La circulation atmosphérique générale : Page pour l'impression

Comme toute équation de la physique, les équations régissant la dynamique atmosphérique doivent s'exprimer dans un système de coordonnées et un référentiel choisis arbitrairement. Un tel système naturellement adapté à une sphère, et donc à une planète, sont les coordonnées sphériques $(r,\varphi,\theta)$ , où est la distance au centre de la sphère, $\varphi$ est la l'angle de la longitude, et $\theta$ est l'angle de la latitude.

On définit également un repère local pour tout point de l'espace de coordonnées (x,y,z) , avec comme base le triplet $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ où $\vec{i}$ est dirigé vers l'Est, $\vec{j}$ dirigé vers le Nord, et $\vec{k}$ selon la verticale locale vers le haut. Le référentiel d'étude est ce référentiel local, lié à la rotation de la planète, il s'agit donc d'un référentiel tournant, donc non galiléen.

Pour résumer, on travaille dans deux référentiels différents, ce qui donne trois systèmes de coordonnées différents :

Le référentiel de la planète, qui tourne avec elle, dans un système de coordonnées cartésiennes (axes ).
Le référentiel de la planète, qui tourne avec elle, dans un système de coordonnées sphériques (coordonnées $r,\varphi,\theta$ ).
Un référentiel local, de base $(\vec i,\vec j, \vec k)$ , qui est un système de coordonnées cartésiennes.

Système de coordonnées sphériques

Crédit : Arianna Piccialli

L'exercice suivant permet de se familiariser avec la manipulation mathématique des coordonnées et des repères. Les resultats serviront à établir l'équation fondamentale de la dynamique.

Exercice

Question 1)

Montrer que dans le référentiel de la planète, un point de coordonnées sphériques $\left( \begin{array}{c} r\\ \varphi \\ \theta \end{array} \right)$ a pour coordonnées cartésiennes $\left( \begin{array}{c} r\cos\theta\cos\varphi \\ r\cos\theta\sin\varphi \\ r\sin\theta \end{array} \right)$

Question 2)

Exprimer $\vec i$ , $\vec j$ et $\vec k$ dans le repère de la planète en fonction des angles $\varphi$ et $\theta$

Question 3)

Montrer qu'une vitesse dans le référentiel local $\left( \begin{array}{c} u\\ v \\ w \end{array} \right)$ au point de coordonnées sphériques $\left( \begin{array}{c} r\\ \varphi \\ \theta \end{array} \right)$ s'exprime par $\vec U = r\cos\theta\frac{d\varphi}{dt}\vec i+r\frac{d\theta}{dt}\vec j + \frac{dr}{dt}\vec k$ .

Question 4)

Exprimer $\frac{d\vec i}{dt}$ , $\frac{d\vec j}{dt}$ et $\frac{d\vec k}{dt}$ en fonction de (u,v,w) , $(r,\varphi,\theta)$ et $(\vec i,\vec j, \vec k)$ .

Forces apparentes

Pour résoudre les équations régissant une atmosphère, on se place dans le référentiel local, lui-même dans un référentiel tournant avec la planète. Ce référentiel n'est pas inertiel, c'est-à-dire qu'il est en accélération par rapport à un référentiel inertiel. Afin de poser le principe fondamental de la dynamique, il est essentiel de tenir de compte de l'accélération apparente du référentiel d'étude, sous la forme de pseudo-forces.

Précision

Traditionnellement et pour des raisons pratiques on parle de force, ou pseudo-force, en multipliant l'accélération apparente par la masse de l'objet. On parlera ici plutôt de l'accélération d'une force apparente afin de s'affranchir du terme de masse, qui disparaitra dans les équations finales.

Les deux forces apparentes à considérer dans le cas d'une atmosphère sont la force centrifuge et la force de Coriolis.

Produit vectoriel

L'expression mathématique des forces apparentes requiert l'emploi du produit vectoriel, défini ainsi:

Le produit vectoriel $\mathbf{C}$ des vecteurs $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ s'écrit $\mathbf{C}=\mathbf{A}\times\mathbf{B}$ et correspond au vecteur orthogonal à la fois à $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ tel que le triplet $(\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C})$ soit de sens direct. et que le module du produit soit $\| \mathbf{C}\| = \| \mathbf{A}\| \| \mathbf{B}\| \sin \alpha$ où $\alpha$ est l'angle direct de $\mathbf{A}$ vers $\mathbf{B}$ . Ainsi, si $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ sont colinéaires, leur produit vectoriel sera le vecteur nul.

