Réferentiels et transformations : Page pour l'impression

Afin de déterminer la position et l'orientation d'un objet dans l'espace, on fait appel aux systèmes de coordonnées. Dans cette partie, il ne faudra pas confondre les notions de référentiel et système de coordonnées. Un système de coordonnées est notamment défini par son centre (on parle de référentiels géocentrique ou héliocentrique), son plan de référence (équatorial, écliptique) et ses axes. En ce qui concerne les systèmes de coordonnées, on a pour habitude d'utiliser les suivants :

systèmes de coordonnées rectangulaires (ou cartésiennes), qui à un point de l'espace font correspondre trois distances sur chacun des axes du repère;
systèmes de coordonnées cylindriques, qui décrivent la position d'un point à l'aide d'une distance au centre, d'un angle et d'une hauteur;
systèmes de coordonnées sphériques, qui à un point de l'espace associent une distance au centre et deux angles. Ce type de système est couramment utilisé en géographie et en astronomie.

Système de coordonnées inertiel

Un référentiel inertiel (ou galiléen) est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié. Tout corps libre est en mouvement de translation rectiligne uniforme ou au repos. Tout référentiel en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel inertiel est lui-même inertiel. Les lois de la mécanique sont invariantes par changement de référentiel inertiel. On a l'habitude de distinguer un référentiel considéré comme fixe par rapport à un objet en rotation, comme le repère terrestre, avec un repère dont les axes sont fixés par rapport à une position absolue.

Termes d'inertie

Dans un référentiel non inertiel, par exemple animé d’un mouvement accéléré par rapport à un référentiel galiléen, il faut faire intervenir les termes d’inertie (comme détaillé par la suite). Ces termes se traduisent par des pseudo-forces, qui se distinguent des forces prises en compte dans un référentiel galiléen car elles ne sont pas associées à une interaction entre le corps dont on étudie le mouvement et un autre corps.

Systèmes de coordonnées célestes

En astronomie, on utilise habituellement les repères cylindriques et sphériques amputés de leur coordonnée de distance. Pour des raisons pratiques, on suppose souvent que les objets observés se situent à des positions fixes à l'intérieur de la sphère céleste, à condition que leur distance soit suffisante.

Un système de coordonnées céleste a pour fonction de déterminer une position dans le ciel. Il existe plusieurs systèmes, utilisant une grille de coordonnées projetée sur la sphère céleste, de manière analogue aux systèmes de coordonnées géographiques utilisés à la surface de la Terre. Les systèmes de coordonnées célestes diffèrent seulement dans le choix du plan de référence, qui divise le ciel en deux hémisphères le long d'un grand cercle (le plan de référence du système de coordonnées géographiques est l'équateur terrestre). Chaque système est nommé d'après son plan de référence.

Système de coordonnées horizontales

Coordonnées horizontales

Les coordonnées horizontales locales sont la hauteur (h) et l'azimut (A). La hauteur varie de 0° (horizon) jusqu'à 90° (zénith) et l'azimut est mesuré sur le plan horizontal à partir du Nord (N). Un objet de hauteur négative n'est pas visible depuis le lieu d'observation.

Crédit : Wikipedia

Le système de cordonnées horizontales, également appelé système local ou système de coordonnées alt-azimutales, est un système de coordonnées célestes utilisé en astronomie par un observateur au sol. Le système, centré sur l'observateur, sépare le ciel en deux hémisphères : l'un situé au-dessus de l'observateur et l'autre situé au-dessous, caché par le sol. Le cercle séparant les deux hémisphères, appelé horizon céleste, situe le plan horizontal. L'altitude (ou élévation, "h") et l'azimut (A), qui constituent les deux principales coordonnées de ce système, sont définis à partir de ce plan.

L'altitude est l'angle entre l'objet et l'horizon local de l'observateur. Pour les objets visibles, cet angle est compris entre 0° (horizon) et 90° (zénith).
L'azimut est l'angle de l'objet autour de l'horizon. C'est un cercle divisé en 360° établi sur le plan horizontal depuis le nord vers l'est (des exceptions à cette convention existent).

Ce système de coordonnées présente l'avantage d'être simple et local. Il est facile à établir à un endroit donné à partir du moment où l'observateur sait où se trouve l'un des points cardinaux. C'est la raison pour laquelle il est particulièrement utilisé par les télescopes au sol à monture azimutale, c'est à dire l'essentiel des télescopes les plus récents.

Système de coordonnées équatoriales

Coordonnées équatoriales projetées sur la sphère céleste

images/coordonnees-equatoriales-sphere-celeste.PNG

Un système équatorial est projeté sur la sphère céleste. Les longitude (α) et latitude (δ) d'un objet sont indiquées.

