Equations du mouvement : Page pour l'impression

Maintenant que nous avons étudié les différentes façons de décrire l'orientation d'un repère à l'instant t, nous pouvons introduire la notion de mouvement. Les équations du mouvement sont un aspect essentiel de la conception et de la réalisation d'un système de contrôle d'attitude car elles régissent la position au cours du temps des objets considérés. Ces équations peuvent être séparées en deux catégories :

Lorsque nous étudions l'orientation relative de deux référentiels en fonction du temps, nous sommes dans le domaine de la cinématique. Elle recouvre les aspects du mouvement qui peuvent être analysés sans considérer les forces et les couples.
À l'instant où les forces et les couples sont introduits, on entre dans le domaine de la dynamique.

Afin de clarifier les choses, prenons une particule ponctuelle de la physique newtonienne. Si $\bold{r}$ représente sa position, $\bold v$ sa vitesse et que les dérivées temporelles sont indiquées par un point, alors l'équation cinématique du mouvement s'écrit $\dot{\bold{r}} = \bold{v}$ . L'équation dynamique du mouvement quant à elle s'écrit dans un repère galiléen $m \dot{\bold{v}} = \bold{F}$ ou $\dot{\bold{p}} = \bold F$ , avec $\dot{\bold{p}} = m \dot{\bold{v}}$ la quantité de mouvement, $\bold F$ la résultante des forces appliquées et la masse de la particule. Comme vous le verrez par la suite, dès lors que l'on s'intéresse aux mouvement d'attitude (autour du centre d'inertie), les vecteur de position et de vitesse sont respectivement remplacés par la matrice d'attitude et le vecteur de vitesse angulaire $\boldsymbol\omega$ . Les forces et quantités de mouvement sont quant à elles remplacées par le couple $\bold C$ et le moment angulaire $\bold H$ . La cinématique et la dynamique du mouvement rotationnel, ou d'attitude, sont plus compliquées que celles du mouvement de translation. Elles sont détaillées dans la section suivante.

Aller plus loin

Cours sur les orbites planétaires

Cinématique du satellite

Cinématique du point

La cinématique est l'étude du mouvement en fonction du temps indépendammant des causes produisant ce mouvement. Elle est utilisée pour décrire la trajectoire du centre de masse d'un satellite dans l'espace.

Bases de la cinématique

Des cours sur ce sujet existent un peu partout, nous rappellerons simplement quelques notions de base ici :

Le vecteur position d'un objet dans un repère est le vecteur $\bold r$ allant de l'origine du repère au centre de l'objet
Le vitesse de l'objet dans ce repère s'exprime : $\bold v = {d \over dt}(\bold r) = \dot{\bold r}$
L'accélération de M dans ce même référentiel est : $\bold a = {d \over dt}(\bold v) = {d^2 \over dt}(\bold r) = \ddot{\bold r}$
Dans le cas d'un mouvement circulaire, chaque point du corps tourne dans un cercle. La position de tout point peut ainsi être décrite par un angle $\theta$ par rapport à sa position originelle
Si $\bold k$ est un vecteur unitaire dans la direction de l'axe de rotation, la vitesse angulaire est alors obtenue par : ${\boldsymbol\omega} = {d \over dt}(\theta) \ \bold k$
La vitesse linéaire d'un point du corps en rotation s'exprimer alors : $\bold v = \boldsymbol\omega \wedge \bold r$

Dans le cas d'un mouvement circulaire, chaque point du corps tourne dans un cercle.

Cinématique et changement de référentiels

Dans notre domaine, nous sommes constamment contraints de passer d'un repère à un autre pour décrire la trajectoire d'un objet. En cas de référentiels en rotation, tels qu'un référentiel fixé par rapport à la Terre et un référentiel inertiel, passer de l'un à l'autre nécessite d'introduire des termes supplémentaires. Par exemple, si l'on veut décrire la position, la vitesse et l'accélération d'une particule dans un référentiel inertiel noté à partir de sa position dans un référentiel terrestre (fixé par rapport à la Terre) noté , on peut écrire :

$\bold{r}_I = [T]_{I|F} \ \bold{r}_F$
$\bold{v}_I = \frac{d}{dt} (\bold{r}_I) = [T]_{I|F} \ \frac{d}{dt} (\bold{r}_F) + \frac{d}{dt}([T]_{I|F}) \ \bold{r}_F = [T]_{I|F} \ \frac{d}{dt}(\bold{r}_F) + ([T]_{I|F} \ [\Omega]) \ \bold{r}_F$

