire vers le haut ou vers le bas.
Dans l'hémisphère Nord, sa projection sur le plan de la surface locale est orientée à droite du vecteur vitesse $\mathbf{U}$
Dans l'hémisphère Sud, sa projection sur le plan de la surface locale est orientée à gauche du vecteur vitesse $\mathbf{U}$

Ceci explique pourquoi certaines structures atmosphériques, tels les ouragans ou les anticyclones, tournent toujours dans le sens des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord, et dans le sens contraire dans l'autre hémisphère.

Exercice de démonstration et d'acquisition du cours

Question 1)

Démontrer par l'analyse ou par un schéma en 3D les 3 points ci-dessus.

Formalisme eulérien ou lagrangien

Les écoulements atmosphériques peuvent être décrits en utilisant deux points de vue classiques, appelés eulérien ou lagrangien :

Description eulérienne

L'écoulement est suivi par un observateur depuis une position fixe. C'est le cas, par exemple, d'un atterrisseur sur Mars fixé au sol qui mesure la vitesse du vent, la température, ou la pression. Cette description est souvent préférée car elle est la plus pratique.

Description lagrangienne

Dans ce cas, les particules fluides sont suivies le long de leurs trajectoires. C'est la description la plus intuitive.

Dérivée particulaire

Les descriptions lagrangienne et eulérienne sont liées à travers la dérivée particulaire, encore appelée dérivée totale, et qui s'écrit D/Dt . Soit $\textbf{A}[\textbf{r}(t)]$ une grandeur physique vectorielle de l'écoulement, dépendant du point d'observation $\textbf{r}=(x, y, z)$ et du temps . La variation de la grandeur $\textbf{A}$ s'écrit :

$\underbrace{\frac{D\textbf{A}}{Dt}}_\text{\textrm{Variation lagrangienne}}=\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{t}}}+\left(\frac{dx}{dt}\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{x}}}+\frac{dy}{dt}\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{y}}}+\frac{dz}{dt}\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{z}}}\right)=\underbrace{\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{t}}}}_\text{\textrm{Variation eul\'{e}rienne}}+\underbrace{(\mathbf{U}\cdot{\nabla})\textbf{A}}}_\text{\textrm{Terme d'advection}}$

Où $\mathbf{U}=u\vec{i}+v\vec{j}+w\vec{k}$ est la vitesse du fluide avec composants: u={dx}/{dt} , v={dy}/{dt} , w={dz}/{dt} .

Dans la cas où la grandeur est un champ scalaire $f[\textbf{r}(t)]$ , la relation est la même.

La dérivée particulaire décrit la variation avec le temps en suivant la particule en mouvement (point de vue lagrangien), en revanche $\partial{\textbf{A}}}/\partial{\mathrm{t}$ décrit la variation locale avec le temps en un point d'observation fixé (point de vue eulérien) .

Équations de la dynamique

L'équation fondamentale de la dynamique

Le mouvement d'une particule dans un fluide est décrit par la deuxième loi de Newton (conservation de la quantité de mouvement) qui lorsqu'elle est appliquée à la mécanique des fluides donne l'équation de Navier-Stokes. Dans un système en rotation l'équation du mouvement d'une parcelle de fluide est:

$\rho\frac{D\mathbf{U}}{Dt}=\Sigma\mathbf{F}$ avec $\mathrm{D}/\mathrm{Dt}$ est la dérivée particulaire qui s'écrit $\mathrm{D}/\mathrm{Dt}={\partial{}}/\partial{\mathrm{t}}+\mathbf{U}\cdot{\nabla}$ , $\mathbf{U}$ la vitesse du fluide, $\Sigma\mathbf{F}$ la somme des forces s'appliquant sur la parcelle et $\rho$ la densité du fluide.

Soit en détaillant les forces :

$\frac{D\mathbf{U}}{Dt}=\mathbf{a_{co}}+\frac{\mathbf{F_{p}}}{\rho}+\mathbf{g}+\mathbf{F_r}$

avec $\mathbf{a_{co}}$ l'accélération de la force de Coriolis, $\mathbf{F_p}$ les forces dues au gradient de pression, $\mathbf{g}$ l'accélération du géopotentiel, et $\mathbf{F_r}$ qui désigne l'accélération dues à la viscosité. Ce qui donne :

$\frac{D\mathbf{U}}{Dt}=-2\mathbf{\Omega}\times\mathbf{U}-\frac{1}{\rho}\nabla{p}+\mathbf{g}+\mathbf{F_r}$ (1)

où $\mathbf{\Omega}$ est le vecteur de rotation de la planète $\nabla{p}$ est le gradient de pression.