Crédit : Gary Quinsac

Le système de coordonnées équatoriales est un système de coordonnées célestes dont les valeurs sont indépendantes de la position de l'observateur. Ceci est également vrai pour les systèmes de coordoonées écliptiques et galactiques. Ce système utilise comme plan de référence la projection de l'équateur de la Terre sur la sphère céleste. Cette projection s'appelle l'équateur céleste. Elle divise le ciel en deux hémisphères, chacun ayant comme axe de référence la projection d'un pôle terrestre, perpendiculaire à l'équateur céleste. À partir de ces divisions, le système permet d'établir deux coordonnées angulaires : l'ascension droite et la déclinaison.

L'ascension droite (α) est l'angle mesuré sur l'équateur céleste à partir d'un axe pointant vers un point de référence, le point vernal, correspondant à l'intersection entre l'équateur céleste et l'écliptique. À partir de cet axe, l'angle est mesuré vers l'Est et comporte 24 divisions principales de 15° chacune, nommées « heures ». Chacune des heures se divise en minutes, et en secondes. Cette division de l'angle en heures, minutes et secondes permet de déterminer facilement combien de temps (en temps sidéral) il faudra à un astre pour atteindre un certain point dans le ciel.
La déclinaison (δ) est l'angle mesuré perpendiculairement entre l'équateur céleste et l'objet céleste observé. Elle se mesure en degrés, positifs pour les objets situés dans l'hémisphère nord et négatifs pour ceux de l'hémisphère sud. La déclinaison varie ainsi de -90° (pôle sud) à +90° (pôle nord) en passant par 0° à l'équateur céleste. L'ascension droite et la déclinaison sont les équivalents astronomiques de la longitude et de la latitude.

Système de coordonnées écliptiques

Coordonnées écliptiques projetées sur la sphère céleste-

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Un système écliptique est projeté sur la sphère céleste. Les longitude (λ) et latitude (β) d'un objet sont indiquées.

Crédit : Gary Quinsac

Le système de coordonnées écliptiques est un système de coordonnées adapté aux objets célestes : il utilise le plan de l'écliptique (plan de l'orbite de la Terre autour du Soleil) comme plan de référence. Ce plan fait un angle d'approximativement 23° avec le plan équatorial terrestre, du fait de l'inclinaison de l'axe de rotation de la Terre. Ce repère est un système sphérique à deux dimensions.

La longitude écliptique (λ) est l'angle entre le point vernal (le même que pour le système de coordonnées équatoriales), le centre du repère (le soleil) et la projection de l'objet sur ce plan. Cet angle se mesure en degrés.
La latitude écliptique (β) représente l'angle entre le plan de l'écliptique, le centre du repère (le soleil) et l'objet.

Ce système peut être centré sur la Terre, le Soleil ou tout autre corps. Il est particulièrement utile pour les objets situés dans le système solaire.

Système de coordonnées galactiques

Coordonnées galactiques projetées sur la sphère céleste

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Un système galactique est projeté sur la sphère céleste. Les longitude (l) et latitude (b) d'un objet sont indiquées.

Les coordonnées galactiques sont adaptées aux objets situés dans notre galaxie et non situés dans le voisinage proche du Soleil. Les coordonnées galactiques sont un repérage effectué à l'aide d'une latitude et d'une longitude définies de telle sorte que le plan galactique correspond à l'équateur, et l'origine des longitudes corresponde au centre galactique. Le système de coordonnées galactiques est un système de coordonnées célestes qui prend en compte la rotation de la Galaxie sur elle-même. On parle ici aussi de longitude et de latitude galactiques. Le plan de référence de ce système est le plan de la Galaxie centré sur le centre galactique. Le pôle nord galactique a été défini par convention dans le repère équatorial par une ascension droite de 12 h 51 min 26,282 s et une déclinaison de 27°07′42.01″. Dans ce plan, la direction de référence de la mesure est la direction du centre de la Galaxie.

La longitude galactique (l) est l'angle entre cette direction de référence et la projection de l'objet sur le plan de la galaxie. La longitude galactique vaut 0° dans la direction du centre de la Galaxie.
La latitude galactique (b) est la mesure de l'angle entre le plan de référence et l'objet avec le Soleil au centre. Elle mesure en degrés la hauteur de cet objet de 0° dans le plan de référence à 90° au pôle nord galactique.

Appliquette interactive

Une appliquette interactive est disponible ici. Elle permet d'afficher les trois principaux systèmes de coordonnées célestes en 3D.