Nous avons utilisé la dérivée de la MCD qui est introduite dans le chapitre sur la cinématique d'attitude. Finalement :

$\bold{v}_I = [T]_{I/F} ([\Omega] \ \bold{r}_F + \bold{v}_F)$
$\bold{a}_I = \frac{d}{dt}(\bold{v}_I) = \frac{d}{dt}([T]_{I/F}) ([\Omega] \ \bold{r}_F + \bold{v}_F) + [T]_{I/F} \left[ \frac{d}{dt}([\Omega]) \ \bold{r}_F + [\Omega] \ \frac{d}{dt}(\bold{r}_F) + \frac{d}{dt}(\bold{v}_F)\right]$

$\bold{a}_I = [T]_{I/F} \left[ [\Omega] \left([\Omega] \ \bold{r}_F \right) + 2 \ [\Omega] \ \bold{v}_F + \frac{d}{dt}([\Omega] \ \bold{r}_F + \bold{a}_F \right]$

Dans le réferentiel en rotation (celui fixé par rapport à la Terre), la deuxième loi de Newton peut alors être écrite :

$\bold{F}_F = [T]_{F/I} \left( m \ \bold{a}_I \right) = m \left[ [\Omega] \left( [\Omega] \ \bold{r}_F \right) + 2 \ [\Omega] \ \bold{v}_F + \frac{d}{dt}([\Omega]) \ \bold{r}_F + \bold{a}_F \right]$

où $\frac{d}{dt} \left( [\Omega] \right)$ est l'accélération angulaire. On introduit ici les accélérations centripète $[\Omega] \left( [\Omega] \ \bold{r}_F \right)$ et de Coriolis $2 \ [\Omega] \ \bold{v}_F$ .

Cinématique d'attitude

La simulation et l'estimation d'attitude nécessitent généralement des représentations simples de l'attitude, telles que celles présentées dans le chapitre du même nom. Les équations différentielles de la cinématique peuvent ainsi être obtenues pour ces différentes représentations. Les démonstrations de ces équations sont proposées en exercices.

La cinématique d'attitude relie des vitesses angulaires à des orientations dans l'espace. Si cela peut sembler simple dans le cas d'une rotation autour d'un axe fixe, cela devient beaucoup moins intuitif dans le cas d'un mouvement plus général, où l'axe de rotation varie au cours du temps. Pour un corps en rotation autour d'un axe fixe, l'orientation par rapport à cet axe peut être déterminée en intégrant la vitesse angulaire ω, puisque $\omega = \frac{d}{dt}(\theta)$ .

MCD

Dans le cas général, la matrice exprimant le taux de variation de l'attitude est plus complexe. Considérons un référentiel en rotation par rapport à un référentiel avec une vitesse angulaire $\boldsymbol\omega_{B|A}$ . Si la matrice d'attitude s'exprime $[T]_{B|A}$ , alors :

$\frac{d}{dt} \left( [T]_{B|A} \right) = -[\Omega] \ [T]_{B|A}$ avec $[\Omega] = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{pmatrix}$

La matrice d'attitude se retrouve multipliée par une matrice anti-symétrique qui est définie à partir du vecteur $\boldsymbol\omega_{B|A}$ représentant la vitesse angulaire du référentiel par rapport au référentiel , avec $\boldsymbol\omega_{B|A} = \begin{pmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{pmatrix}$ .

Dans ce cas, nous avons utilisé une MCD.

Angles d'Euler

Il est également possible d'exprimer cette équation différentielle en utilisant les angles d'Euler. En reprenant la séquence de rotations $[T(\theta_1)]_1 \leftarrow [T(\theta_2)]_2 \leftarrow [T(\theta_3)]_3$ conduisant du référentiel au référentiel l'équation de la cinématique est réécrite :

$\begin{pmatrix} \dot{\theta_1} \\ \dot{\theta_2} \\ \dot{\theta_3} \end{pmatrix} = \frac{1}{\textup{cos}(\theta_2)} \begin{pmatrix} \textup{cos}(\theta_2) & \textup{sin}(\theta_1) \ \textup{sin}(\theta_2) & \textup{cos}(\theta_1) \ \textup{sin}(\theta_2) \\ 0 & \textup{cos}(\theta_1) \ \textup{cos}(\theta_2) & -\textup{sin}(\theta_1) \ \textup{cos}(\theta_2) \\ 0 & \textup{sin}(\theta_1) & \textup{cos}(\theta_1) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{pmatrix}$

En connaissant la vitesse angulaire d'un référentiel par rapport à l'autre en fonction du temps il est possible de déterminer la position au cours du temps d'un référentiel par rapport à l'autre. Néanmoins, l'intégration nécessite le calcul de fonctions trigonométriques ainsi que des singularités (ici $\theta_2 = \pm \frac{\pi}{2}$ ).

