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Auteurs: Thomas Navarro, Arianna Piccialli

Coordonnées sphériques

Comme toute équation de la physique, les équations régissant la dynamique atmosphérique doivent s'exprimer dans un système de coordonnées et un référentiel choisis arbitrairement. Un tel système naturellement adapté à une sphère, et donc à une planète, sont les coordonnées sphériques (r,\varphi,\theta), où r est la distance au centre de la sphère, \varphi est la l'angle de la longitude, et \theta est l'angle de la latitude.

On définit également un repère local pour tout point de l'espace de coordonnées (x,y,z), avec comme base le triplet (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) où \vec{i} est dirigé vers l'Est, \vec{j} dirigé vers le Nord, et \vec{k} selon la verticale locale vers le haut. Le référentiel d'étude est ce référentiel local, lié à la rotation de la planète, il s'agit donc d'un référentiel tournant, donc non galiléen.

Pour résumer, on travaille dans deux référentiels différents, ce qui donne trois systèmes de coordonnées différents :

  1. Le référentiel de la planète, qui tourne avec elle, dans un système de coordonnées cartésiennes (axes X,Y,Z).
  2. Le référentiel de la planète, qui tourne avec elle, dans un système de coordonnées sphériques (coordonnées r,\varphi,\theta).
  3. Un référentiel local, de base (\vec i,\vec j, \vec k), qui est un système de coordonnées cartésiennes.
Système de coordonnées sphériques
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Crédit : Arianna Piccialli

L'exercice suivant permet de se familiariser avec la manipulation mathématique des coordonnées et des repères. Les resultats serviront à établir l'équation fondamentale de la dynamique.

exerciceExercice

Question 1)

Montrer que dans le référentiel de la planète, un point de coordonnées sphériques \left( \begin{array}{c} r\\ \varphi \\ \theta \end{array} \right) a pour coordonnées cartésiennes \left( \begin{array}{c} r\cos\theta\cos\varphi \\ r\cos\theta\sin\varphi \\ r\sin\theta \end{array} \right)

Question 2)

Exprimer \vec i, \vec j et \vec k dans le repère de la planète en fonction des angles \varphi et \theta

Question 3)

Montrer qu'une vitesse dans le référentiel local \left( \begin{array}{c} u\\ v \\ w \end{array} \right) au point de coordonnées sphériques \left( \begin{array}{c} r\\ \varphi \\ \theta \end{array} \right) s'exprime par \vec U = r\cos\theta\frac{d\varphi}{dt}\vec i+r\frac{d\theta}{dt}\vec j + \frac{dr}{dt}\vec k.

Question 4)

Exprimer \frac{d\vec i}{dt}, \frac{d\vec j}{dt} et \frac{d\vec k}{dt} en fonction de (u,v,w), (r,\varphi,\theta) et (\vec i,\vec j, \vec k).

Forces apparentes

Pour résoudre les équations régissant une atmosphère, on se place dans le référentiel local, lui-même dans un référentiel tournant avec la planète. Ce référentiel n'est pas inertiel, c'est-à-dire qu'il est en accélération par rapport à un référentiel inertiel. Afin de poser le principe fondamental de la dynamique, il est essentiel de tenir de compte de l'accélération apparente du référentiel d'étude, sous la forme de pseudo-forces.

remarquePrécision

Traditionnellement et pour des raisons pratiques on parle de force, ou pseudo-force, en multipliant l'accélération apparente par la masse de l'objet. On parlera ici plutôt de l'accélération d'une force apparente afin de s'affranchir du terme de masse, qui disparaitra dans les équations finales.

Les deux forces apparentes à considérer dans le cas d'une atmosphère sont la force centrifuge et la force de Coriolis.

definitionProduit vectoriel

L'expression mathématique des forces apparentes requiert l'emploi du produit vectoriel, défini ainsi:

Le produit vectoriel \mathbf{C} des vecteurs \mathbf{A} et \mathbf{B} s'écrit \mathbf{C}=\mathbf{A}\times\mathbf{B} et correspond au vecteur orthogonal à la fois à \mathbf{A} et \mathbf{B} tel que le triplet (\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}) soit de sens direct. et que le module du produit soit \| \mathbf{C}\| = \| \mathbf{A}\| \| \mathbf{B}\| \sin \alpha où \alpha est l'angle direct de \mathbf{A} vers \mathbf{B}. Ainsi, si \mathbf{A} et \mathbf{B} sont colinéaires, leur produit vectoriel sera le vecteur nul.

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\mathbf{A}, \mathbf{B} et \mathbf{C} forment une base directe puisque \sin \alpha est positif. Si \sin \alpha était négatif, la base serait dans le sens indirect.
Crédit : Thomas Navarro

Le produit vectoriel s'écrit avec des coordonnées dans un système cartésien uniquement :

\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_az_b-z_ay_b \\ z_ax_b-x_az_b \\ x_ay_b-y_ax_b \end{array} \right)

Cette relation n'est pas valable en coordonnées sphériques. Il faut faire la transformartion en coordonnées cartésiennes pour pouvoir utiliser cette relation.

Force centrifuge

definitionForce centrifuge

La force centrifuge est la force apparente due au fait que le référentiel d'étude est en rotation, donc en accélération. En effet, l'orientation de la vitesse d'un point lié à la planète varie, mais pas son module. Ainsi, une particule au repos dans un référentiel galiléen aura une force apparente dans le référentiel de la planète.