$\mathbf{A}$ , $\mathbf{B}$ et $\mathbf{C}$ forment une base directe puisque $\sin \alpha$ est positif. Si $\sin \alpha$ était négatif, la base serait dans le sens indirect.

Crédit : Thomas Navarro

Le produit vectoriel s'écrit avec des coordonnées dans un système cartésien uniquement :

$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_az_b-z_ay_b \\ z_ax_b-x_az_b \\ x_ay_b-y_ax_b \end{array} \right)$

Cette relation n'est pas valable en coordonnées sphériques. Il faut faire la transformartion en coordonnées cartésiennes pour pouvoir utiliser cette relation.

Force centrifuge

La force centrifuge est la force apparente due au fait que le référentiel d'étude est en rotation, donc en accélération. En effet, l'orientation de la vitesse d'un point lié à la planète varie, mais pas son module. Ainsi, une particule au repos dans un référentiel galiléen aura une force apparente dans le référentiel de la planète.

On définit le vecteur rotation $\mathbf{\Omega}$ comme étant le vecteur orienté selon l'axe de rotation de la planète et de module $\|\mathbf{\Omega}\| = \Omega = \frac{2\pi}{T}$ avec la période de rotation de la planète. L'accélération de la force centrifuge s'exprime $\mathbf{a_{ce}}}=-\mathbf{\Omega}\times(\mathbf{\Omega}\times\mathbf{l})$ avec $\mathbf{l}$ le vecteur position depuis l'axe de rotation où la force s'applique. Dans un système de coordonnées sphériques, on a $\|\mathbf{l}\|=\|\mathbf{r}\|\cos{\theta}$ , avec $\mathbf{r}$ le vecteur position depuis le centre de la planète.

Une autre manière de l'exprimer est de dire qu'il s'agit d'une accélération perpendiculaire à l'axe de rotation, orientée vers l'extérieur et de valeur $r\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\cos\theta = r\Omega^2\cos\theta$

La force centrifuge est regroupée avec la force de gravité, dont l'accélération vaut $\mathbf{g_m} = -g_m\vec k$ , l'indice faisant référence à la masse de la planète. On obtient une force dont l'accélération totale est $\mathbf{g} = -\mathbf{\Omega}\times(\mathbf{\Omega}\times\mathbf{l})+\mathbf{g_m}$ . Cette force dérive d'un potentiel, qu'on appelle le géopotentiel, somme de l'action de la gravité et de la force centrifuge.

Exercices de démonstration et d'acquisition du cours

Question 1)

Démontrer par l'analyse ou par un schéma en 3D que $\mathbf{\Omega}\times(\mathbf{\Omega}\times\mathbf{l})$ correspond bien à une accélération perpendiculaire à l'axe de rotation, orientée vers l'extérieur et de valeur $r\Omega^2 \cos\theta$ . Comment s'exprime cette accélération dans le référentiel local ?

Question 2)

Par la suite on fait l'approximation que pour l'accélération due au géopotentiel, on peut se contenter de considérer sa composante uniquement suivant l'axe $\vec k$ pour l'additionner à la pesanteur, ceci afin de simplifier les équations du problème. Afin de s'assurer que cette approximation reste acceptable, quelle est l'erreur maximale faite dans le cas de la Terre si on ne considère pas les autres composantes de l'accélération due au géopotentiel ? Quelle est cette erreur relativement à l'accélération de pesanteur ? Et pour Jupiter ?

Force de Coriolis

Dans un référentiel en rotation, une autre force apparente est à prendre en compte lors d'un déplacement. Il s'agit de la force de Coriolis, qui tient compte du fait que le déplacement d'une particule génère une accélération apparente supplémentaire. Par exemple, le mouvement rectiligne d'une particule est apparement dévié pour un observateur situé dans un référentiel tournant.

L'accélération de la force de Coriolis s'exprime $\mathbf{a_{co}}}=-2\mathbf{\Omega}\times\mathbf{U}$ avec $\mathbf{U}$ le vecteur vitesse de la parcelle d'air considérée.

La vitesse $\mathbf{U}$ d'une parcelle d'air dans l'atmosphère est généralement orientée parallèlement à la surface locale, c'est-à-dire que sa composante radiale (c'est-à-dire sa composante verticale locale) est en générale petit par rapport à au moins une des deux autres. En négligeant la composante radiale, on constate les choses suivantes :

A l'équateur l'accélération de Coriolis est orientée selon l'axe radial, c'est-à-dire vers le haut ou vers le bas.
Dans l'hémisphère Nord, sa projection sur le plan de la surface locale est orientée à droite du vecteur vitesse $\mathbf{U}$
Dans l'hémisphère Sud, sa projection sur le plan de la surface locale est orientée à gauche du vecteur vitesse $\mathbf{U}$

Ceci explique pourquoi certaines structures atmosphériques, tels les ouragans ou les anticyclones, tournent toujours dans le sens des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord, et dans le sens contraire dans l'autre hémisphère.