Exercice

Question 1)

Comment s'exprime l'accélération de la force de Coriolis $-2\mathbf{\Omega}\times\mathbf{U}$ dans le repère local ?

Les équations en coordonnées sphériques

On a $\frac{D\mathbf{U}}{Dt} = \frac{D(u\vec i)}{Dt} + \frac{D(v\vec j)}{Dt} + \frac{D(w\vec k)}{Dt}$ . Or il a été vu en exercice les expressions des dérivées temporelles des vecteurs $\vec i$ , $\vec j$ et $\vec k$ . Ceci nous permet d'établir les équations de Navier-Stokes dans le référentiel local, en notant que $\mathbf{g}=-g\vec k$ et $\mathbf{F_r}=F_{rx}\vec i + F_{ry}\vec j +F_{rz}\vec k$ :

Ce système d'équations décrit tous les types de mouvements atmosphériques à toutes les échelles. Ces équations sont compliquées à résoudre, mais dans bien des cas utiliser une approximation est suffisante pour modéliser de nombreux phénomènes atmosphériques dynamiques.

Exercice

Question 1)

Déduire les équations de Navier-Stokes en coordonnées sphériques données ci-dessus à partir de l'équation fondamentale de la dynamique (Equation 1).

Les équations primitives

Approximations

Les équations de la dynamique sont très compliquées car elles forment un système non linéaire. Ceci signifie que la somme de deux solutions n'est pas forcément solution du problème, ce qui rend la résolution de ces équations très ardue, et à ce jour encore source de recherches. Cependant, en fonction des phénomènes étudiés et des caractéristiques de l'atmosphère planétaire, certains termes de ces équations peuvent en dominer d'autres. Pour estimer les différents termes dans les équations, on utilise la méthode de l'analyse d'échelle. Les ordres de grandeur des différents termes en jeu dans les équations fondamentales de la dynamique seront très différents selon l'échelle des écoulements que l'on souhaite étudier. Dans le tableau ci-dessous on compare les termes dominants sur les planètes à rotation rapide (la Terre) avec ceux sur les planètes à rotation lente (Vénus):

Termes dominants dans les équations de la dynamique
				$2\Omega\sin\theta{U}$	$2\Omega\sin\theta{W}$	$\mathbf{F_r}$
Terre	10^-5	10^-5	10^-8	10^-3	10^-6	10^-12
Vénus	10^-3	10^-5	10^-5	10^-5	10^-7	10^-12

avec le rayon de la planète. On a r=a+z , où est l'altitude depuis la surface.

On peut alors appliquer les approximations suivantes:

L'épaisseur verticale de l'atmosphère est petite par rapport au le rayon de la planète. Par conséquence, on remplace la distance au centre de la planète par le rayon de la planète avec une erreur négligeable. Dans ce cas, les dérivées $\partial}/{\partial{r}$ deviennent $\partial}/{\partial{z}$ où est l'altitude.
Les trois composantes du terme de friction moléculaire $\mathbf{F_r}$ ont un ordre de grandeur de 10^-12m s^-2et peuvent être négligées pour tous les écoulements, sauf pour les mouvements turbulents à petite échelle près du sol.
Les vitesses verticales sont beaucoup plus petites que les vitesses horizontales, donc on néglige tous les termes contenant .
Dans le cas de mouvements à grande échelle, on suppose l'équilibre hydrostatique :

$\frac{\partial{p}}{\partial{z}}=-g\rho$

On obtient alors les équations primitives de la météorologie :

Mouvement horizontal:

$\frac{Du}{Dt}-2\Omega{v}\sin\theta-\frac{uv\tan\theta}{a}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{x}}$

$\label{Navier_stokes_2}\frac{Dv}{Dt}+2\Omega{u}\sin\theta+\frac{u^2\tan\theta}{a}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$

Equilibre hydrostatique vertical:

$\frac{\partial{p}}{\partial{z}}=-g\rho$

À ce système d'équations on ajoute l'équation des gaz parfaits:

Equation d'état:

$\frac{p}{\rho} = \frac{RT}{M}$

Avec $R=8.31~ \mathrm{J}\cdot \mathrm{mol}^{-1}\cdot \mathrm{K}^{-1}$ la constante universelle des gaz parfaits et la masse molaire du gaz qui constitue l'atmosphère, et dépend donc de sa composition. Pour l'air terrestre, on a $M = 29\times10^{-3}~ \mathrm{kg}\cdot \mathrm{mol}^{-1}$

ainsi que l'équation de conservation de la masse:

Equation de continuité:

$\frac{\partial{p}}{\partial{t}}+\mathrm{div}(\rho\mathbf{U})=0$

Enfin, le premier principe de la thermodynamique:

Premier principe de la thermodynamique:

$\frac{c_p}{\theta}\frac{d\theta}{dt}=\frac{Q}{T}$

Avec le forçage diabatique et $\theta$ la température potentielle : $\theta=T\left[\frac{p_0}{p}\right]^{\kappa}$ , où $\kappa=\frac{R}{M\cdot c_p}$ , c_p la chaleur spécifique à pression constante et p_0 une pression de référence.

