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Loi du chi 2 |
Nous nous sommes toujours ramenés à des modèles du type: modèle déterministe + bruit gaussien. Afin de vérifier que les observations sont compatibles avec le modèle, on étudie les résidus, définis comme "les observation - le modèle ajusté".
La loi du est un outil commode pour étudier le comportement de plusieurs variables gaussiennes. Considérons d'abord une famille de
variables aléatoires gaussiennes indépendantes
, de moyenne nulle et de variance unité. On forme la quantité
. Comme les
sont des variables aléatoires, les
le sont aussi. La somme de variables alétoires étant toujours une variable alétoire,
suit une certaine loi de probabilité. Dans l'analogie avec un programme informatique, la variable alétoire
se comporte comme un programme qui appelle
programmes générant une variables gaussiennes, puis additionne leurs carrés. Elle est appelée loi du
à m degrés de liberté. On peut montrer qu'en moyenne une variable gaussienne au carré
a une moyenne de 1. En conséquence,
vaudra typiquement
.
Pourquoi cette loi serait utile pour notre cas ? Si le modèle est bien ajusté, les résidus doivent se comporter comme un bruit gaussien. En supposant que les erreurs sont toutes indépendantes, de moyenne nulle et de variance unité, les résidus en sont une réalisation. Donc
est une réalisation d'une loi du
à
degrés de liberté. Si
est de l'ordre de
, le modèle est cohérent. Sinon, le modèle ou les paramètres ajustés sont à revoir.
En pratique, les erreurs ne sont évidemment pas de variance unité et parfois pas indépendantes. Par contre on peut à bon droit supposer qu'elles sont de moyenne nulle. Pour se ramener au cas précédent, on calcule non pas une réalisation de
mais de
où
,
est sa transposée et
est la matrice des variances-covariances de
. Dans le cas où les
sont indépendantes, la matrice des variances-covariances est diagonale, son
-ème terme diagonal étant
, soit l'inverse de la variance de
.