Quaternions

Dans le cas des quaternions, l'expression de l'équation de la cinématique se retrouve simplifiée :

$\dot{\bold q} = \begin{pmatrix} \dot{q_0} \\ \dot{q_1} \\ \dot{q_2} \\ \dot{q_3} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -\omega_1 & -\omega_2 & -\omega_3 \\ \omega_1 & 0 & \omega_3 & -\omega_2 \\ \omega_2 & -\omega_3 & 0 & \omega_1 \\ \omega_3 & \omega_2 & -\omega_1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} q_0 \\ q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{pmatrix}$

Une écriture plus compacte est possible :

$\begin{cases} \dot{\bold q}_{1:3} = \frac{1}{2} \left(q_0 \ \boldsymbol\omega - \boldsymbol\omega \wedge \bold q_{1:3} \right) \\ \dot{q}_0 = -\frac{1}{2} \ \boldsymbol\omega^T \bold{q}_{1:3} \end{cases}$

Contrairement aux angles d'Euler, les quaternions ne présentent pas de singularité géométrique. L'équation cinématique exprimée avec les quaternions ne possède pas de fonctions trigonométriques, ce qui rend les quaternions parfaitement adaptés aux calculs à bord réalisés en temps réel. Ainsi, les algorithmes de détermination d'attitude modernes sont généralement décrits en termes de quaternions.

Dynamique du satellite

Bases de la dynamique

Maintenant que nous nous tournons vers la dynamique d'attitude, il est important de bien différencier le mouvement de rotation d'un système du mouvement de son centre d'inertie. Nous allons nous concentrer sur le cas d'un corps rigide.

Force / Moment / Couple

Une force représente l'action d'un corps sur un autre. En revanche le moment d'une force par rapport à un point décrit l'aptitude de cette force à faire tourner un système autour de ce point. Le moment $\bold \Gamma_O$ de la force $\bold F$ par rapport à au point est défini par :

$\bold \Gamma_O = \bold{OM} \wedge \bold F$

On parle de couple lorsqu'un ensemble de forces a une résultante nulle sur un système (leur somme vaut 0) alors que le moment résultant par rapport à un point est non nul. Dans ce cas, il est possible de montrer que le moment global d'un tel couple par rapport à n'importe quel point est égal au produit vectoriel caractéristique du couple :

$\bold C= \bold{r} \wedge \bold F$

où $\bold r$ est le vecteur allant du centre de gravité du système au point d'application de la force $\bold F$ . Si, pour un corps solide sans contraine, une force va accélérer son centre de masse, un couple aura lui pour effet d'induire un mouvement de rotation autour du centre de masse.

Remarque

On parle de couple pur lorsqu'une paire de forces d'intensité égale mais de directions opposées agissent à distance.

Propriétés d'inertie

Lorsque l'on parle du mouvement d'un solide autour de son centre d'inertie, il nous faut définir le tenseur d'inertie. Il s'exprime ainsi :

$[I] = \begin{pmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{xy} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{xz} & -I_{yz} & I_{zz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{n}{m_i \left(y_i^2+z_i^2 \right)} & -\sum_{i=1}^{n}{m_i \ x_i \ y_i} & -\sum_{i=1}^{n}{m_i \ x_i \ z_i} \\ -\sum_{i=1}^{n}{m_i \ x_i \ y_i} & \sum_{i=1}^{n}{m_i \left(x_i^2+z_i^2 \right)} & -\sum_{i=1}^{n}{m_i \ y_i \ z_i} \\ -\sum_{i=1}^{n}{m_i \ x_i \ z_i} & -\sum_{i=1}^{n}{m_i \ y_i \ z_i} & \sum_{i=1}^{n}{m_i \left(x_i^2+y_i^2 \right)} \end{pmatrix}$ ,

Les éléments diagonaux de ces expressions sont les moments d'inertie du solide par rapport aux divers axes, et les autres éléments sont les produits d'inertie. Les propriétés inertielles d'un solide sont donc totalement décrites par sa masse, la localisation de son centre d'inertie (ou centre de masse), et par les moments et produits d'inertie définis par rapport à des axes de références en un point particulier. Tous les solides ont un jeu d'axes principaux d'inertie dont l'origine se trouvent en son centre de masse et qui annule les produits d'inertie, rendant diagonale la matrice d'inertie.