On obtient ainsi 6 équations avec 6 inconnues ( $u,v,w,p,\rho,T$ ).

Ce système d'équations primitives est le plus complet utilisé pour l'étude de la circulation générale de l'atmosphère. C'est notamment celui utilisé par les modèles de circulation générale.

Les équilibres dynamiques

Équilibre géostrophique

Les équilibres géostrophique et cyclostrophique sont deux approximations des équations primitives. Ils sont purement diagnostiques : ils ne contiennent pas de dérivées dans le temps, d'où l'impossibilité de faire des prédictions. Néanmoins, ils sont des outils puissants pour décrire différents écoulements observés dans les planètes.

L'équilibre géostrophique

L'approximation géostrophique est un développement des équations primitives utilisée aux moyennes latitudes sur les planètes à rotation rapide (Terre, Mars). On suppose l'équilibre entre la force de Coriolis et la force due au gradient horizontal de pression. La force centrifuge est négligée.

$2\Omega\sin\theta{v}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{x}}$

$2\Omega\sin\theta{u}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$

D'après ces équations, lorsque cet équilibre est valide, la vitesse du vent est directement proportionnelle au gradient horizontal de pression. Notez que l'équilibre géostrophique cesse d'être valide autour des latitudes équatoriales.

Force en action en équilibre géostrophique

Crédit : Arianna Piccialli

Vent géostrophique

En combinant les deux composantes de la vitesse, on peut introduir le vent géostrophique comme :

$\mathbf{V_g} = u_g\vec i+v_g\vec j=\vec k\times\frac{1}{{\rho}f}\nabla{P}$

Équilibre cyclostrophique

L'équilibre cyclostrophique

La circulation générale des planètes à rotation lente (Vénus, Titan), aussi bien que les vortex et les tourbillons sur toutes les planètes, peut être approximée par l'équilibre cyclostrophique. Cela suppose l'égalité entre la composante dirigée vers l'équateur de la force centrifuge et le gradient méridional de la pression. La force de Coriolis est négligée.

$\frac{uv\tan\theta}{r}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{x}}$

$\frac{u^2\tan\theta}{r}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$ (1)

Forces en action en équilibre cyclostrophique

Crédit : Arianna Piccialli, adaptation de Schubert, 1983.

Vent cyclostrophique

L'équation du vent cyclostrophique peut alors être écrite comme :

$u=\sqrt{-\frac{r}{\rho\tan\theta}\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$

Exercice

Question 1)

Montrer à partir de l'équation (1) que l'équation du vent cyclostrophique peut être écrite comme :

$2u\frac{\partial{u}}{\partial{\xi}}=\left.-\frac{R}{\tan{\theta}}\frac{\partial{T}}{\partial{\theta}}\right|_{\mathrm{p}=\mathrm{const}}$

où : $\mathrm{R}=191.4$ J kg^-1 K^-1, et $\xi=-\ln{\frac{p}{p_{ref}}}$ est la coordonnée de pression logarithmique, avec $p_{ref}$ la pression au niveau de référence.

Nombre de Rossby

Définition

Le nombre de Rossby est un nombre sans dimension qui permet de caractériser les mouvements atmosphériques. Il est défini par:

$Ro = \frac{U}{2\Omega{L}}=\frac{\textrm{acc\'el\'eration horizontale}}{\textrm{acc\'el\'eration de Coriolis}}$

où est une vitesse caractéristique du système, $\mathbf{\Omega}$ est la vitesse angulaire de rotation de la planète, et est une longueur caractéristique du système.

Exercice

Question 1)

Quelle est la dimension du nombre de Rossby ?

Une valeur de nombre de Rossby très supérieure à l'unité indique que la force de Coriolis due à la rotation de la planète est négligeable par rapport à la force d'inertie, dans ce cas on parle d'équilibre cyclostrophique. Dans le cas contraire d'un nombre de Rossby inférieur à l'unité, l'équilibre est dit géostrophique.

