Théorie simplifiée (2)

Auteur: Ronan Modolo

Déraivation de l'équation de base des fluxgate

En utilisant la loi de Lenz, la tension électrique induite dans le bobinage secondaire est donnée par $e=-N\frac{d\Phi}{dt} = -NS\frac{dB}{dt} = -NSB_e\frac{d\mu_{app}}{dt}$ (si B_e est constant). Soit, en utilisant l'expression de $\mu_{app}$ déterminée précédemment : $e = -NSB_e\frac{(1-D)}{\left( 1+D(\mu_r-1)\right)^2}\frac{d\mu_r}{dt}$ Il s'agit de l'équation basique des magnétomètres à vanne de flux.

Mesure du champ externe- utilisation de la "seconde harmonique"

La courbe caractéristique B(H) présentée à la figure suivante peut être modélisée par une fonction polynomiale du troisième ordre B(H) = a_1H - a_3H^3

où le champ magnétique comprend à la fois le champ externe à mesurer $H_{ext}$ et le champ ''interne'' $H_{int}$ induit par le courant imposé dans le bobinage d'excitation ( $H = H_{ext}+H_{int}$ ).

Si on impose un courant sinusoïdal au bobinage d'excitation de la forme $i_e = I_{max}\sin(\omega_0 t)$ , on induit un champ magnétique de la forme sinusoïdale $H_{int} = \frac{N}{l}I_{max}\sin(\omega_0 t)=H_{max}\sin(\omega_0 t)$

La tension induite dans le bobinage secondaire (le bobinage de mesure) vaut donc $\begin{eqnarray}e & = & -NS\frac{dB}{dt} = -NS\frac{d}{dt}\left(a_1H-a_3H^3\right)\\& = & -NS\left(a_1\frac{dH}{dt} - 3a_3H^2\frac{dH}{dt}\right)\end{eqnarray}$

en remplaçant par son expression $H_{ext}+H_{max}\sin(\omega_0t)$ , et en développant puis en linéarisant les fonctions trigonomériques, on montre (après quelques lignes de calculs laissées à la discrétion du lecteur) que la tension induite peut s'écrire : $e = -NS(H_{max}\omega_0\cos(\omega_0t)(a_1-3a_3H_{ext})$ $-3a_3H_{ext}H^2_{max}\omega_0\sin(2\omega_0t)$ $+\frac{3}{2}a_3H^3_{max}\omega_0\cos(3\omega_0t))$

On identifie un terme modulé en $\sin(2\omega_0t)$ qui dépend de $H_{ext}$ , la deuxième harmonique (de fréquence 2f_0 ). On cherchera donc à extraire cette information. D'autres harmoniques peuvent être présentes (dans cette démonstration nous avons modélisé la courbe B(H) par un polynôme de troisième degré, si l'on considère un polynôme de degré plus élevé d'autres harmoniques apparaîtront dans les calculs).