Exercices

Ecrantage dans un plasma

Difficulté : ☆☆

On considère une charge test q_T située en un point O placée dans un plasma dont le densité particulaire, à la distance r de O, peut s'écrire pour les ions :

$n_i(r) = n_{i0}\exp\left(_q_i\frac{\Phi(r)}{k_BT}\right)$

et pour les électrons :

$n_i(r) = n_{e0}\exp\left(_q_e\frac{\phi(r)}{k_BT}\right)$

où $n_{i0}=n_{e0}=n_0$ (hypothèse de quasi-neutralité du plasma) est la densité particulaire moyenne, k_B est la constante de Boltzmann, est la température, q_i=-q_e=e est la chage des particules, et $\Phi(r)$ est le potentiel qui règne à la distance de O.

Question 1)

Déterminer la densité voulumique $\rho(r)$

Question 2)

En appliquant le théorème de Gauss entre deux sphères de rayons et r+dr , donner l'équation satisfaite par le champ électrostatique. En déduire une équation différentielle de deuxième ordre sur le potentiel $\Phi(r)$

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Question 3)

On se place dans le cas de haute températures $k_BT \gg e\Phi(r)$ . Simplifier l'équation précédente et la résoudre. La solution approche le potentiel de Coulomb de q_T quand $r\longrightarrow 0$ et reste finie à toutes les distances.

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Quantité macroscopique

Difficulté : ☆

On considère une fonction de distribution de vitesse Maxwellienne de la forme :

$f(\vec{v}) = A\exp\left(-\frac{v^2}{2k_BT}\right)$

avec v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2 , la masse des particules, k_B la constante de Boltzamnn, la température et une quantité réelle.

Question 1)

Déterminer telle que

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(\vec{v})dv_xdv_ydv_z = n_0$

où n_0 est la densité des particules

Question 2)

Montrer que :

$<\frac{1}{2}mv_x^2 > = \frac{1}{2}k_B_T$

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Question 3)

Montrer que :

$<\frac{1}{2}mv^2> = \frac{3}{2}k_B_T$

Question 4)

Comment représenter mathématiquement une distribution de vistesse Maxwellienne avec une vitesse de dérive $\vec{v_0}$

Question 5)

Déterminer la distribution en énergie de la fonction de distribution de vitesse précédente

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Auteur: R. Modolo

Mouvement d'une particule chargée dans un champ électromagnétique

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

On considère une particule de charge électrique q et de masse m plongée dans un champ magnétique uniforme $\vec{B}=B_0\vec{e_z}$ . On cherche à déterminer le mouvement de la particule dans ce champ magnétique. On se place dans un repère cartésien orthonormé $(O,\vec{e_x},\vec{e_y},\vec{e_z})$ . A t=0 la position de la particule est telle que x_0=y_0=z_0=0 et sa vitesse intiale est définie par $v_{x0}=v_0, v_{y0} = 0, v_{z0}=a$ .

Question 1)

Dans un premier temps on considère que le champ électrique est nul. Ecrire les équations de mouvement de la particule

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Question 2)

Résoudre ces équations en utilisant les conditions initiales

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Question 3)

Quelle est la trajectoire de cette particule ? La tracer.

Question 4)

On considère maintenant que la particule est toujours plangé dans le magnétique $\vec{B}=B_0\vec{e_z}$ mais qu'un champ électrique est désormais présent tel que $\vec{E}=E_0\vec{e_x}$ . Comment la trajectoire est-elle modifiée ?

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Auteur: R. Modolo

Champ magnétique créé par une bobine torique

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

Soit une bobine sphérique constituée d'un enroulement de N spires circulaires de rayon r parcourue par le même courant I. Ces N spires entourent réglièrement un tore de rayon R de section circulaire de rayon r<R.

Question 1)

Montrer que le champ magnétique est nul en dehors du tore et déterminer son expression à l'intérieur de celui-ci en fonction de la distance $\rho$ à l'axe du tore.

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Question 2)

Déterminer les valeurs extrêmes du champ magnétique pour N=500, I=0.1 mA, R=10cm et r=1cm. Quel courant devrait-on faire passer dans un fil rectiligne unique pour obtenir le même champ à la même distance ?

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Auteur: Ronan Modolo

Etude d'un analyseur électrostatique à plaque parallèle

Difficulté : ☆

On considère le montage de la figure suivante. Une particule chargée de charge q (>0) entre dans le dispositif en (0,0) avec une vitesse v_0 , et avec un angle $\theta$ entre le vecteur vitesse de la particule et l'axe x du montage. On cherche à caractériser le mouvement de cetteparticule chargée.

Question 1)

Dans quelle sens est dirigée le champ électrique E qui apparait entre les deux plaques parallèles? Quelle relation a-t-on entre le potentiel Va et le champ électrique E ?

Question 2)

Déterminer les conditions initiales du problème pour la position et la vitesse de la particule.

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Question 3)

Déterminer les forces qui s'appliquent à cette particule et simplifier éventuellement le problème. On pourra prendre les valeurs numériques suivantes : g = 9.8 m/s^2 , $q = 1.6\times 10^{-19} C$ , $m=1.6\times 10^{-27} kg$ , $E=4\times 10^4 V/m$

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Question 4)

Déterminer l'équation paramétrique de la trajectoire (x(t), y(t)).

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Question 5)

Dans l'hypothèse où la particule n'atteint pas la plaque supérieure, déterminer le temps auquel la particule chargée atteint le sommet de sa trajectoire puis sa coordonée y.

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Question 6)

Au bout de combien de teps la particule impacte-t-elle la plaque du bas ? A quelle distance de la position d'entrée ?

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