Les équilibres dynamiques
$R_0 \ll 1$	Equilibre géostrophique	[Terre, Mars]
$R_0 \gg 1$	Equilibre cyclostrophique	[Vénus, Titan, Ouragans]

Exemples d'écoulements observés dans les planètes

Les valeurs du nombre de Rossby pour différents systèmes sont comparées sur le tableau ci-dessous :

Tableau 1: Valeurs du nombre de Rossby pour différents systèmes
Vénus	∼10³
Terre	∼1
Mars
Titan
Tourbillons de poussière	∼10²-10³
Tornades	∼10³
Ouragans

Systemes géostrophiques

La Terre et Mars

La Terre et Mars présentent une circulation atmosphérique aux grandes échelles très similaire et typique des planètes à rotation rapide : les deux planètes ont en fait une période de rotation similaire (Voir Tableau). La principale différence entre eux vient de:

La présence d'océans sur la Terre.
Le cycle de CO₂sur Mars, qui produit la condensation/sublimation d'une grande masse de CO₂.

Un régime géostrophique des vents zonaux domine la circulation dans les deux planètes en dehors des latitudes tropicales. Aux latitudes moyennes, à la fois sur la Terre et sur Mars, la circulation est caractérisée par deux courant-jets, un dans chaque hémisphère.

Sur la Terre, ces jets sont des vents zonaux qui circulent de l'ouest vers l'est et leur vitesse augmente avec l'altitude jusqu'à la tropopause. Au-dessus de la tropopause ces jets affaiblissent, et puis ils augmentent encore avec l'altitude au-dessus de $\sim 25$ km jusqu'à $\sim 70$ km, où ils atteignent une vitesse de 60 m s^-1.

Sur Mars, en raison de l'atmosphère très ténue et de l'absence des océans, l'atmosphère réagit presque instantanément au chauffage solaire. C'est aussi la raison pour laquelle les courant-jets dépendent des variations saisonnières. Au solstice d'hiver dans l'hémisphère nord, le courant-jet est centré entre $\sim 40^{\circ}-50^{\circ}$ de latitude atteignant une vitesse maximale de 40 m s^-1 à 5 km. Il augmente encore à 35 km, où il atteint une vitesse de 110 m s^-1. A cette même époque, le courant-jet dans l'hémisphère sud est beaucoup plus faible.

Il faut noter que ces configurations des vents sont une moyenne temporelle et spatiale et ils sont vus rarement sur des journées individuelles. Les configurations des vents d'un jour à l'autre dévient considérablement de cette circulation globale.

Systemes cyclostrophiques

Vénus et Titan

Vénus et Titan sont deux planètes à rotation lente, caractérisées respectivement par une période de rotation de 244 jours (Vénus) et 16 jours (Titan). Une description détaillée de leur circulation peut être trouvée ici. Les deux planètes sont caractérisées par des forts vents zonaux dans l'ensemble de l'atmosphère, une caractéristique appelée super-rotation. Sur Vénus, la super-rotation atteint une vitesse supérieure à 100 m s^-1 au sommet des nuages (vers 70 km d'altitude), correspondant à une période de rotation de 4 jours terrestres ( $\sim$ 60 fois plus rapide que Vénus elle-même). Différentes études ont montré que sur les planètes qui tournent lentement, comme Vénus et Titan, les forts vents zonaux au sommet des nuages peuvent être décrits par l’équilibre cyclostrophique. Ce qui donne une possibilité de reconstruire le vent zonal si le champ de température est connu.

Tornades et ouragans sur la Terre

D'autres systèmes cyclostrophiques à petite échelle sont les ouragans et les tornades (Figure 1); ils sont caractérisés par un centre de basse pression et de forts vents. En raison d'un nombre de Rossby élevé (Tableau 1), la force de Coriolis peut être négligée pour les tornades et les ouragans, et on suppose l'équilibre entre la force centrifuge et le gradient de pression.

Figure 1

Une tornade sur Terre observé par l'équipe VORTEX-99 le 3 Mai 1999 en Oklahoma.

Crédit : National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA).

Selon le glossaire de météorologie (AMS 2000), une tornade est une colonne d'air tournant violemment, en contact avec le sol et la base des nuages, et souvent (mais pas toujours) visible comme un nuage en forme d'entonnoir (Figure 1). La plupart des tornades ont des vitesses de vent entre 18 m s^-1 et 135 m s^-1. Son vortex a un diamètre typique de quelques centaines de mètres et tourne, en général, dans le sens contraire des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord. Les tornades se produisent sur tous les continents, mais sont plus fréquentes dans les États-Unis, où le nombre moyen de tornades enregistrées est d'environ 1000 par an, avec la majorité d'entre eux sur les plaines centrales et dans les états du sud. Les tornades sont associées à des orages violents et sont alimentés par l'afflux d'air chaud et humide. En général, ils sont le résultat de l'instabilité produit par la différence de température et d'humidité entre la surface, où l'air est plus chaud, et les niveaux supérieurs de l'orage, où l'air est plus froid.