Résumé des propriétés des systèmes de coordonnées usuels
Système de coordonnées	Origine	Plan fondamental	Pôles	Coordonnées		Direction principale
				Latitude	Longitude
Horizontal	Observateur	Horizon	Zénith / Nadir	Élévation	Azimuth (A)	Point nord
Équatorial	Centre de la Terre (géocentrique) / du Soleil (héliocentrique)	Équateur céleste	Pôles célestes	Déclinaison (δ)	Ascension droite (α)	Point vernal
Écliptique		Écliptique	Pôles écliptiques	Latitude écliptique (β)	Longitude écliptique (λ)	Point vernal
Galactique	Centre du Soleil	Plan galactique	Pôles galactiques	Latitude galactique (b)	Longitude galactique (l)	Centre galactique

Systèmes de coordonnées spatiaux

Dans le cadre de l'analyse de l'attitude et de l'orbite d'un satellite, certains référentiels sont particulièrement utilisés. Les plus importants d'entre eux sont présentés dans cette partie.

Appliquette interactive

Une appliquette interactive est disponible ici. Elle permet de visualiser dans l'espace une partie des repères spatiaux qui vous sont présentés dans cette partie.

Référentiel héliocentrique

Le référentiel de Kepler (ou référentiel héliocentrique) est le référentiel centré sur le centre de masse du Soleil et dont les axes pointent vers des étoiles fixes. Ce référentiel inertiel est utilisé pour les missions interplanétaires. Ces étoiles sont suffisamment lointaines pour qu'elles apparaissent fixes aux échelles de temps considérées.

Le repère HSEa (pour "heliocentric solar ecliptic inertial") est un exemple de repère héliocentrique. Son axe X pointe vers le point vernal, Z vers le pôle nord écliptique et Y complète le trièdre.

Référentiel géocentrique (ECI)

Le référentiel géocentrique ("Earth Centered Inertial"ou ECI en anglais) est un référentiel dont l'origine est le centre de la Terre et dont les trois axes pointent également vers des étoiles fixes. L'origine du système se situe au centre géométrique de la Terre, l'axe Z est aligné avec le pôle nord, l'axe X pointe vers le point vernal et l'axe Y complète le trièdre. D'autres systèmes de ce type existent, définis par rapport à d'autres directions. La bonne connaissance de la position des étoiles permet de déterminer l'orientation du satellite dans ce référentiel par observation de ces étoiles.

Parmi ces référentiels, on peut citer J2000 GCI (pour "geocentric inertial"). Son axe Z est aligné avec le pôle nord, l'axe X pointe vers le point vernal au 1er janvier 2000 et l'axe Y complète le trièdre. Ce repère est équatorial.

Point vernal "vrai"

Le point vernal "vrai" se déplace chaque année en raison de la précession des équinoxes (mouvement de l'axe de rotation de la Terre) et du lent déplacement des étoiles. De ce fait on définit un point vernal fixe conventionnel (celui du 1^er janvier 2000 pour le repère J2000).

Référentiel terrestre (ECEF)

Le référentiel terrestre ("Earth-Centered, Earth-Fixed" ou ECEF en anglais) est un référentiel centré sur le centre de masse de la Terre et dont les trois axes sont liés au globe terrestre. Ce référentiel est en mouvement de rotation pure dans le référentiel géocentrique. L'axe vecteur(Z) coïncide avec l'axe de rotation de la Terre et les axes vecteur(X) et vecteur(Y) sont fixés par rapport à la Terre.

Remarque

Le référentiel géocentrique se distingue du référentiel terrestre, dont l'origine est prise au centre de la Terre, mais dont les axes sont attachés au globe terrestre. Il est également différent du référentiel héliocentrique, dont les axes pointent vers des étoiles lointaines mais dont l'origine est prise au centre du Soleil. Ainsi, le référentiel terrestre est en rotation dans le référentiel géocentrique, lui-même en translation circulaire dans le référentiel héliocentrique. La position et l'orientation d'un satellite par rapport à un tel système doivent être connues afin de maintenir une communication avec le sol ou de réaliser de la détection terrestre.

Repère orbital

Les repères orbitaux sont liés à l'orbite du satellite et à sa position sur cette orbite. Ils tournent à mesure que le satellite orbite autour de la Terre afin qu'un axe pointe dans une direction particulière, tandis que les deux autres sont normaux. On peut citer différents repères orbitaux. Généralement, l'axe vecteur(Z) pointe vers le nadir et l'axe vecteur(Y) est normal au plan orbital.

Pour les satellites pointant la terre, l'orientation/vitesse angulaire du corps du satellite est définie par rapport à un repère fixé sur l'orbite.