Exercice de démonstration et d'acquisition du cours

Question 1)

Démontrer par l'analyse ou par un schéma en 3D les 3 points ci-dessus.

Formalisme eulérien ou lagrangien

Les écoulements atmosphériques peuvent être décrits en utilisant deux points de vue classiques, appelés eulérien ou lagrangien :

Description eulérienne

L'écoulement est suivi par un observateur depuis une position fixe. C'est le cas, par exemple, d'un atterrisseur sur Mars fixé au sol qui mesure la vitesse du vent, la température, ou la pression. Cette description est souvent préférée car elle est la plus pratique.

Description lagrangienne

Dans ce cas, les particules fluides sont suivies le long de leurs trajectoires. C'est la description la plus intuitive.

Dérivée particulaire

Les descriptions lagrangienne et eulérienne sont liées à travers la dérivée particulaire, encore appelée dérivée totale, et qui s'écrit D/Dt . Soit $\textbf{A}[\textbf{r}(t)]$ une grandeur physique vectorielle de l'écoulement, dépendant du point d'observation $\textbf{r}=(x, y, z)$ et du temps . La variation de la grandeur $\textbf{A}$ s'écrit :

$\underbrace{\frac{D\textbf{A}}{Dt}}_\text{\textrm{Variation lagrangienne}}=\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{t}}}+\left(\frac{dx}{dt}\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{x}}}+\frac{dy}{dt}\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{y}}}+\frac{dz}{dt}\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{z}}}\right)=\underbrace{\frac{\partial{\textbf{A}}}{\partial{\mathrm{t}}}}_\text{\textrm{Variation eul\'{e}rienne}}+\underbrace{(\mathbf{U}\cdot{\nabla})\textbf{A}}}_\text{\textrm{Terme d'advection}}$

Où $\mathbf{U}=u\vec{i}+v\vec{j}+w\vec{k}$ est la vitesse du fluide avec composants: u={dx}/{dt} , v={dy}/{dt} , w={dz}/{dt} .

Dans la cas où la grandeur est un champ scalaire $f[\textbf{r}(t)]$ , la relation est la même.

La dérivée particulaire décrit la variation avec le temps en suivant la particule en mouvement (point de vue lagrangien), en revanche $\partial{\textbf{A}}}/\partial{\mathrm{t}$ décrit la variation locale avec le temps en un point d'observation fixé (point de vue eulérien) .

Équations de la dynamique

L'équation fondamentale de la dynamique

Le mouvement d'une particule dans un fluide est décrit par la deuxième loi de Newton (conservation de la quantité de mouvement) qui lorsqu'elle est appliquée à la mécanique des fluides donne l'équation de Navier-Stokes. Dans un système en rotation l'équation du mouvement d'une parcelle de fluide est:

$\rho\frac{D\mathbf{U}}{Dt}=\Sigma\mathbf{F}$ avec $\mathrm{D}/\mathrm{Dt}$ est la dérivée particulaire qui s'écrit $\mathrm{D}/\mathrm{Dt}={\partial{}}/\partial{\mathrm{t}}+\mathbf{U}\cdot{\nabla}$ , $\mathbf{U}$ la vitesse du fluide, $\Sigma\mathbf{F}$ la somme des forces s'appliquant sur la parcelle et $\rho$ la densité du fluide.

Soit en détaillant les forces :

$\frac{D\mathbf{U}}{Dt}=\mathbf{a_{co}}+\frac{\mathbf{F_{p}}}{\rho}+\mathbf{g}+\mathbf{F_r}$

avec $\mathbf{a_{co}}$ l'accélération de la force de Coriolis, $\mathbf{F_p}$ les forces dues au gradient de pression, $\mathbf{g}$ l'accélération du géopotentiel, et $\mathbf{F_r}$ qui désigne l'accélération dues à la viscosité. Ce qui donne :

$\frac{D\mathbf{U}}{Dt}=-2\mathbf{\Omega}\times\mathbf{U}-\frac{1}{\rho}\nabla{p}+\mathbf{g}+\mathbf{F_r}$ (1)

où $\mathbf{\Omega}$ est le vecteur de rotation de la planète $\nabla{p}$ est le gradient de pression.