Ouragan est le nom utilisé pour indiquer les cyclones tropicaux qui se produisent dans l'Atlantique ou le Pacifique Est. Les ouragans sont marqués par une région centrale d'air descendants, l'oeil, enfermé par des orages forts associés à des vents et des pluies intenses. Comme pour le cas des tornades, l'énergie des ouragans est fournie principalement par libération de chaleur latente dans l'air humide. Les ouragans sur la Terre se forment dans les régions tropicales au-dessus des océans chauds, et ils s'affaiblissent lorsqu'ils arrivent sur terre, où la source d'énergie disparaît. Dans l'oeil d'un ouragan, le nombre de Rossby locale est toujours et peut arriver jusqu'à 100. Dans ce cas, l'équilibre devient cyclostrophique.

Les cyclones tropicaux sur la Terre et le vortex polaire de Vénus présentent des similitudes morphologiques et dynamiques, comme on peut voir dans la Figure 2. Le vortex de Vénus et les ouragans sont caractérisés par différentes échelles horizontales et durée de vie: le vortex de Vénus à un diamètre de 12000 km et il semble être permanent; les plus grands cyclones tropicaux observés sur la Terre ont un rayon de moins de 1000 km et durent environ une à deux semaines dans leur phase de maturité. La source d'énergie est aussi différente pour le vortex sur Vénus et les ouragans terrestres: la source d'énergie pour les ouragans est la libération de chaleur latente; le vortex polaire sur Vénus reçoit un apport d'énergie par le dépôt du rayonnement solaire au niveau des nuages et par l'émission thermique dans la basse atmosphère. Malgré leurs différences, les circulations du vortex de Vénus et des ouragans est très similaires: à partir du leur comparaison une meilleure compréhension de la dynamique de Vénus peut être atteinte.

Figure 2

(Gauche) Le vortex polaire de Vénus; (Droit) l'ouragan Frances sur la Terre.

Crédit : Limaye et al., 2009

Tourbillons de poussière sur la Terre et Mars

Les tourbillons de poussière, présents à la fois sur la Terre et Mars, sont caractérisés par des vitesses de vent de rotation élevées, des champs électrostatiques importants et sont rendus visibles par la présence de poussière et de sable soulevé. Ils sont distincts des tornades car les tornades sont associées à des orages tandis que les tourbillons de poussière se forment sous un ciel clair.

Sur la Terre (Figure 3), l'étude de tourbillons de poussière est fondamentale pour comprendre leur rôle dans la convection et l'érosion des zones arides. Les tourbillons de poussière se produisent généralement en été dans les régions désertiques plus chaudes. Ils sont des événements transitoires et la plupart ne durent que quelques minutes.

Figure 3

Tourbillon de poussière sur la Terre observé dans le désert de l'Arizona.

Crédit : NASA

Sur Mars (Figure 4), les tourbillons de poussière peuvent avoir un effet important sur le cycle global de poussière. Les tourbillons de poussière sur Mars ont d'abord été identifiés dans les images prises par l'orbiteur Viking comme des petits nuages avec des longues ombres coniques. En plus, des traces laissées au sol par des tourbillons de poussière ont été détectées dans des images de la Mars Orbiter Camera et ont été également observées au sol par des atterrisseurs. Les tourbillons de poussière martiens et terrestres semblent avoir une morphologie similaire. Cependant, les tourbillons de poussière martiens sont un ordre de grandeur plus grand que ceux terrestres, atteignant souvent quelques kilomètres d'altitude et des centaines de mètres de diamètre avec des bases étroites et des larges sommets.

Figure 4

Tourbillon de poussière sur Mars photographié par le rover Spirit.

Crédit : NASA

Tourbillon de poussière de 140 m de diamètre et 20 km de hauteur vu depuis l'orbite par l'intrument HiRISE.