Pour les satellites poitant la Terre il est utile de définir un repère par rapport à la géocentrique (droite passant par le centre de la Terre et le centre de masse du satellite). Le repère LVLH, pour "Local-Vertical/Local-Horizontal", est un repère très utilisé. Son axe est ainsi aligné avec le nadir, son axe pointe le long de l'inverse du moment cinétique orbital. L'axe vient compléter le trièdre.
On définit également souvent un repère orbital se référant au vecteur vitesse du satellite. Par exemple, est parallèle au vecteur vitesse du satellite, est le vecteur normal à la trajectoire à la position du satellite dans le plan de l'orbite et orienté vers le centre de la Terre, et est parallèle et de même sens que le moment cinétique orbital.

Référentiel satellite

Le référentiel du satellite est défini par le corps du satellite. On a l'habitude de définir le repère satellite avec l'orientation d'un élément de navigation essentiel comprenant les capteurs d'attitude les plus critiques et les instruments de la charge utile. Le SCA utilise une combinaison de capteurs et d'actionneurs pour maintenir l'orientation et la vitesse angulaire du référentiel du satellite par rapport à un repère extérieur de référence. Celui-ci dépend généralement du type de pointage requis par la mission (inertiel, solaire, nadir etc).

On peut décrire l'orientation du satellite par rapport au référentiel orbital avec une séquence d'Euler de roulis, tangage et lacet (détaillée ici), respectivement autour des axes , et .

Repère instruments

Un repère instrument est aligné suivant les directions caractéristiques de l'instrument. Ces repères sont définis par rapport au repère satellite ou par rapport à un repère secondaire, lui-même défini par rapport au repère satellite. L'alignement entre les différents référentiels est mesuré sur le sol mais peut évoluer pendant le lancement, mais également à cause du changement de gravité et des distorsions thermiques. Un instrument peut d'ailleurs être positionné sur un bras articulé (cela se rencontre surtout sur les sondes planétaires). La connaissance précise de l'attitude nécessite un étalonnage en vol de ces changements d'alignement et distorsions. Les données et les commandes de la charge utile et des capteurs sont paramétrées par rapport aux systèmes de coordonnées locaux.

Représentation d'attitude

Introduction

L'orientation d'un satellite dans l'espace correspond à l'orientation du repère fixé sur son corps par rapport à un autre repère, tel que ceux vus précédemment. Ainsi, la détermination d'attitude d'un satellite en particulier requiert des méthodes d'estimation de la matrice orthogonale transformant des vecteurs d'un référentiel de référence fixé dans l'espace à un référentiel fixé par rapport au corps du satellite. De plus, une mission spatiale ne peut être définie par un unique référentiel. En fonction des besoins, de l'échelle à laquelle on se place, il est nécessaire d'utiliser tel ou tel référentiel. Dès lors, le passage d'un référentiel à un autre devient un aspect crucial du SCAO. L'une des plus importantes propriétés des matrices d'attitude est énoncée par le théorème d'Euler.

Théorème d'Euler

L'orientation instantanée d'un objet peut toujours être décrite par une unique rotation autour d'un axe fixe.

On peut parler de pôle eulérien pour nommer le centre de rotation. Il doit son nom au mathématicien et physicien suisse Leonhard Euler. Dès lors qu'un point d'un solide reste fixe lors d'un déplacement, ce déplacement est équivalent à une rotation autour d'un axe passant par le point fixe (pôle eulérien). En algèbre linéaire, ce théorème implique que deux référentiels cartésiens partageant la même origine sont reliés par une rotation autour d'un axe fixe.

Leonhard Euler

Portrait par Johann Georg Brucker (1756).

Crédit : Domaine public

Les relations permettant de jongler entre les systèmes de coordonnées peuvent être charactérisées de différentes manières, comportant chacune leurs lots d'avantages et inconvénients. Certaines d'entre elles sont présentées dans la partie suivante :

Les démonstrations des principales relations sont proposées en exercices.

Matrice du cosinus directeur

La façon la plus évidente de donner l'orientation d'un référentiel par rapport à un autre est d'exprimer leurs vecteurs de base dans l'autre repère.

Changement de repère en 2D

Une introduction simple à ce changement de repère peut être faite en 2D. Prenons un référentiel , avec les axes X_R et Y_R , incliné par rapport à un référentiel , d'axes X_B et Y_B , d'un angle $\theta$ . Le vecteur $\bold {OP}$ peut être exprimé dans ces deux systèmes sous forme matricielle : ${\bold {OP}}_R = \binom{x_R}{y_R}$ et ${\bold {OP}}_B = \binom{x_B}{y_B}$ .

La relation entre les deux systèmes de coordonnées peut être décrite par une matrice de cosinus directeur (MCD), ou matrice de rotation, variant avec $\theta$ . Cette matrice transforme le vecteur $\bold{OP}$ du premier référentiel vers le second .

$\binom{x_B}{y_B} = \begin{pmatrix} cos \theta & sin \theta \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \binom{x_R}{y_R}$

Les éléments de la MCD correspondent aux produits scalaires des vecteurs de base. Le produit scalaire entre deux vecteurs unitaires correspond au cosinus de l'angle formé par ces vecteurs.

