Plasmas planétaires : Page pour l'impression

Objectifs

Les objectifs de ce chapitre sont, d'une part, de découvrir quelques méthodes de mesure in situ utilisées dans les missions d'explorations spatiales et, d'autre part, de comprendre sommairement le principe de fonctionnement de quelques uns des instruments qui permettent de caractériser le milieu plasma. Il ne s'agit donc pas de décrire en détail un instrument particulier, ou un jeu d'instruments, mais de présenter et assimiler les concepts physiques mis en jeu.

Prérequis

Les concepts abordés dans ce chapitre font appel à des notions de :

Electrostatique
Magnétostatique
Electromagnétisme
Théorie cinétique des gaz
Mécanique des fluides
Mécanique classique

Plus particulièrement, ce chapitre est basé sur des techniques de mesures et de diagnostics utilisées en physique des plasmas. Bien que souhaitable, il n'est pas essentiel d'avoir suivi un cours de physique des plasmas pour comprendre ce chapitre.

Un gaz ionisé rempli l'Univers

Il est souvent dit que l'univers est composé à 99% de plasma et que cet état constitue logiquement le quatrième état de la matière (solide, liquide, gazeux et plasma). Cela peut paraître surprenant car sur Terre, cet état n'existe que dans certains cas très précis. Il est possible de rencontrer cet état sous une forme naturelle dans les éclairs d'orage, les aurores boréales, ou bien sous une forme 'artificielle' (c'est-à-dire produite par l'homme) dans les tubes à décharges (lampes,...), les téléviseurs, dans les tokamaks pour la fusion nucléaire,... En dehors de l'environnement terrestre, cet état constitue donc la majeure partie de l'univers visible et peut se rencontrer dans les étoiles, les nébuleuses, les pulsars et les systèmes planétaires. Pour comprendre la grande diversité des plasmas, il est fréquent de représenter leurs propriétés dans un diagramme densité-température (Fig). Nous remarquons que la densité peut varier de 20 ordres de grandeur tandis que la température peut s'échelonner sur 7 ordres de grandeurs, ce sont des variations extrêmement grandes.

Diversité des propriétés plasmas

Diversité des plasmas naturels et artificiels que l'on peut rencontrer

Crédit : (adapté dewikipedia)

Mais qu'est-ce qu'un plasma ?

Considérons l'expérience suivante : une boîte contient un gaz mono-atomique (hydrogène par exemple) à température et pression atmosphérique constante. On suppose que les parois de la boîte sont parfaites et que les atomes frappant la paroi subissent une collision élastique et n'ont pas d'échange chimique avec la paroi. Le comportement de ce gaz obéit à la loi des gaz parfaits. Le comportement de ce gaz peut être décrit par la dynamique des fluides et des équations standard de la dynamique des gaz neutres de Navier-Stokes. Nous chauffons ce gaz à pression constante. Rappelons que la température est directement proportionnelle dans ce cas à l'énergie cinétique moyenne des particules constituant le gaz. A partir d'une température suffisamment élevée (de l'ordre de 1 million de K), les atomes sont ''ionisés''. Par conséquent les électrons sont littéralement arrachés de leur orbite dans l'atome et il est énergétiquement possible pour les électrons et les protons d'exister sous la forme de deux fluides distincts électriquement chargés. Notre gaz d'hydrogène a atteint l'état plasma.

Etat plasma

Représentation schématique des différents états de la matière

Une description succincte des propriétés plasmas

Dans l'état plasma, la matière est composée, soit totalement soit partiellement, de particules chargées (électrons et ions) qui sont libres et non pas liées comme au sein d'atomes ou molécules. Cela découle simplement du fait que leur énergie cinétique liée au mouvement des particules est plus grande que l'énergie de liaison électrostatique de 13.6 eV ∼ 2 times 10^(-18) J (pour l'hydrogène). Gardons en tête que 1eV, ou un électron volt, est le travail fourni pour déplacer un électron au travers d'une différence de potentiel de un volt. C'est une unité d'énergie très utilisée en physique atomique et physique des plasmas.

Du fait de leur charge électrique, les particules interagissent avec le champ électromagnétique, d'une part parce que le mouvement des particules chargées est régi par le champ magnétique, et d'autre part parce que l'ensemble des particules est lui-même source de champ, par la densité de charge et de courants que ces mouvements entraînent.