Crédit : NASA / JPL / University of Arizona / HiRISE

Instabilités

Nombre de Richardson

Définition

Pour caractériser les différents types des instabilités atmosphériques on utilise le nombre de Richardson, un nombre sans dimension défini par:

$Ri=\frac{N^2}{S^2}$

Où $S=\left(\frac{\partial{u}}{\partial{z}}\right)$ est le cisaillement vertical du vent.

est nommée fréquence de Brunt-Väisälä définie comme la différence entre le gradient vertical de température $\left(\frac{dT}{dz}\right)$ et le gradient adiabatique $\Gamma$ :

$N^2=\frac{g}{T}\left[\left(\frac{dT}{dz}\right)-\Gamma\right]$

est la fréquence d'oscillation d'une particule soumise à un déplacement vertical. Pour N^2<0 l'atmosphère est instable et une particule déplacée de son état initial s'éloignera irréversiblement. Si N^2=0 , la stabilité est "neutre", la particule déplacée demeura à sa nouvelle altitude. Enfin, pour N^2>0 se produit une oscillation de la particule autour de son état initial.

Interprétation

: Instabilité verticale
Dans ce cas, correspondant à un valeur négative de la fréquence de Brunt-Väisälä , la couche atmosphérique est instable et la turbulence est soutenue par la convection.
: Instabilité de Kelvin-Helmholtz
Parfois on observe de la turbulence dans des couches atmosphèriques thermiquement stables. Cette turbulence, dite de Kelvin-Helmholtz, est crée dans des régions où il y a du cisaillement du vent. Un valeur positive de nombre de Richardson au-dessous d'une valeur critique est une condition nécessaire afin que l'instabilité de Kelvin-Helmholtz se puisse produire. L'écoulement de Kelvin-Helmholtz est le résultat du cisaillement de vitesse entre deux fluides glissant l'un par rapport à l'autre.
$Ri\gg 1$ : Atmosphère stable
Condition suffisante pour une écoulement stable.

Ondes atmosphériques

Caractéristiques des ondes

Les ondes atmosphériques sont des perturbations des champs atmosphériques qui se propagent dans l'espace et/ou le temps. C'est un mécanisme important dans la dynamique des atmosphères car les ondes permettent de transporter des perturbations, transporter de l'énergie et de la quantité de mouvement d'une région à une autre.

Propriétés des ondes

On peut représenter de manière simplifiée une onde atmosphérique par une fonction sinusoïdale, en fonction d'une dimension spatiale de coordonnée et d'une dimension temporelle de coordonnée :

$\psi(x,t)=\psi_a\cos(k x-\omega t + \phi)$

Où $\psi_a$ est l'amplitude de l'onde; $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ est le nombre d'onde; $\lambda$ est la longueur d'onde (en mètres); $\omega=\frac{2\pi}{T}$ est la pulsation; est la période (en secondes). $\phi$ est la phase de l'onde, c'est-à-dire la valeur de la perturbation lorsque x=0 et t=0 . La longueur d'onde est définie comme étant la distance séparant deux crêtes consécutives d'une onde. Si (en mètres par seconde) est la vitesse de propagation de l'onde, on définit la fréquence (en hertz) par : $\nu=\frac{c}{\lambda}$ .

Le champ physique représenté par $\psi(x,t)$ est une variable atmosphérique. Il peut s'agir de la température, pression, le vent, etc ... La dimension de l'amplitude $\psi_a$ est donc la même que celle de la variable représentée par la perturbation $\psi$ .

Caractéristique d'une onde

Au bout d'une durée correspondant à une période

, l'onde aura aura la même allure.

Crédit : A. Piccialli

Notation exponentielle

Une manière plus compacte et efficace pour représenter une onde est la notation exponentielle. On écrit la perturbation sous sa forme complexe de la manière suivante :

$\Psi(x,t)=\Psi_ae^{i(kx-\omega t)}$

Avec le nombre imaginaire i^2=-1 . La perturbation réelle est définie comme étant la partie réelle de sa forme complexe :

$\psi=Re(\Psi)$

En utilisant la relation trigonométrique bien connue $e^{i\theta}=\cos\theta +i\sin\theta$ , on obtient que l'amplitude complexe $\Psi_a$ vaut :

$\Psi_a=\psi_a e^{i\phi}$

L'amplitude complexe $\Psi_a$ contient ainsi l'information à la fois sur l'amplitude $\psi_a$ et la phase $\phi$ de l'onde. Cette notation est très pratique car elle permet notamment de dériver ou d'intégrer une onde par rapport à l'espace ou au temps. Par exemple :

$\frac{\partial\psi}{\partial x} = \frac{\partial Re(\Psi)}{\partial x} = Re\left(\frac{\partial \Psi}{\partial x}\right) = Re(ik\Psi)$

Ainsi, dériver par rapport à la coordonnée spatiale revient à multiplier l'onde complexe par . De même, une dérivation temporelle revient à multiplier par $-i\omega$ .