Appliquette interactive

Une appliquette interactive est disponible ici. Elle revient sur le changement de repère en 2D en permettant de projeter les coordonnées d'un point dans un référentiel en rotation par rapport à un autre.

Généralisation à l'espace à 3 dimensions

En 3 dimensions la MCD est une matrice de passage 3x3. L'expression d'un vecteur $\bold v_B$ dans à partir de son expression $\bold v_R$ dans s'écrit :

$\bold v_B = [T]_{B|R} \bold v_R$ avec $[T]_{B|R} = \begin{pmatrix} \bold B_x \cdot \bold R_x & \bold B_x \cdot \bold R_y & \bold B_x \cdot \bold R_z \\ \bold B_y \cdot \bold R_x & \bold B_y \cdot \bold R_y & \bold B_y \cdot \bold R_z \\ \bold B_z \cdot \bold R_x & \bold B_z \cdot \bold R_y & \bold B_z \cdot \bold R_z \end{pmatrix}$

On dit que la MCD décrit l'orientation de par rapport à . On l'appelle également matrice de rotation ou matrice de transformation des coordonnées de vers .

Rotations élémentaires

Trois rotations élémentaires de autour de chacun de ses trois axes se retrouvent décrites par les matrices de rotation suivantes :

$[T(\theta_1)]_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c_{\theta_1} & s_{\theta_1} \\ 0 & -s_{\theta_1} & c_{\theta_1} \end{pmatrix}$ , $[T(\theta_2)]_2 = \begin{pmatrix} c_{\theta_2} & 0 & -s_{\theta_2} \\ 0 & 1 & 0 \\ s_{\theta_2} & 0 & c_{\theta_2} \end{pmatrix}$ et $[T(\theta_3)]_3 = \begin{pmatrix} c_{\theta_3} & s_{\theta_3} & 0 \\ -s_{\theta_3} & c_{\theta_3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

où $[T(\theta_i)]_i$ indique une rotation d'angle $\theta_i$ autour du i-ème axe du référentiel fixé sur le corps.

Propriétés de la MCD

La MCD est une matrice orthogonale, ce qui signifie que son inverse est égal à sa transposée :

$[T]^{-1} = [T]^T$ et [T][T]^T = [I] = [T]^T[T]

$\bold v_R = [T]_{R|B}^T \bold v_B = \begin{pmatrix} \bold B_x \cdot \bold R_x & \bold B_y \cdot \bold R_x & \bold B_z \cdot \bold R_x \\ \bold B_x \cdot \bold R_y & \bold B_y \cdot \bold R_y & \bold B_z \cdot \bold R_y \\ \bold B_x \cdot \bold R_z & \bold B_y \cdot \bold R_z & \bold B_z \cdot \bold R_z \end{pmatrix}$

Les transformations successives entre référentiels peuvent être déterminées par une série de multiplications matricielles. Par exemple, la transformation du référentiel inertiel au référentiel du satellite peut être décomposée de la manière suivante : transformation du référentiel inertiel au référentiel fixé sur la Terre multipliée par la transformation du référentiel fixé sur la Terre au référentiel orbital, le tout multiplié par la transformation du repère orbital au repère du satellite.

$[T]_{sat|inertiel} = [T]_{sat|orbite} [T]_{orbite|Terre} [T]_{Terre|inertiel}$

Limitations de cette représentation

Malgré certains avantages, la MCD n'est pas toujours la représentation la plus adaptée. Elle utilise 9 paramètres pour décrire une orientation, parmi lesquels seulement 3 sont indépendants.

Angles d'Euler

Présentation des angles d'Euler

Les angles d'Euler sont les angles introduits par Leonhard Euler pour décrire l'orientation d'un solide. Ils peuvent être utilisés pour définir l'orientation d'un référentiel par rapport à un autre. On obtient une rotation en faisant varier l'un des trois angles d'Euler et une séquence de 3 rotations est suffisante pour décrire n'importe quelle transformation. La première rotation est effectuée selon n'importe quel axe, tandis que les deux suivantes ne peuvent jamais être effectuées autour d'un axe utilisé par la rotation précédente. Au total, 12 jeux d'angles d'Euler existent : (1,2,1), (1,2,3), (1,3,1), (1,3,2), (2,1,2), (2,1,3), (2,3,1), (2,3,2), (3,1,2), (3,1,3), (3,2,1), (3,2,3). L'ordre des rotations et la valeur des angles ne sont pas uniques et sont sujets à des singularités mathématiques.

Exemples

Appliquette interactive

Une appliquette interactive est disponible ici. Elle permet de visualiser dans l'espace les séquences d'Euler qui sont introduites dans cette section à titre d'exemple.

