Le calcul du courant collecté

Auteur: Ronan Modolo

Courant électronique

Le calcul est ici développé pour le cas d'une sonde à symétrie plane, utilisant un système de coordonnées cartésiennes où l'axe est normal au plan de la sonde. Les calculs dans le cas d'une géométrie sphérique sont proposés en exercice. On notera $\eta = \frac{m_e}{2 k_B T_e}$

On définit le flux comme le nombre de particules par unité de surface et par unité de temps. Le flux de particules qui arrive à la surface de la sonde est égale à : $\Phi = n_e \left( \frac{\eta}{\pi} \right)^{3/2} \int_0^{+\infty} v_x \exp (- \eta v_x^2) dv_x \int_{-\infty}^{+\infty} \exp (- \eta v_y^2) dv_y \int_{-\infty}^{+\infty} \exp (- \eta v_z^2) dv_z$

soit $\Phi = \frac{1}{4} n_e \sqrt{\frac{8 k_B T_e}{\pi m_e}}$

Ce calcul suppose que tous les électrons sont collectés et que leurs vitesses ne sont pas modifiées au voisinage de la sonde. Si la sonde est polarisée à un potentiel négatif ( V_a < V_p ), seuls les électrons ayant une vitesse telle que : $\frac{1}{2} m v_x^2 \ge |e V|$ seront collectés, par contre tous les ions sont collectés.

Le courant électronique s'écrit alors : $I_e = -e S n_e \left( \frac{\eta}{\pi} \right)^{3/2} \int_{\sqrt{|2 e V|/m_e}}^{+\infty} v_x \exp (- \eta v_x^2) dv_x \int_{-\infty}^{+\infty} \exp (- \eta v_y^2) dv_y \int_{-\infty}^{+\infty} \exp (- \eta v_z^2) dv_z$ Ici, est la valeur absolue de la charge unitaire et la surface de la sonde.

Par intégration, $I_e = -e S n_e \left( \frac{k_B T_e}{2 \pi m_e} \right)^{1/2} \exp \left( - \frac{|eV|}{k_B T_e} \right) = I_{th}\exp \left( - \frac{|eV|}{k_B T_e} \right)$ où $I_{th}$ est le courant lié aux vitesses thermiques des particules. Le courant électronique est négatif à cause de la charge de l'électron.

La relation obtenue peut s'exprimer en fonction de la vitesse moyenne des électrons : $\overline{v_e} = \left( \frac{8 k_B T_e}{\pi m_e} \right)^{1/2}$ Le courant électronique s'écrit donc également : $I_e = -eS\frac{n_e\bar{v_e}}{4}\exp\left(- \frac{|eV|}{k_B T_e} \right)$

Pour U = 0 (i.e. une tension sonde égale au potentiel plasma) tous les électrons sont collectés. Pour U > 0 (c'est-à-dire V > V_p ), le courant est le même car tous les électrons sont collectés. Le courant électronique est alors constant et égal à : $I_{eM} = - e S n_e \left( \frac{k_B T_e}{2 \pi m_e} \right)^{1/2} = -e S \frac{n_e \bar{v_e}}{4}$ On montre alors que pour U=0 , $I_e = I_{eM}$ .

Courant ionique

Pour V<0 , tous les ions sont collectés et on devrait obtenir un courant ionique de saturation constant égal à :

$I_{iM} = e S n^+ \left( \frac{k_B T_i}{2 \pi m_i} \right)^{1/2}$

Cependant la présence d'une gaine autour de la sonde modifie la valeur du courant ionique de saturation. Pour U>0 , les ions sont repoussés et seuls ceux dont la vitesse v_x est suffisante pourront être collectés comme on l'a montré pour les électrons.

La gaine

Le plasma est supposé électriquement neutre en volume. Lorsque la sonde est polarisée elle attire les particules chargées : tous les électrons si U>0 et tous les ions si U<0 . Afin de conserver la neutralité électrique du plasma il se crée, au voisinage de la sonde, une charge d'espace appelée ''gaine''. Les particules de même polarité que le potentiel de la surface sont exclues de cette gaine. Cette gaine est électronique si U>0 (afin de limiter le flux d'électrons) et ionique si U<0 (pour limiter le flux d'ions). L'épaisseur de cette gaine est de l'ordre de grandeur de la longueur de Debye : $\lambda_D = \left( \frac{\varepsilon_0 k_B T_e}{n_e e^2} \right)^{1/2}$

La solution exacte de la distribution du potentiel électrostatique est un problème aux conditions aux limites très compliqué qui ne peut être résolu que dans certaines géométries simples (sphère, cylindre ou plan).

On peut noter que les objets de taille finie introduits dans un plasma ayant des températures ioniques et électroniques approximativement égales acquièrent en général une charge négative car la vitesse des électrons $v_e\propto \sqrt{\frac{k_BT_e}{m_e}}$ est beaucoup plus grande que la vitesse thermique des ions $v_i \propto \sqrt{\frac{k_BT_i}{m_i}}$ , et de ce fait plus d'électrons viennent frapper l'obstacle. Comme cet objet se charge négativement, les électrons sont repoussés. L'équilibre s'obtient lorsque le courant électronique collecté à la surface de l'objet (la sonde) vient équilibrer le courant ionique incident ce qui se produit pour une certaine valeur de potentiel que l'on appelle le potentiel flottant.

Caractéristique courant-tension

Le courant collecté par la sonde est la somme algébrique des courants électroniques et ioniques, I = I_i + I_e . Les paramètres plasmas n_e et T_e sont déterminés à partir du courant électronique I_e . Pour avoir accès au courant électronique, il faut éliminer la contribution du courant ionique du courant total mesuré. La figure U-I représente en fonction de .