Force centrifuge

Auteurs: Thomas Navarro, Arianna Piccialli

Force centrifuge

La force centrifuge est la force apparente due au fait que le référentiel d'étude est en rotation, donc en accélération. En effet, l'orientation de la vitesse d'un point lié à la planète varie, mais pas son module. Ainsi, une particule au repos dans un référentiel galiléen aura une force apparente dans le référentiel de la planète.

On définit le vecteur rotation $\mathbf{\Omega}$ comme étant le vecteur orienté selon l'axe de rotation de la planète et de module $\|\mathbf{\Omega}\| = \Omega = \frac{2\pi}{T}$ avec la période de rotation de la planète. L'accélération de la force centrifuge s'exprime $\mathbf{a_{ce}}}=-\mathbf{\Omega}\times(\mathbf{\Omega}\times\mathbf{l})$ avec $\mathbf{l}$ le vecteur position depuis l'axe de rotation où la force s'applique. Dans un système de coordonnées sphériques, on a $\|\mathbf{l}\|=\|\mathbf{r}\|\cos{\theta}$ , avec $\mathbf{r}$ le vecteur position depuis le centre de la planète.

Une autre manière de l'exprimer est de dire qu'il s'agit d'une accélération perpendiculaire à l'axe de rotation, orientée vers l'extérieur et de valeur $r\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\cos\theta = r\Omega^2\cos\theta$

La force centrifuge est regroupée avec la force de gravité, dont l'accélération vaut $\mathbf{g_m} = -g_m\vec k$ , l'indice faisant référence à la masse de la planète. On obtient une force dont l'accélération totale est $\mathbf{g} = -\mathbf{\Omega}\times(\mathbf{\Omega}\times\mathbf{l})+\mathbf{g_m}$ . Cette force dérive d'un potentiel, qu'on appelle le géopotentiel, somme de l'action de la gravité et de la force centrifuge.

Exercices de démonstration et d'acquisition du cours

Question 1)

Démontrer par l'analyse ou par un schéma en 3D que $\mathbf{\Omega}\times(\mathbf{\Omega}\times\mathbf{l})$ correspond bien à une accélération perpendiculaire à l'axe de rotation, orientée vers l'extérieur et de valeur $r\Omega^2 \cos\theta$ . Comment s'exprime cette accélération dans le référentiel local ?

Question 2)

Par la suite on fait l'approximation que pour l'accélération due au géopotentiel, on peut se contenter de considérer sa composante uniquement suivant l'axe $\vec k$ pour l'additionner à la pesanteur, ceci afin de simplifier les équations du problème. Afin de s'assurer que cette approximation reste acceptable, quelle est l'erreur maximale faite dans le cas de la Terre si on ne considère pas les autres composantes de l'accélération due au géopotentiel ? Quelle est cette erreur relativement à l'accélération de pesanteur ? Et pour Jupiter ?