La séquence d'Euler la plus connue, nommée d'après lui, est la séquence (3,1,3). Elle a notamment été utilisée pour étudier le mouvement gyroscopique avec les trois rotations successives :
- La précession $\psi$ , autour de l'axe Oz, fait passer de (O,x,y,z) au référentiel (O,u,v,z) (en bleu).
- La nutation $\theta$ , autour de l'axe Ou (ligne des nœuds), fait passer de (O,u,v,z) à (O,u,w,z’) (en vert).
- La giration $\phi$ , ou rotation propre, autour de l'axe Oz’, fait passer de (O,u,w,z’) au référentiel lié au solide (O,x’,y’,z’) (en rouge).
Cette séquence peut également être utilisée pour décrire les paramètres orbitaux d'un satellite par rapport au référentiel inertiel centré sur la Terre. La première rotation correspond alors à l'angle du noeud ascendant, , autour de l'axe . La deuxième rotation est l'inclinaison, , autour de la ligne de noeuds. La dernière rotation est l'anomalie vraie, , autour de la normale à l'orbite.
La séquence (3-1-2) est souvent utilisée pour décrire l'orientation d'un satellite par rapport au référentiel orbital.
- La première rotation correspond au lacet, autour du nadir.
- La suivante est le roulis, autour de l'axe $\bold X$ du satellite.
- La dernière est le tangage.

Les angles d'Euler décrivent une rotation unique, ce qui est généralement un avantage par rapport à la MCD. Cependant, à une orientation donnée correspondent plusieurs jeux d'angles d'Euler.

De la séquence d'Euler à la MCD

Quelle que soit la séquence d'Euler, la MCD peut facilement être obtenue en multipliant les matrices de rotation élémentaires. Soit la séquence particulière suivante, décrivant l'orientation du référentiel par rapport au référentiel :

$[T(\theta_1)]_1 \leftarrow [T(\theta_2)]_2 \leftarrow [T(\theta_3)]_3$

$[T]_{B|A} = [T(\theta_1)]_1 [T(\theta_2)]_2 [T(\theta_3)]_3$ , donc : $[T]_{B|A} = \begin{pmatrix} c_{\theta_2} c_{\theta_3} & c_{\theta_2} s_{\theta_3} & -s_{\theta_2} \\ s_{\theta_1} s_{\theta_2} c_{\theta_3} - c_{\theta_1} s_{\theta_3} & s_{\theta_1} s_{\theta_2} s_{\theta_3} + c_{\theta_1} c_{\theta_3} & s_{\theta_1} c_{\theta_2} \\ c_{\theta_1} s_{\theta_2} c_{\theta_3} +s_{\theta_1} s_{\theta_3} & c_{\theta_1} s_{\theta_2} s_{\theta_3} - s_{\theta_1} c_{\theta_3} & c_{\theta_1} c_{\theta_2} \end{pmatrix}$

Nous avons utilisé les notations $c_{\theta} = cos \ \theta$ et $s_{\theta} = sin \ \theta$ .

Limites de cette représentation

D'une manière générale, les angles d'Euler déterminent une orientation unique, ce qui est un avantage sur la MCD. Des singularités apparaissent lorsque le deuxième angle d'Euler aligne les premier et troisième axes de rotation. Dans ce cas, cette description d'attitude à 3 degrés dégénère en une description à seulement 2 degrés de liberté. Cette condition est réalisée lorsque l'angle vaut 90 et 270 degrés pour les 6 rotations où les premier et troisième axes sont différents, et lorsque l'angle vaut 0 et 190 degrés pour les 6 rotations où les premier et troisième axes sont identiques.

Séquence d'Euler pour les paramètre orbitaux

La séquence d'Euler (3-1-3) correspond aux paramètres orbitaux habituellement utilisés pour un satellite en orbite terrestre : le nœud ascendant ( $\Omega$ ), l'inclinaison (

) et l'anomalie vraie ( $\nu$ ).

Crédit : Gary Quinsac

Séquence d'Euler pour les roulis, tangage et lacet

images/Satellite-roulis-tangage-lacet.png

La séquence d'Euler (3-1-2) correspond aux angles de roulis, tangage et lacet. Ils sont illustrés avec le satellite d'observation de la Terre SPOT 3.

Crédit : Gary Quinsac

Quaternions

Représentation 3D

Afin de s'affranchir du problème de singularité rencontré avec les angles d'Euler, une représentation de l'attitude composée de 4 éléments est introduite sous le nom de quaternion (dont les éléments sont appelés paramètres d'Euler). Cette construction mathématique est présentée plus en détail dans la partie suivante.

