La spirale de Parker

Spirale de Parker

Les lignes bleues représentent la forme du champ magnétique interplanétaire au niveau du plan de l'écliptique, tandis que les rouges représente des lignes à plus hautes latitudes.

Crédit : M. S. Marsh, S. Dalla, J. Kelly, and T. Laitinen, The Astrophysical Journal, Volume 774, Number 1

Le champ magnétique interplanétaire

Nous avons vu précédemment que le champ magnétique solaire approche celui d'un dipole puis s'ouvre lorsque l'on s'éloigne du soleil à partir d'une distance appelé source surface, R_S . Dans le milieu interplanétaire, $\beta \simeq 1$ , i.e., le plasma du vent solaire impose son mouvement au champ magnétique. La forme du champ B interplanétaire est alors une combinaison entre le flot radial du plasma du vent solaire et d'un champ magnétique radial en rotation (On suppose les pieds du champ magnétique fixé à la surface du soleil).

En supposant que le vent solaire et le champ magnéique s'étendent seulement en 2 dimension, on a : $\vec B = r^{-2}$ . En coordonnées sphériques, on suppose un champ magnétique à symétrie de révolution : $B_\theta =0$ et azimuthale : $\frac{\partial B_\phi}{\partial \phi}=0$ . On développe alors la condition $\vec \nabla \cdot \vec B =0$ (équation de Maxwell), et on obtient : $\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2B_r)=0$ . En intégrant, on obtient entre la source surface et une distance r>R_S : $B_r(r)=\frac{R_S^2}{r^2}B_r(R_S)$ . Si l'on suppose que la structure du milieu interplanétaire est stationnnaire, $\frac{\partial \vec B}{\partial t}=0$ , on peut calculer $B_\phi$ à partir de l'équation d'induction : $\frac{\partial \vec B}{\partial t}=\vec \nabla \times (\vec u \times \vec B)=0$ .

$\vec u \times \vec B = (u_\theta B_\phi- u_\phi B_\theta)\vec e_r+ (u_\phi B_r- u_r B_\phi)\vec e_\theta+ (u_r B_\theta- u_\theta B_r)\vec e_\phi$

Le vent solaire et le champ magnétique s'étend en 2D, donc $u_\theta =0$ et $B_\theta = 0$

On se retrouve alors avec : $\vec u \times \vec B =(u_\phi B_r- u_r B_\phi)\vec e_\theta$

En utilisant l'expression du rotationel d'un vecteur et en ne gardant que les termes contenant la composante θ de ce vecteur, on obtient :

$\vec \nabla \times \vec u \times \vec B = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r(u_\phi B_r- u_r B_\phi))\vec e_\phi)$

En intégrant de la surface source R_S à une distance r, on obtient : $r(u_\phi(r) B_r (r)- u_r(r) B_\phi(r))- R_S(u_\phi(R_S) B_r (R_S)- u_r(R_S) B_\phi(R_S))=0$ . A la surface source, B est radial, i.e. $B_\phi (R_S)=0$ , et $u_\phi(R_S) = R_S\omega_\odot$ , où ω est la vitesse angulaire du Soleil.

Finalement, $B_\phi(r) = \frac{u_\phi(r)-r\omega_\odot}{u_r(r)}B_r(r)$ . Pour un distance r grande, $r\omega_\odot>> u_\phi$ et $u_r = V_{sw}$ la vitesse du vent solaire, on a $B_\phi(r) = \frac{r\omega_\odot}{V_{sw}}B_r(r)$ .

Détermination de la Spirale de Parker

Pour déterminer la forme du champ magnétique interplanétaire, il faut calculer les lignes de forces du champ, i.e, les lignes co-linéaire au champ magnétique en tout point : On peut alors montrer que les lignes de forces ont une forme de spirale d'archimède. Une ligne de force est une courbe qui est tangente partout au champ magnétique, i.e., $d\vec{l}\times \vec{B}=0$

Question 1)

Déterminer l'équation des lignes de forces du champ magnétique interplanétaire.