De la même manière, on peut montrer que trouver une primitive de l'onde complexe revient à diviser par , donc à multiplier par $-\frac{i}{k}$ . De même, multiplier par $\frac{i}{\omega}$ permet de trouver une primitive par rapport à .

Onde sonore

Méthode des perturbations

À partir des équations primitives, il est possible de trouver les ondes susceptibles de se propager dans l'atmopshère en utilisant la méthode des perturbations. Il s'agit d'écrire chaque champ (par exemple avec la pression ) comme étant la somme d'une valeur fixe p_0 solution des équations et d'une petite perturbation : p=p_0+p' . Ceci permet de linéariser les équations primitives en obtenant une équation pour les petites pertubations. Ces pertubations correspondent à des ondes que l'on peut ainsi étudier au moyen d'un cadre formel.

Onde sonore

L'onde la plus évidente est l'onde sonore dont le calcul va être détaillé ci-dessous. On définit les petites perturbations comme étant des ondes se propageant horizontalement et verticalement :

$\Psi = \Psi_a e^{i(kx+mz-\omega t)}$

avec et les nombres d'ondes horizontaux et verticaux respectivement. On fait l'approximation que la rotation et la gravité sont négligeables dans le cas qui nous intéresse. De plus, on suppose un fluide au repos, où la dérivée lagrangienne est égale à la dérivée eulérienne. Ainsi dans les équations primitives la force de Coriolis s'annule, tout comme la force centrifuge. En posant $p'=c_s^2\rho'$ avec c_s la vitesse du son, les équations du mouvement horizontal et de l'équation de continuité s'écrivent ainsi :

$\rho_0\frac{\partial u'}{\partial t} = - \frac{\partial p'}{\partial x}$

$\rho_0\frac{\partial v'}{\partial t} = - \frac{\partial p'}{\partial y}$

$\rho_0\frac{\partial w'}{\partial t} = - \frac{\partial p'}{\partial z}$

$\frac{1}{c_s^2}\frac{\partial p'}{\partial t} = - \rho_0\left( \frac{\partial u'}{\partial x} + \frac{\partial v'}{\partial y} +\frac{\partial w'}{\partial z} \right)$

Soit, en utilisant les propriétés de la notation exponentielle :

$-i\omega \rho_0 U_a = -ikP_a$

$-i\omega \rho_0 V_a = 0$

$-i\omega \rho_0 W_a = -imP_a$

$-i\omega P_a= c_s^2\rho_0(ikU_a+imW_a)$

Par identification, on obtient :

$\omega^2=c_s^2(k^2+m^2)$

qui nous donne la relation entre longueur d'onde et période d'une onde sonore.

Généralisation

Le traitement des ondes atmosphériques est un sujet complexe; dans la page qui suit, nous allons donner un aperçu général des principaux types d'ondes en comparant différentes planètes, mais sans entrer dans le détail.

Une analyse plus détaillée des phénomènes ondulatoires peut être trouvé dans la liste suivante des livres:

A. Sanchez-Lavega "An Introduction to Planetary atmospheres" CRC Press, Taylor & Francis Group, 2011.
J. Holton "An Introduction to Dynamic Meteorology" Elsevier Academic Press, 2004.

Exemples d'ondes atmosphériques

Les ondes atmosphériques peuvent se manifester de diverses manières: comme oscillations de la température, de la densité et de la vitesse du vent, ou à travers des structures régulières de nuages. Ils peuvent être classés sur la base de facteurs différents: (1) mécanismes de restauration; (2) échelles de temps et d'espace; (3) ondes stationnaires ou qui se déplacent.