Présentation des quaternions

Considérons l'axe fixe de la rotation présentée dans le théorème d'Euler, ou vecteur propre $\bold e$ . C'est un vecteur unité possédant les mêmes composantes dans les référentiels de départ et d'arrivée : $\bold e_r = \bold e_b$ . Ainsi, 4 grandeurs sont requises pour décrire de façon non-ambigüe l'orientation par rapport à un référenciel : les 3 composantes de $\bold e$ et l'angle de la rotation, $\theta$ .

Les quaternions sont une combinaison de ces éléments disposés dans un vecteur de 4 éléments $\bold q$ . Le quaternion contient la même information qu'une MCD à 9 éléments, tout en s'affranchissant des problèmes de singularité rencontrés avec les angles d'Euler. Ils sont à la fois compacts et une représentation efficace de l'orientation pour la détermination d'attitude. Une même rotation est représentée par les quaternions $\bold q$ et $- \bold q$ . On note également que les quatre paramètres d'Euler ne sont pas indépendants, mais contraints par la relation suivante :

$\bold q^T \bold q = q_0^2 + q_1^2 + q_2^2 + q_3^2$

Pour le vecteur propre $\bold e_R = \bold e_B = \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \\ e_3 \end{pmatrix}$ , les paramètres d'Euler sont : $\bold q = \begin{pmatrix} q_0 \\ q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{pmatrix}$ , avec $q_0 = cos({\theta \over 2})$ , $q_1 = e_1 sin({\theta \over 2})$ , $q_2 = e_2 sin({\theta \over 2})$ et $q_3 = e_3 sin({\theta \over 2})$ .

Des quaternions à la MCD

De la même façon que l'on peut exprimer la MCD en fonction des angles d'Euler, elle peut être paramétrée en fonction d'un quaternion de la manière suivante :

$[T]_{B|R} = [T(\bold q)] = \begin{pmatrix} 1-2(q_2^2+q_3^2) & 2(q_1q_2+q_3q_0) & 2(q_1 q_3 - q_2 q_0) \\ 2(q_2q_1-q_3q_0) & 1-2(q_1^2+q_3^2) & 2(q_2q_3+q_1q_0) \\ 2(q_3q_1+q_2q_0) & 2(q_3q_2-q_1q_0) & 1-2(q_1^2+q_2^2) \end{pmatrix}$

Propriétés des quaternions

Il s'agit maintenant d'expliquer comment un quaternion vivant dans $\mathbb{R}^4$ peut opérer sur un vecteur vivant lui dans $\mathbb{R}^3$ . Notons tout d'abord qu'un vecteur est un quaternion pur dont la partie réelle est nulle. L'opérateur décrivant une rotation s'exprime avec le quaternion unitaire $\bold q$ : $L_q(\bold v) = \bold q \bold v \bold q^*$ . Le vecteur ainsi obtenu conserve la longueur du vecteur initial, comme le fait une rotation. Cet opérateur se développe de la manière suivante :

$L_q(\bold v) = \bold q \bold v \bold q^* = (q_0^2 - ||\bold q_{1:3}||^2) \bold v + 2(\bold q_{1:3} \cdot \bold v) \bold q_{1:3} + 2 q_0 (\bold q_{1:3} \times \bold v)$

Afin de comprendre cette expression il est nécessaire d'avoir compris la partie suivante qui s'intéresse à l'algèbre des quaternions.
Les séquences de rotation peuvent facilement être décrites par une multiplication des quaternions représentant les rotations successives. Soient les quaternions $\bold p$ et $\bold q$ décrivant respectivement les opérateurs et . Le premier opérateur est appliqué au vecteur $\bold u$ pour obtenir le vecteur $\bold v$ , puis le second est appliqué à $\bold v$ pour obtenir $\bold w$ . La composition des opérateurs $L_q \circ L_p$ s'écrit :

$\bold w = L_q(\bold v) = \bold q \bold v \bold q^* = \bold q (\bold p \bold u \bold p^*) \bold q = (\bold q \bold p) \bold u (\bold q \bold p) = L_{qp}(\bold u)$

Avantage des quaternions

Un avantage inhérent à cette représentation est que les équations de la cinématique deviennent purement algébriques et ne contiennent plus de fonctions trigonométriques.

Présentation mathématique

Les quaternions sont un système de nombres premièrement décrits par William Rowan Hamilton en 1843 appliqué à la mécanique et à l'espace à 3 dimensions.

William Rowan Hamilton

Sir William Rowan Hamilton (04/08/1805 - 02/09/1865) est un mathématicien, physicien et astronome irlandais (né et mort à Dublin). Outre sa découverte des quaternions, il contribua également au développement de l'optique, de la dynamique et de l'algèbre. Ses recherches se révélèrent importantes pour le développement de la mécanique quantique.