Parmi les nombreuses propriétés des plasmas, nous retiendrons d'une part qu'un plasma est globalement électriquement neutre mais que des écarts à la neutralité au niveau microspcopique, qui découle du fait que les particules chargées sont libres, sont susceptibles d'intervenir et d'autre part que les plasmas montrent des comportements collectifs, différents des gaz neutres, régis par les forces électromagnétiques. Ces effets collectifs sont plus importants que les forces Coulombiennes entre particules chargées. Ainsi dans le cas des gaz, les ondes se propagent par l'action de collisions inter-moléculaires tandis que pour un plasma les ions peuvent se propager en l'absence de collisions au moyen de forces électromagnétiques qui agissent à distance sur les particules.

L'étude et le formalisme de la physique des plasmas s'appuient donc sur l'électromagnétisme pour décrire l'évolution du champ électromagnétique, la mécanique pour s'intéresser à la trajectoire de particules individuelles, la physique statistique qui permet de décrire l'évolution d'un grand nombre de particules et la mécanique des fluides pour comprendre le comportement global d'un fluide (électriquement chargé dans ce cas et donc les équations de la mécanique des fluides doivent être couplées avec les équations de Maxwell). La figure résume très schématiquement les interactions entre particules chargées et champ et les formalismes physique mis en jeu.

Relation Plasma

Représentation schématique entre le champ électromagnétique et les particules chargées.

Crédit : R. Modolo

Quelques grandeurs caractéristiques

Une description plus détaillée de la physique des plasmas est disponible à la page suivante. Dans ce chapitre nous nous interessons aux instruments et aux mesures qui permettent de caractériser ce milieu.

Certaines propriétés et caractéristiques de ce milieu sont également présentées telles que :

Nous ferons appel à ces notions dans ce chapitre.

Quelles sont les quantités à mesurer ?

L'étude des plasmas nécessite d'avoir accès aux informations caractérisant le champ électromagnétique et les particules chargées dans la région considérée. Ces informations peuvent être obtenues à l'aide de différentes mesures et leurs instrumentations spécifiques. Comme nous l'avons montré en préambule, la diversité des plasmas est telle que des paramètres comme la densité ou la température varient sur plusieurs ordres de grandeurs. Il n'est de ce fait pas possible avec un unique instrument de couvrir l'ensemble des valeurs possibles.

Pour caractériser les environnements planétaires ionisés, il est nécessaire de décrire/caractériser les quantités suivantes :

Les champs électrique et magnétique, ce sont des paramètres essentiels à mesurer. Les champs électrique et magnétique interviennent dans la dynamique des particules chargées via la force de Lorentz $\mathbf{F} = q \left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)$ . Une description de l'effet du champ électromagnétique sur une particule chargée est décrit sur le site suivant Ils sont également nécessaires pour caractériser les ondes dans les plasmas. Un exemple de propagation d'onde (caractéristique à la physique des plasmas) faisant intervenir le champ magnétique se trouve au lien suivant NB : L'interprétation des résultats de l'appliquette requiert une assimiliation des concepts de physique plasmas (niveau M1) .
Le flux, l'énergie. Ces informations contribuent à l'étude de la dynamique du plasma dans la région explorée. Ces deux informations sont des mesures quasi-directes obtenues à partir des différents senseurs. Le flux (des particules) consiste à déterminer le nombre de particules qui traversent une unité de surface par unité de temps, cela diffère du flux (magnétique) que nous avons introduit dans un chapitre suivant. L'énergie est directement liée à la vitesse des particules (la vitesse dirigée et la vitesse thermique, i.e. la vitesse liée à l'agitation thermique)
Fonction de distribution et moments. Pour un plasma constitué d'électrons et de différents types d'ions, il est nécessaire de définir la densité pour chacune des espèces et on utilise pour cela une approche statistique. Il est commode de représenter le comportement du plasma par une fonction de distribution $f_s(\mathbf{r};\mathbf{v};t)$ dont l'évolution (en temps et en espace) caractérisera la dynamique de chaque espèce du plasma. La température des particules de l'espèce considérée est directement proportionnelle à l'énergie cinétique moyenne liée au mouvement aléatoire des particules. A l'équilibre thermique la fonction de distribution de vitesses des particules (de l'espèce considérée) est donnée par une distribution de vitesses de Maxwell-Boltzmann (appelé Maxwellienne, comme pour les gaz neutres). Dans un grand nombre de cas l'analyse et l'interprétation des mesures plasmas requièrent la connaissance des moments de la fonction de distribution (la densité est le pemier moment de la fonction de distribution). Ainsi l'intégration sur l'espace des vitesses de la fonction de distribution permet d'obtenir la densité de l'espèce considérée $n_s(\mathbf{r};t) = \int \!\!\! \int \!\!\! \int f_s(\mathbf{r};\mathbf{v};t)\, d^3\mathbf{v}$ . Il s'agit du moment d'ordre 0. Le moment d'ordre un donnera accès au flux $n_s \mathbf{V} = \int \!\!\! \int \!\!\! \int f_s(\mathbf{r};\mathbf{v},t)\,\mathbf{v}\;d^3\mathbf{v}$ . Et ainsi de suite ...
La composition ionique. La mesure de composition (et charge) du plasma est importante car elle donne une information sur l'origine (la source) du plasma. Il est ainsi possible de différencier les populations d'origine solaire (par exemple les du vent solaire) et les ions d'origine ionosphérique (issus directement ou indirectement de l'ionisation partielle de l'atmosphère de la planète). Par ailleurs la composition a un impact direct sur la densité de masse du plasma. Ainsi même une faible abondance d'un ion lourd à une influence significative sur la densité de masse du plasma.

