Considération énergétique

Modèle de Sweet-Parker

Représentation schématique du modèle de Sweet-Parker. Le rectangle au centre montre la nappe de courant formée à l'interface de champ magnétique opposés.

Crédit : Obs. de Paris

Le second aspect de la reconnexion réside dans l'éjection brutale de matière s'expliquant par le modèle de Sweet Parker. Ce modèle permet de déterminer la vitesse que doit avoir le fluide plasma à l'entrée et à la sortie de la nappe de courant en fonction de la resistivité du mileu.

Par simplification, considérons une géométrie en 2 dimensions (cf Figure). Pour une nappe de courant de longeur L et d'épaisseur δ, situé sur l'axe d'inversion du champ magnétique, on applique la loi de conservation de la masse. Pour un fluide de densité ρ_in incident sur la section L de la nappe de courantà uen vitesse u_in, on doit avoir : $\rho_{in}u_{in}L = \rho_{out}u_{out}\delta$ .

Avec $\rho_{out}$ et $u_{out}$ , la densité et la vitesse de sortie du fluide par le coté δ de la nappe de courant.

En supposant le fluide incompressible, on a d'après l'équation de continuité $\vec \nabla . \vec u=0 \rightarrow \frac{d\rho}{dt}= 0$ , soit ρ_in=ρ_out. On a alors $\frac{u_{in}}{u_{out}} = \frac{\delta}{L}$

Vitesse d'entrée du fluide : Le modèle de Sweet Parker fait l'hypothèse d'un problème stationnaire, i.e. $\frac{\partial}{\partial t}=0$ . L'équation d'induction devient alors $\vec \nabla \times (\vec u \times \vec b)=\eta \Delta \vec b$ . Le rapport du terme d'advection et du terme diffusif défini le nombre de Reynolds magnétique. Ce nombre défini le régime physique dans lequel se trouve le système. Pour que la reconnexion ait lieu il faut que le terme diffusif soit du même ordre de grandeur que le terme d'advection, i.e., Rm ~1. En estimant ce nombre de Reynolds à partir des grandeur caractéristique du système, i.e. les différentielles spatiales sont proportionnelles à l'inverse de la longueur caractéristique du système, on obtient :

$\frac{\vec\nabla\times(\vec u\times \vec b)}{\eta \Delta \vec b}\simeq\frac{u_{in}\delta}{\eta} \simeq 1$

La vitesse d'entrée du plasma est alors : u_in~ η/δ pour respecter les lois de conservations. La vitesse d'entrée du fluide ne dépend alors que de la resistivité et de l'épaisseur de la nappe de courant. Notons que plus le rapport entre la longueur et l'épaisseur de la nappe de courant est proche de 1, plus la reconnexion sera rapide pour une vitesse de sortie fixée : la vitesse d'entrée sera de l'ordre de la vitesse de sortie

Vitesse de sortie du fluide : Lors de la reconnexion, on suppose que toute l'énergie magnétique ( $E_m=\frac{b^2}{2\mu}$ ) est transformée en énergie cinétique, on a : $\frac{1}{2}\rho_{out}u_{out}^2 = \frac{b^2}{2\mu}$ . Donc $u_{out} = \frac{b}{\sqrt{\mu \rho_{out}}}=c_A$ . La vitesse du fluide en sortie de la nappe de courant n'est autre que la vitesse d'Alfvèn. L'éjection de matière accompagnant la reconnexion magnétique est un mouvement Alfvénique. Au site de reconnexion dans la couronne, le champ magmétique est de l'ordre de 500 à 1000 G et la densité est de l'ordre de 10^8-9 g.cm^-3. La perméabilité magnétique dans la couronne approche celle du vide ( $\mu_0 =4\pi\times10^{-7} kg⋅m⋅A^{-2}⋅s^{-2}$ ). On a donc une vitesse d'Alfvèn comprise entre 1000 et 5000 km.s^-1. En comparaison avec les vitesses typique de la photosphère de l'ordre de quelques dizaines de km.s^-1, le jet de matière en sortie de la nappe de courant est très rapide.

A partir des vitesses d'entrée et de sortie du fluide, on estime le nombre de Mack qui représente le taux de reconnection du système tel que : $M = \frac{u_{in}}{u_{out}} = \frac{\eta}{c_A \delta}$ . Pour une vitesse d'Alfvèn et une resistivité η fixées, le taux de reconnection augmente lorsque l'épaisseur de la nappe de courant, δ, est petite. On retrouve le critère nécessaire des petites échellles pour le développement de la reconnection magnétique.