Méthode des moindres carrés

Exemple d'ajustement en astrométrie (données simulées)

Six étapes d'ajustement aux données. Pour représenter la chronologie des mesures, on trace des segments reliant deux points de mesure consécutifs.

Pour des bruits gaussiens indépendants, maximiser la vraisemblance, revient à minimiser $\theta \rightarrow F(y,\theta)=-ln(L(y|\theta)) =\sum\limits_{k=1}^m \frac{(y-f(\theta,t_k))^2}{\sigma_k^2}}$ puisque $x \rightarrow e^{-x}$ est une fonction décroissante. La méthode consistant à minimiser $F(y,\theta)$ s'appelle la méthode des moindres carrés. C'est la méthode d'estimation de loin la plus utilisée dans tous les domaines. Elle est parfois utilisée quand les bruits ne sont pas gaussiens, mais il faut garder à l'esprit qu'elle n'a alors plus de propriétés statistiques sympathiques (sauf quand le modèle est linéaire en $\theta)$ .

Dans notre cas, les paramètres $\theta$ sont les éléments des orbites, les paramètres du bruit stellaire, du mouvement propre, etc. La fonction $F(y,\theta)$ a donc de nombreux paramètres, et trouver son minimum global est une tâche ardue qui fait l'objet d'une littérature très vaste.

Lorsque le modèle est linéaire en $\theta$ i. e. $f(T,\theta) = A \theta$ où est une certaine matrice dépendant des instants d'observation $T = (t_k)_{k=1..m}$ , l'ajustement est beaucoup plus simple car il a une solution explicite (voir mini-projet). On essaye de se ramener autant que possible à des ajustements linéaires. La plupart du temps, on estime les paramètre les uns après les autres, puis un ajustement global est réalisé. Une démarche classique consiste à:

Ajuster le mouvement propre et la parallaxe, puis soustraire ces ajustements du signal initial
Chercher les périodes éventuelles dans le signal à l'aide du périogogramme (voir page suivante)
Si on trouve une période, on ajuste une orbite, que l'on soustrait du signal
On recommence les étapes 2 et 3 jusqu'à ce que le périodogramme ne présente plus de pic significatif

Sur la figure, on représente les étapes d'un ajustement d'un signal astrométrique simulé (2 planètes, 45 observations). De gauche à droite et de haut en bas:

Signal brut en rouge En vert signal après correction des bruits instrumentaux et atmosphériques . Le mouvement propre (tendance linéaire) et la parallaxe (oscillation) dominent très nettement le signal.
En vert: le signal planétaire réel, sans aucun bruit $(s^{\star})$ . En rouge: signal estimé en soustrayant le mouvement propre, l'accélération de perspective et la parallaxe au signal .
En rouge: signal . En vert : orbite d'une planète ajustée sur .
En rouge : signal dont on a soustrait . En vert :orbite d'une planète ajustée sur .
En rouge: signal . En vert: , ajustement de deux planètes en partant des estimations et .
En vert, signal $(s^{\star})$ . On ajuste tous les paramètres simultanément sur en partant des estimations précédentes. Le signal en rouge représente le signal planétaire de cet ajustement.