Formalisme eulérien ou lagrangien

Auteurs: Thomas Navarro, Arianna Piccialli

Les écoulements atmosphériques peuvent être décrits en utilisant deux points de vue classiques, appelés eulérien ou lagrangien :

Description eulérienne

L'écoulement est suivi par un observateur depuis une position fixe. C'est le cas, par exemple, d'un atterrisseur sur Mars fixé au sol qui mesure la vitesse du vent, la température, ou la pression. Cette description est souvent préférée car elle est la plus pratique.

Description lagrangienne

Dans ce cas, les particules fluides sont suivies le long de leurs trajectoires. C'est la description la plus intuitive.

Dérivée particulaire

Les descriptions lagrangienne et eulérienne sont liées à travers la dérivée particulaire, encore appelée dérivée totale, et qui s'écrit D/Dt . Soit $\textbf{A}[\textbf{r}(t)]$ une grandeur physique vectorielle de l'écoulement, dépendant du point d'observation $\textbf{r}=(x, y, z)$ et du temps . La variation de la grandeur $\textbf{A}$ s'écrit :

$\underbrace{\frac{D\textbf{A}}{Dt}}_\text{\textrm{Variation lagrangienne}}=\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{t}}}+\left(\frac{dx}{dt}\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{x}}}+\frac{dy}{dt}\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{y}}}+\frac{dz}{dt}\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{z}}}\right)=\underbrace{\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{t}}}}_\text{\textrm{Variation eul\'{e}rienne}}+\underbrace{(\mathbf{U}\cdot{\nabla})\textbf{A}}}_\text{\textrm{Terme d'advection}}$

Où $\mathbf{U}=u\vec{i}+v\vec{j}+w\vec{k}$ est la vitesse du fluide avec composants: u={dx}/{dt} , v={dy}/{dt} , w={dz}/{dt} .

Dans la cas où la grandeur est un champ scalaire $f[\textbf{r}(t)]$ , la relation est la même.

La dérivée particulaire décrit la variation avec le temps en suivant la particule en mouvement (point de vue lagrangien), en revanche $\partial{\textbf{A}}}/\partial{\mathrm{t}$ décrit la variation locale avec le temps en un point d'observation fixé (point de vue eulérien) .