On définit le vecteur rotation \mathbf{\Omega} comme étant le vecteur orienté selon l'axe de rotation de la planète et de module \|\mathbf{\Omega}\| = \Omega = \frac{2\pi}{T} avec T la période de rotation de la planète. L'accélération de la force centrifuge s'exprime \mathbf{a_{ce}}}=-\mathbf{\Omega}\times(\mathbf{\Omega}\times\mathbf{l}) avec \mathbf{l} le vecteur position depuis l'axe de rotation où la force s'applique. Dans un système de coordonnées sphériques, on a \|\mathbf{l}\|=\|\mathbf{r}\|\cos{\theta}, avec \mathbf{r} le vecteur position depuis le centre de la planète.

Une autre manière de l'exprimer est de dire qu'il s'agit d'une accélération perpendiculaire à l'axe de rotation, orientée vers l'extérieur et de valeur r\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\cos\theta = r\Omega^2\cos\theta

La force centrifuge est regroupée avec la force de gravité, dont l'accélération vaut \mathbf{g_m} = -g_m\vec k, l'indice m faisant référence à la masse de la planète. On obtient une force dont l'accélération totale est \mathbf{g} = -\mathbf{\Omega}\times(\mathbf{\Omega}\times\mathbf{l})+\mathbf{g_m}. Cette force dérive d'un potentiel, qu'on appelle le géopotentiel, somme de l'action de la gravité et de la force centrifuge.

exerciceExercices de démonstration et d'acquisition du cours

Question 1)

Démontrer par l'analyse ou par un schéma en 3D que \mathbf{\Omega}\times(\mathbf{\Omega}\times\mathbf{l}) correspond bien à une accélération perpendiculaire à l'axe de rotation, orientée vers l'extérieur et de valeur r\Omega^2 \cos\theta. Comment s'exprime cette accélération dans le référentiel local ?

Question 2)

Par la suite on fait l'approximation que pour l'accélération due au géopotentiel, on peut se contenter de considérer sa composante uniquement suivant l'axe \vec k pour l'additionner à la pesanteur, ceci afin de simplifier les équations du problème. Afin de s'assurer que cette approximation reste acceptable, quelle est l'erreur maximale faite dans le cas de la Terre si on ne considère pas les autres composantes de l'accélération due au géopotentiel ? Quelle est cette erreur relativement à l'accélération de pesanteur ? Et pour Jupiter ?

Force de Coriolis

Dans un référentiel en rotation, une autre force apparente est à prendre en compte lors d'un déplacement. Il s'agit de la force de Coriolis, qui tient compte du fait que le déplacement d'une particule génère une accélération apparente supplémentaire. Par exemple, le mouvement rectiligne d'une particule est apparement dévié pour un observateur situé dans un référentiel tournant.

L'accélération de la force de Coriolis s'exprime \mathbf{a_{co}}}=-2\mathbf{\Omega}\times\mathbf{U} avec \mathbf{U} le vecteur vitesse de la parcelle d'air considérée.

La vitesse \mathbf{U} d'une parcelle d'air dans l'atmosphère est généralement orientée parallèlement à la surface locale, c'est-à-dire que sa composante radiale (c'est-à-dire sa composante verticale locale) est en générale petit par rapport à au moins une des deux autres. En négligeant la composante radiale, on constate les choses suivantes :

Ceci explique pourquoi certaines structures atmosphériques, tels les ouragans ou les anticyclones, tournent toujours dans le sens des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord, et dans le sens contraire dans l'autre hémisphère.

exerciceExercice de démonstration et d'acquisition du cours

Question 1)

Démontrer par l'analyse ou par un schéma en 3D les 3 points ci-dessus.

Formalisme eulérien ou lagrangien

Les écoulements atmosphériques peuvent être décrits en utilisant deux points de vue classiques, appelés eulérien ou lagrangien :

prerequisDescription eulérienne

L'écoulement est suivi par un observateur depuis une position fixe. C'est le cas, par exemple, d'un atterrisseur sur Mars fixé au sol qui mesure la vitesse du vent, la température, ou la pression. Cette description est souvent préférée car elle est la plus pratique.

prerequisDescription lagrangienne

Dans ce cas, les particules fluides sont suivies le long de leurs trajectoires. C'est la description la plus intuitive.

rappelDérivée particulaire

Les descriptions lagrangienne et eulérienne sont liées à travers la dérivée particulaire, encore appelée dérivée totale, et qui s'écrit D/Dt. Soit \textbf{A}[\textbf{r}(t)] une grandeur physique vectorielle de l'écoulement, dépendant du point d'observation \textbf{r}=(x, y, z) et du temps t. La variation de la grandeur \textbf{A} s'écrit :

\underbrace{\frac{D\textbf{A}}{Dt}}_\text{\textrm{Variation lagrangienne}}=\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{t}}}+\left(\frac{dx}{dt}\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{x}}}+\frac{dy}{dt}\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{y}}}+\frac{dz}{dt}\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{z}}}\right)=\underbrace{\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{t}}}}_\text{\textrm{Variation eul\'{e}rienne}}+\underbrace{(\mathbf{U}\cdot{\nabla})\textbf{A}}}_\text{\textrm{Terme d'advection}}

Où \mathbf{U}=u\vec{i}+v\vec{j}+w\vec{k} est la vitesse du fluide avec composants: u={dx}/{dt}, v={dy}/{dt}, w={dz}/{dt}.

Dans la cas où la grandeur est un champ scalaire f[\textbf{r}(t)], la relation est la même.

La dérivée particulaire décrit la variation avec le temps en suivant la particule en mouvement (point de vue lagrangien), en revanche \partial{\textbf{A}}}/\partial{\mathrm{t} décrit la variation locale avec le temps en un point d'observation fixé (point de vue eulérien) .

Réponses aux exercices

pages_fluide-dynamique/coord-sphere.html

Exercice