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Bruits |
Dans le modèle , le symbole
désigne un bruit gaussien. Comme ils apparaissent constamment en détection de planètes extrasolaires et ailleurs, nous allons en donner quelques propriétés.
A une expérience donnée, prendra une valeur
imprévisible. La probabilité que la valeur de
soit comprise entre
et
est
où
est la densité de probabilité de
. Dire que
est un bruit gaussien veut dire que sa densité est de la forme
où
et
sont des réels, qui sont égaux respectivement à la moyenne et à l'écart-type de
. On note souvent
, qui signifie "
suit une loi gaussienne de moyenne
et de variance
. Dans la plupart des cas, le bruit est de moyenne nulle (c'est le cas ici).
Dans le modèle, des bruits d'origines différentes s'additionnent. Sachant que le résidu de l'activité stellaire que nous n'avons pas ajusté et le bruit de mesure
suiven une certaine loi, quelle loi suivra
? Nous pouvons déjà dire que la moyenne de
sera égale à la somme des moyennes de
et
car l'espérance est un opérateur linéaire. Peut-on dire plus ? Si ces bruits dépendaient l'un de l'autre, la réponse pourrait être complexe. En l'occurrence, la physique de l'étoile cible et les erreurs instrumentales sont totalement indépendantes. On peut montrer que dans ces conditions, la variance de
est égale à la somme des variances de
et
. Nous pouvons même aller plus loin car la somme de deux variables gaussiennes indépendante est une variable gaussienne. En résumé,
en l'occurrence
et
sont nulles.
Lorsqu'on dispose de plusieurs mesures, à l'expérience numéro on a un certain bruit
réalisation d'une variable
de densité
. La plupart du temps, on fait l'hypothèse que les brutis
sont indépendants, c'est à dire que la probabilité d'obtenir le bruit
à l'expérience
ne dépend pas des valeurs prises aux expériences précédentes et suivantes. Lorsque ce n'est pas le cas on parle de bruits corrélés. Pour les caractériser, on utilise souvent leur densité spectrale de puissance. Un certain profil de densité spectrale correspond à une "couleur" du bruit.
A retenir: la somme de variables gaussienne indépendantes où
est une variable gaussienne suivant la loi
.