Exercice

Question 1)

Comment s'exprime l'accélération de la force de Coriolis $-2\mathbf{\Omega}\times\mathbf{U}$ dans le repère local ?

Les équations en coordonnées sphériques

On a $\frac{D\mathbf{U}}{Dt} = \frac{D(u\vec i)}{Dt} + \frac{D(v\vec j)}{Dt} + \frac{D(w\vec k)}{Dt}$ . Or il a été vu en exercice les expressions des dérivées temporelles des vecteurs $\vec i$ , $\vec j$ et $\vec k$ . Ceci nous permet d'établir les équations de Navier-Stokes dans le référentiel local, en notant que $\mathbf{g}=-g\vec k$ et $\mathbf{F_r}=F_{rx}\vec i + F_{ry}\vec j +F_{rz}\vec k$ :

Ce système d'équations décrit tous les types de mouvements atmosphériques à toutes les échelles. Ces équations sont compliquées à résoudre, mais dans bien des cas utiliser une approximation est suffisante pour modéliser de nombreux phénomènes atmosphériques dynamiques.

Exercice

Question 1)

Déduire les équations de Navier-Stokes en coordonnées sphériques données ci-dessus à partir de l'équation fondamentale de la dynamique (Equation 1).

Les équations primitives

Approximations

Les équations de la dynamique sont très compliquées car elles forment un système non linéaire. Ceci signifie que la somme de deux solutions n'est pas forcément solution du problème, ce qui rend la résolution de ces équations très ardue, et à ce jour encore source de recherches. Cependant, en fonction des phénomènes étudiés et des caractéristiques de l'atmosphère planétaire, certains termes de ces équations peuvent en dominer d'autres. Pour estimer les différents termes dans les équations, on utilise la méthode de l'analyse d'échelle. Les ordres de grandeur des différents termes en jeu dans les équations fondamentales de la dynamique seront très différents selon l'échelle des écoulements que l'on souhaite étudier. Dans le tableau ci-dessous on compare les termes dominants sur les planètes à rotation rapide (la Terre) avec ceux sur les planètes à rotation lente (Vénus):

Termes dominants dans les équations de la dynamique
				$2\Omega\sin\theta{U}$	$2\Omega\sin\theta{W}$	$\mathbf{F_r}$
Terre	10^-5	10^-5	10^-8	10^-3	10^-6	10^-12
Vénus	10^-3	10^-5	10^-5	10^-5	10^-7	10^-12

avec le rayon de la planète. On a r=a+z , où est l'altitude depuis la surface.

On peut alors appliquer les approximations suivantes:

L'épaisseur verticale de l'atmosphère est petite par rapport au le rayon de la planète. Par conséquence, on remplace la distance au centre de la planète par le rayon de la planète avec une erreur négligeable. Dans ce cas, les dérivées $\partial}/{\partial{r}$ deviennent $\partial}/{\partial{z}$ où est l'altitude.
Les trois composantes du terme de friction moléculaire $\mathbf{F_r}$ ont un ordre de grandeur de 10^-12m s^-2et peuvent être négligées pour tous les écoulements, sauf pour les mouvements turbulents à petite échelle près du sol.
Les vitesses verticales sont beaucoup plus petites que les vitesses horizontales, donc on néglige tous les termes contenant .
Dans le cas de mouvements à grande échelle, on suppose l'équilibre hydrostatique :

$\frac{\partial{p}}{\partial{z}}=-g\rho$

On obtient alors les équations primitives de la météorologie :

Mouvement horizontal:

$\frac{Du}{Dt}-2\Omega{v}\sin\theta-\frac{uv\tan\theta}{a}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{x}}$

$\label{Navier_stokes_2}\frac{Dv}{Dt}+2\Omega{u}\sin\theta+\frac{u^2\tan\theta}{a}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$

Equilibre hydrostatique vertical:

$\frac{\partial{p}}{\partial{z}}=-g\rho$

À ce système d'équations on ajoute l'équation des gaz parfaits:

Equation d'état:

$\frac{p}{\rho} = \frac{RT}{M}$

Avec $R=8.31~ \mathrm{J}\cdot \mathrm{mol}^{-1}\cdot \mathrm{K}^{-1}$ la constante universelle des gaz parfaits et la masse molaire du gaz qui constitue l'atmosphère, et dépend donc de sa composition. Pour l'air terrestre, on a $M = 29\times10^{-3}~ \mathrm{kg}\cdot \mathrm{mol}^{-1}$

ainsi que l'équation de conservation de la masse:

Equation de continuité:

$\frac{\partial{p}}{\partial{t}}+\mathrm{div}(\rho\mathbf{U})=0$

Enfin, le premier principe de la thermodynamique:

Premier principe de la thermodynamique:

$\frac{c_p}{\theta}\frac{d\theta}{dt}=\frac{Q}{T}$

Avec le forçage diabatique et $\theta$ la température potentielle : $\theta=T\left[\frac{p_0}{p}\right]^{\kappa}$ , où $\kappa=\frac{R}{M\cdot c_p}$ , c_p la chaleur spécifique à pression constante et p_0 une pression de référence.