Appliquette interactive

Une appliquette interactive est disponible ici. Elle illustre l'importance du choix des axes d'inertie dans le calcul de la matrice d'inertie.

Moment cinétique

L'analogie avec l'étude du centre de masse est une nouvelle fois possible. Le moment linéaire d'un corps solide, produit de la masse de ce corps par la vitesse de son centre de masse, est appelé quantité de mouvement, $m \ \bold v$ . Considérons un système matériel qui est la somme de masses ponctuelles. Le moment angulaire, ou moment cinétique, par rapport à un point est le moment de la quantité de mouvement $\bold p$ par rapport à ce point :

$\bold L_O = \sum_{i=1}^{n}{\bold r_i \wedge \left( m_i \ \bold v_i \right)} = \sum_{i=1}^{n}{\bold r_i \wedge \bold p_i}$

On a également pour habitude d'exprimer le moment angulaire à partir de la matrice de moment d'inertie [I] et de la vitesse angulaire $\boldsymbol\omega$ :

$\bold L = [I] \ \boldsymbol\omega$

Le passage de l'une à l'autre des expressions se fait en considérant que :

$I = r^2 \ m$ est le moment d'inertie d'une masse ponctuelle,
$\boldsymbol\omega = \frac{\bold r \wedge \bold v}{r^2}$ est le moment angulaire de la particule par rapport à l'origine.

Rappel

Cours sur le principe fondamental de la dynamique

Dynamique du solide

Considérons un satellite solide avec un référentiel fixé sur son corps dont l'origine se trouve au centre de masse du satellite. Notons $\boldsymbol\omega_{B|I}$ le vecteur vitesse angulaire du référentiel par rapport au référentiel inertiel .

Equation d'Euler

D'après la 2^ème loi de Newton, dans un référentiel galiléen, la dérivée de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces extérieures qui s'exercent sur le solide. Dans le cas du moment angulaire, son principe de conservation stipule que sa dérivée est égale à la somme des couples extérieurs qui s'exercent sur le corps :

$\dot{\bold L} = \sum_{i=1}^{n}{\bold r_i \wedge \bold F_i^{ext}} = \sum_{i=1}^{n}{\bold C_i^{ext}}$

où $\bold L$ est le moment angulaire du corps solide par rapport à son centre de masse et $\bold C_i^{ext}$ sont les couples extérieurs agissant sur ce corps. On appelle parfois cette équation l'équation d'Euler. Elle montre que seuls les couples extérieurs peuvent modifier le moment cinétique dans un système.

Facteurs impactant l'attitude d'un satellite

Il est maintenant possible de réécrire cette équation en reprenant l'expression du moment cinétique présentée précédemment complétée par le moment angulaire stocké par n'importe quel objet en rotation dans le satellite $\bold L = [I] \boldsymbol\omega+ \bold h$ :

$[I] \dot{\boldsymbol\omega} = \sum_{i=1}^{n}{\bold C_i^{ext} - \dot{\bold h} - \dot{[I]} \boldsymbol\omega}$

Cette dernière équation permet de comprendre comment l'attitude d'un satellite peut être modifiée. En prenant les termes de cette équation de la gauche vers la droite, on retrouve d'abord les couples extérieurs, les objets embarqués en rotation (tels que les roues à inertie) et les modifications des moments d'inertie du satellite (qui peuvent notamment être dues à la perte de carburant au cours d'une mission).

En conclusion, les couples peuvent perturber l'attitude d'un satellite mais peuvent également être utilisés pour la contrôler. Les actionneurs doivent donc avoir une capacité suffisante pour contrer les couples perturbateurs tout au long de la mission si l'on veut un contrôle permanent de l'attitude du satellite.

Equations du mouvement

Introduction à la cinématique et la dynamique