Classement des ondes

Ondes de gravité:
Le mécanisme de restauration des ondes de gravité est la poussée d'Archimède. Elles sont créées: (1) par la topographie (ondes orographiques), lors du passage d'une masse d'air au-dessus d'un relief montagneux; ou (2) par des instabilités dues à la présence d'orages ou de fronts d'air. Ils sont très communs dans les mésosphères des planètes telluriques. Sur Terre, les ondes de gravité révèlent souvent leur présence à travers des formations nuageuses, comme dans le cas des ondes orographiques. À des altitudes plus élevées, des images des nuages polaires mésosphériques, aussi connus sous le nom de nuages noctulescents, montrent souvent des structures ondulatoires probablement dues à la propagation vers le haut des ondes de gravité. Dans l'atmosphère martienne, des ondes de gravité ont été observées dans des images de nuages mésosphériques de glace de CO₂ obtenues par la High Resolution Stereo Camera à bord de la mission européenne Mars Express et elles sont produites par la topographie (montagnes et cratères). Plusieurs missions spatiales ont détecté des ondes de gravité dans l'atmosphère de Vénus à la fois comme des oscillations sur le champ de température et comme des structures sur la couche de nuages. Elles sont probablement causées par des mouvements convectifs ou par des instabilité de de Kelvin-Helmholtz. Dans la haute atmosphère des planètes géantes (Jupiter, Uranus, et Neptune), des ondes de gravité ont été détectées par des oscillations dans les profils verticaux de température. Elles sont probablement la manifestation d'ondes de gravité générées près de la tropopause se propageant vers le haut.
Ondes de Kelvin-Helmholtz:
Ces ondes sont un type d'ondes de gravité produites par l'instabilité de Kelvin-Helmholtz (Figure 2).
Ondes de Rossby:
Les ondes de Rossby ou ondes planétaires sont caracterisées par une grande longueur d'onde. Elles sont dues à la variation de la force de Coriolis selon la latitude, quand une masse d'air se déplace à latitudes plus ou moins élevées. Sur la Terre, les ondes de Rossby sont des phénomènes permanents dans les latitudes moyennes et sous-polaires. Souvent, des cyclones et des anticyclones se forment dans les crêtes de l'onde. De la même façon, des ondes de Rossby se forment dans l'atmosphère vers les régions polaires de Mars. Dans les planètes géantes Jupiter et Saturne, il y a une grande variété d'ondes atmosphériques à l'extérieur de la région équatoriale qu'on suppose être des ondes de Rossby. Sur Saturne, un système ondulatoire hexagonal existe autour du pôle Nord, qui pourrait être une onde de Rossby. On peut voir divers exemples d'ondes de Rossby sur différentes planètes dans la figure ci-contre.
Ondes de marées thermiques:
Les ondes de marées thermiques sont des ondes d'échelle planétaire excitées par les variations de l'insolation du sol dues au cycle jour-nuit. Ces ondes se manifestent sur le champ de pression et sur les composants du vent et elles évoluent avec le temps solaire local. Les ondes de marée thermique dans l'atmosphère de Mars ont une amplitude beaucoup plus élevée que sur la Terre car le forçage thermique sur Mars est très fort à cause de l'absorption dans le proche infra-rouge du $\textrm{CO}_2$ atmosphérique, l'absorption du rayonnement infra-rouge émis par la surface, la présence de la poussière dans l'atmosphère et le fait que l'atmosphère y soit plus ténue. L'effet des marées thermiques sur la circulation zonale et méridienne moyenne est donc très important dans l'atmosphère martienne. Sur Vénus, l'absorption du rayonnement solaire se produit essentiellement dans la couche de nuages et des études ont proposé que les marées solaires jouent un rôle important dans la super-rotation de Vénus à ce niveau.

Figure 1

Crédit : A. Piccialli

Figure 2

Ondes de Kelvin-Helmholtz observés au-dessus de Rome.

Crédit : Angelo Zinzi

Comprendre

La circulation atmosphérique générale

Outils

Coordonnées sphériques

Exercice

Forces apparentes

Précision

Produit vectoriel

Force centrifuge

Force centrifuge

Exercices de démonstration et d'acquisition du cours

Force de Coriolis

Exercice de démonstration et d'acquisition du cours

Formalisme eulérien ou lagrangien

Description eulérienne

Description lagrangienne

Dérivée particulaire

Équations de la dynamique

L'équation fondamentale de la dynamique

Exercice

Les équations en coordonnées sphériques

Exercice

Les équations primitives

Approximations

Mouvement horizontal:

Equilibre hydrostatique vertical:

Equation d'état:

Equation de continuité:

Premier principe de la thermodynamique:

Les équilibres dynamiques

Équilibre géostrophique

L'équilibre géostrophique

Vent géostrophique

Équilibre cyclostrophique

L'équilibre cyclostrophique

Vent cyclostrophique

Exercice

Nombre de Rossby

Nombre de Rossby

Définition

Exercice

Exemples d'écoulements observés dans les planètes

Systemes géostrophiques

La Terre et Mars

Systemes cyclostrophiques

Vénus et Titan

Tornades et ouragans sur la Terre

Tourbillons de poussière sur la Terre et Mars

Instabilités

Nombre de Richardson

Définition

Interprétation

Ondes atmosphériques

Caractéristiques des ondes

Propriétés des ondes

Notation exponentielle

Onde sonore

Méthode des perturbations

Onde sonore

Généralisation

Exemples d'ondes atmosphériques

Classement des ondes

Réponses aux exercices

Exercice

Exercice

Exercice

Exercice