William Rowan Hamilton

Peinture de Sir William Rowan Hamilton.

Crédit : Domaine public

Définition mathématique

Un quaternion q est une expression de la forme :

$\bold q = q_o + q_1 i + q_2 j + q_3 k$

où , , , sont des nombres réels, et , , sont des symboles respectant les relations quaternioniques :

$i^2 = j^2 = k^2 = i \ j \ k = -1$

Par analogie avec les nombres complexes, est appelé partie réelle de $\bold q$ et est appelé partie imaginaire.
L'ensemble des quaternions est un espace vectoriel de dimension 4 et de base $\{1,i,j,k\}$ où s'applique l'addition composant par composant. Soient deux quaternions $\bold p$ et $\bold q$ :

$\bold p + \bold q = p_0 + q_0 + (p_1 + q_1)i + (p_2 + q_2)j + (p_3 + q_3)k$
Afin d'introduire la multiplication, il faut d'abord introduire le produit hamiltonien. Les produits des éléments de base , et sont définis de la manière suivante :

$\begin{cases} i^2 = j^2 = k^2 = i \ j \ k = -1 \\ i \ j = k = -j \ i \\ j \ k = i = -k \ j \\ k \ i = j = -i \ k \end{cases}$

La multiplication de quaternions est associative et distributive, mais pas commutative en général. Pour les quaternions q et p elle est définie par :

$\bold q \ \bold p = \binom{q_0 p_0 - \bold q_{1:3} \cdot \bold p_{1:3}}{q_0 \bold p_{1:3} + p_0 \bold q_{1:3} + \bold q_{1:3} \wedge \bold p_{1:3}}$

Elle peut être représentée par une multiplication matricielle. Dans ce cas, une matrice composée de valeurs du premier quaternion vient multiplier le second quaternion, tel que : $\bold q \ \bold p = [Q(\bold q)] \bold p$

avec $[Q(\bold q)] = \begin{pmatrix} q_0 & -q_1 & -q_2 & -q_3 \\ q_1 & q_0 & -q_3 & q_2 \\ q_2 & q_3 & q_0 & -q_1 \\ q_3 & -q_2 & q_1 & q_0 \end{pmatrix}$ .
Le conjugué, la norme et l'inverse des quaternions $\bold p$ et $\bold q$ sont :

$\bold q^* = q_0 - q_1 \ i - q_2 \ j - q_3 \ k$ et $(\bold p \ \bold q)^* = \bold q^* \ \bold p^*$

$||\bold q|| = \sqrt{\bold q \ \bold q^*} = \sqrt{\bold q^* \ \bold q} = \sqrt{q_0^2 + q_1^2 + q_2^2 + q_3^2}$ et $||\bold p \ \bold q|| = ||\bold p|| \ ||\bold q||$

$\bold q^{-1} = {{\bold q^*} \over {||\bold q||^2}}$

Autre représentation

Une autre façon de présenter un quaternion consiste à dire que q_0 est la partie scalaire de vecteur(q) et q_1 i + q_2 j + q_3 k est la partie vectorielle. Ainsi, la partie scalaire est toujours réelle et la partie vectorielle toujours purement imaginaire. Bien que l'on ait dit qu'un quaternion est un vecteur dans un espace à 4 dimensions, il est courant de définir un vecteur pour la partie imaginaire d'un quaternion : $\bold q_{1:3} = q_1 i + q_2 j + q_3 k$ et $\bold q = q_0+\bold q_{1:3}$

Réferentiels et transformations

Systèmes de coordonnées

Généralités

Système de coordonnées inertiel

Termes d'inertie

Systèmes de coordonnées célestes

Système de coordonnées horizontales

Système de coordonnées équatoriales

Système de coordonnées écliptiques

Système de coordonnées galactiques

Appliquette interactive

Systèmes de coordonnées spatiaux

Appliquette interactive

Référentiel héliocentrique

Référentiel géocentrique (ECI)

Point vernal "vrai"

Référentiel terrestre (ECEF)

Remarque

Repère orbital

Référentiel satellite

Repère instruments

Représentation d'attitude

Introduction

Théorème d'Euler

Matrice du cosinus directeur

Changement de repère en 2D

Appliquette interactive

Généralisation à l'espace à 3 dimensions

Rotations élémentaires

Propriétés de la MCD

Limitations de cette représentation

Angles d'Euler

Présentation des angles d'Euler

Exemples

Appliquette interactive

De la séquence d'Euler à la MCD

Limites de cette représentation

Quaternions

Représentation 3D

Présentation des quaternions

Des quaternions à la MCD

Propriétés des quaternions

Avantage des quaternions

Présentation mathématique

William Rowan Hamilton

Définition mathématique

Autre représentation