On obtient ainsi 6 équations avec 6 inconnues ( $u,v,w,p,\rho,T$ ).

Ce système d'équations primitives est le plus complet utilisé pour l'étude de la circulation générale de l'atmosphère. C'est notamment celui utilisé par les modèles de circulation générale.

Les équilibres dynamiques

Équilibre géostrophique

Les équilibres géostrophique et cyclostrophique sont deux approximations des équations primitives. Ils sont purement diagnostiques : ils ne contiennent pas de dérivées dans le temps, d'où l'impossibilité de faire des prédictions. Néanmoins, ils sont des outils puissants pour décrire différents écoulements observés dans les planètes.

L'équilibre géostrophique

L'approximation géostrophique est un développement des équations primitives utilisée aux moyennes latitudes sur les planètes à rotation rapide (Terre, Mars). On suppose l'équilibre entre la force de Coriolis et la force due au gradient horizontal de pression. La force centrifuge est négligée.

$2\Omega\sin\theta{v}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{x}}$

$2\Omega\sin\theta{u}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$

D'après ces équations, lorsque cet équilibre est valide, la vitesse du vent est directement proportionnelle au gradient horizontal de pression. Notez que l'équilibre géostrophique cesse d'être valide autour des latitudes équatoriales.

Force en action en équilibre géostrophique

Crédit : Arianna Piccialli

Vent géostrophique

En combinant les deux composantes de la vitesse, on peut introduir le vent géostrophique comme :

$\mathbf{V_g} = u_g\vec i+v_g\vec j=\vec k\times\frac{1}{{\rho}f}\nabla{P}$

Équilibre cyclostrophique

L'équilibre cyclostrophique

La circulation générale des planètes à rotation lente (Vénus, Titan), aussi bien que les vortex et les tourbillons sur toutes les planètes, peut être approximée par l'équilibre cyclostrophique. Cela suppose l'égalité entre la composante dirigée vers l'équateur de la force centrifuge et le gradient méridional de la pression. La force de Coriolis est négligée.

$\frac{uv\tan\theta}{r}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{x}}$

$\frac{u^2\tan\theta}{r}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$ (1)

Forces en action en équilibre cyclostrophique

Crédit : Arianna Piccialli, adaptation de Schubert, 1983.

Vent cyclostrophique

L'équation du vent cyclostrophique peut alors être écrite comme :

$u=\sqrt{-\frac{r}{\rho\tan\theta}\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$

Exercice

Question 1)

Montrer à partir de l'équation (1) que l'équation du vent cyclostrophique peut être écrite comme :

$2u\frac{\partial{u}}{\partial{\xi}}=\left.-\frac{R}{\tan{\theta}}\frac{\partial{T}}{\partial{\theta}}\right|_{\mathrm{p}=\mathrm{const}}$

où : $\mathrm{R}=191.4$ J kg^-1 K^-1, et $\xi=-\ln{\frac{p}{p_{ref}}}$ est la coordonnée de pression logarithmique, avec $p_{ref}$ la pression au niveau de référence.

La circulation atmosphérique générale

Outils

Coordonnées sphériques

Exercice

Forces apparentes

Précision

Produit vectoriel

Force centrifuge

Force centrifuge

Exercices de démonstration et d'acquisition du cours

Force de Coriolis

Exercice de démonstration et d'acquisition du cours

Formalisme eulérien ou lagrangien

Description eulérienne

Description lagrangienne

Dérivée particulaire

Équations de la dynamique

L'équation fondamentale de la dynamique

Exercice

Les équations en coordonnées sphériques

Exercice

Les équations primitives

Approximations

Mouvement horizontal:

Equilibre hydrostatique vertical:

Equation d'état:

Equation de continuité:

Premier principe de la thermodynamique:

Les équilibres dynamiques

Équilibre géostrophique

L'équilibre géostrophique

Vent géostrophique

Équilibre cyclostrophique

L'équilibre cyclostrophique

Vent cyclostrophique

Exercice

Réponses aux exercices

Exercice

Exercice

Exercice

Exercice