Nous nous limiterons à l'étude des plasmas naturels rencontrés dans le système solaire. Malgré ces considérations, aucun instrument ne peut couvrir ces larges gammes de densité, énergie, ... il existe donc de nombreux instruments qui permettent d'obtenir des mesures/observations sur une échelle de valeurs restreintes. Nous présentons uniquement un échantillon des possibles instruments embarqués sur les missions spatiales à titre d'illustration.

Généralités

Les objets du système solaire regroupent une variété d'objets et de régions. Cette diversité se traduit par des régimes de densité, température, vitesse, champ magnétique... pouvant couvrir plusieurs ordres de grandeurs. Les objectifs scientifiques d'une mission spatiale définissent les régions à explorer et contraignent les intervalles de mesures possibles qu'un ou plusieurs instruments doivent couvrir.

Pour illustration, nous prendrons comme exemple la mission Cassini-Huygens qui explore le système de Saturne et ses satellites naturels depuis 2004. Plus d'informations sur la mission sont disponibles sur les sites de la NASA et de l'ESA. En cliquant sur le lien suivant vous revivrez quelques-unes des fantastiques découvertes du système kronien obtenues grâce à la sonde Cassini.

Les instruments plasmas doivent être capables de mesurer les paramètres définis dans le tableau ci-dessous. Nous ne présentons que quelques uns des instruments de la sonde, le tableau est de ce fait incomplet.

Observables et instruments de mesure
Paramètre	Intervalle de valeurs possibles (pour répondre aux objectifs scientifiques)	Instruments considérés	Intervalle de mesures possibles (limitation instrumentale)
Champ magnétique	nT	Magnétomètre continu (fluxgate) (a)	nT
Champ magnétique	nT	Magnétomètre alternatif (search-coil) (b)	nT
Mesures particulaires
Électrons	Énergie : 1eV<E < 100MeV Densité :	Spectromètre électronique(c) (Plasma 'chaud', eV)	0.6eV - 28 keV
		Sonde de Langmuir (b)	Plasma "froid" : E∼ eV Densité : quelques à
Ions	Energie : 1eV<E<100MeV Densité : Masse: m/q = 1 → 400 amu/e	Spectromètre de masse ionique (c)	1eV - 50 keV m/q=1- 400 amu/e

Nous présentons brièvement les instruments mentionnés à la page précédente et leurs principales caractéristiques.

Mesures de champ magnétique
Mesures particulaires
- Spectromètre électronique
- Spectromètre de masse ionique
- Sonde de Langmuir

La sonde spatiale Cassini et quelques-uns de ces instruments

Vue d'artiste de la Sonde Cassini-Huygens

Crédit : Crédit ESA

Mesures magnétiques

Les magnétomètres mesurent l'intensité du champ magnétique $\mathbf{B}$ (mesure scalaire) mais également les composantes B_x , B_y et B_z du champ magnétique (mesure vectorielle). On distinguera les magnétomètres continus (type fluxgate) qui sont sensibles aux bandes passantes 0-60Hz des magnétomètres alternatifs (type search-coil) qui sont eux sensibles aux fréquences plus élevées ( > 100 Hz). Ces derniers sont essentiellement utilisés pour l'étude des ondes.

Il y a de nombreuses méthodes pour effectuer des mesures de champ magnétique. Pour les applications spatiales, tenant compte de la grande diversité des mesures possibles et des contraintes liées aux ressources limitées (poids, puissance), il est fréquent de rencontrer des magnétomètres continus de type fluxgate.

