Coordonnées sphériques

Auteurs: Thomas Navarro, Arianna Piccialli

Comme toute équation de la physique, les équations régissant la dynamique atmosphérique doivent s'exprimer dans un système de coordonnées et un référentiel choisis arbitrairement. Un tel système naturellement adapté à une sphère, et donc à une planète, sont les coordonnées sphériques $(r,\varphi,\theta)$ , où est la distance au centre de la sphère, $\varphi$ est la l'angle de la longitude, et $\theta$ est l'angle de la latitude.

On définit également un repère local pour tout point de l'espace de coordonnées (x,y,z) , avec comme base le triplet $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ où $\vec{i}$ est dirigé vers l'Est, $\vec{j}$ dirigé vers le Nord, et $\vec{k}$ selon la verticale locale vers le haut. Le référentiel d'étude est ce référentiel local, lié à la rotation de la planète, il s'agit donc d'un référentiel tournant, donc non galiléen.

Pour résumer, on travaille dans deux référentiels différents, ce qui donne trois systèmes de coordonnées différents :

Le référentiel de la planète, qui tourne avec elle, dans un système de coordonnées cartésiennes (axes ).
Le référentiel de la planète, qui tourne avec elle, dans un système de coordonnées sphériques (coordonnées $r,\varphi,\theta$ ).
Un référentiel local, de base $(\vec i,\vec j, \vec k)$ , qui est un système de coordonnées cartésiennes.

Système de coordonnées sphériques

Crédit : Arianna Piccialli

L'exercice suivant permet de se familiariser avec la manipulation mathématique des coordonnées et des repères. Les resultats serviront à établir l'équation fondamentale de la dynamique.

Exercice

Question 1)

Montrer que dans le référentiel de la planète, un point de coordonnées sphériques $\left( \begin{array}{c} r\\ \varphi \\ \theta \end{array} \right)$ a pour coordonnées cartésiennes $\left( \begin{array}{c} r\cos\theta\cos\varphi \\ r\cos\theta\sin\varphi \\ r\sin\theta \end{array} \right)$

Question 2)

Exprimer $\vec i$ , $\vec j$ et $\vec k$ dans le repère de la planète en fonction des angles $\varphi$ et $\theta$

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Question 3)

Montrer qu'une vitesse dans le référentiel local $\left( \begin{array}{c} u\\ v \\ w \end{array} \right)$ au point de coordonnées sphériques $\left( \begin{array}{c} r\\ \varphi \\ \theta \end{array} \right)$ s'exprime par $\vec U = r\cos\theta\frac{d\varphi}{dt}\vec i+r\frac{d\theta}{dt}\vec j + \frac{dr}{dt}\vec k$ .

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Question 4)

Exprimer $\frac{d\vec i}{dt}$ , $\frac{d\vec j}{dt}$ et $\frac{d\vec k}{dt}$ en fonction de (u,v,w) , $(r,\varphi,\theta)$ et $(\vec i,\vec j, \vec k)$ .

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