Comme les magnétomètres sont sensibles aux courants électriques et aux composés ferreux, ils sont placés sur des mâts, relativement loin du coeur du satellite (plusieurs mètres). Ils sont souvent accompagnés d'un programme de propreté magnétique pour assurer que le champ magnétique lié au satellite est limité et ne pollue pas les mesures. Les mesures attendues varient de 0.1-3 nT (dans le vent solaire) à plusieurs milliers de nT proche de la planète (si la planète a un champ magnétique intrinsèque fort).

Mesures particulaires

En dépit du fait que les instruments particules utilisés en physique spatiale ont été construits avec diverses géométries et manipulant des combinaisons sur l'énergie des particules, l'état de charge, la masse des particules et l'analyse des espèces, il n'y a en fait que quelques techniques basiques qui permettent de sélectionner des particules avec des propriétés spécifiques. Ils peuvent faire appel à un champ électrostatique, ou à un champ magnétostatique, ou une combinaison de champ électrique et magnétique, ou en déterminant le temps de vol d'une particule sur une distance donnée... pour ne mentionner que ceux-ci.

Lors de la sélection d'un instrument pour une mission particulière ou si l'on souhaite comparer différents instruments plasmas, on regarde essentiellement quelques paramètres clefs. Ceux-ci sont :

La gamme d'énergie (ou de vitesse) couverte par l'nstrument
Le champ de vue de l'instrument (c'est-à-dire sa couverture angulaire)
La résolution dans l'espace des vitesses (norme et direction) : $\left( \frac{\Delta v}{v}, \Delta \Omega \right)$
Le facteur géométrique, qui détermine la sensibilité et la résolution temporelle de l'instrument

Nous nous intéresserons aux quelques instruments suivants :

Mesure des électrons

Les spectromètres électroniques permettent de déterminer la fonction de distribution des électrons des divers milieux traversés. Ces différentes régions se traduisent par des distributions de vitesse extrêmement variées. Ces instruments sont essentiellement constitués de plusieurs fenêtres d'entrées afin d'avoir une couverture angulaire la plus importante possible. Les particules chargées qui rentrent dans le système sont ensuite dirigées vers un analyseur électrostatique qui permet d'effectuer une sélection en énergie puis, en sortie de l'analyseur viennent impacter des galettes de microcanaux couplées à un système électronique qui permettent de compter les impacts et digitaliser les informations.

Ces instruments sont particulièrement utilisés dans les régions où le plasma est ''chaud'', c'est-à-dire dans le contexte des plasmas spatiaux, dont l'énergie est supérieure à une dizaine d'eV (jusqu'à plusieurs dizaine de keV).

Mesure des ions

Tout comme les électrons, les spectromètres ioniques doivent permettre de caractériser les fonction de distribution de cette population du plasma et s'appuient également sur le principe d'analyseurs électrostatiques. Ces instruments doivent couvrir une grande échelle d'énergie et un grand champ de vue (idéalement $4\pi$ stéradians). Par ailleurs la caractérisation des ions nécessite de déterminer la masse de ceux-ci. Différents principes de spectrométrie de masse sont utilisés dans la physique des plasmas spatiaux et nous présenterons deux concepts.

Mesures des particules de basse énergie (Sonde de Langmuir)

Une sonde de Langmuir est une sonde électrostatique qui permet de mesurer, entre autre, la densité et la température électronique et le potentiel du plasma. Cela consiste en une électrode plongée dans le plasma. Pour l'exploration spatiale, cette électrode est située au bout d'un mât, à quelques mètres du corps du satellite. En faisant varier la tension appliquée à la sonde, un courant est collecté. L'analyse de cette réponse permet d'en déduire les propriétés du plasma (densité et température électronique, potentiel du satellite).

Cette technique est utilisée préférentiellement dans une région de plasma dense et ''froid'' ( > eV) tel que les régions ionosphériques.

Quelques généralités sur le principe d'une sonde électrostatique

Les sondes électrostatiques utilisées pour les missions spatiales sont basées sur des techniques de laboratoire développées et présentées par Irving Langmuir et ses collègues au milieu des années 1920. Ce n'est seulement qu'à partir de la fin des années 1950 que ce type de technique a été utilisé sur des fusées et satellites pour mesurer la densité des ions et des électrons ionosphériques, la température électronique et le potentiel du satellite.

La technique des sondes de Langmuir consiste à mesurer le courant collecté par la sonde lorsque l'on fait varier la tension apliquéee à celle-ci. Une sonde électrostatique est une électrode conductrice de taille et forme appropriées qui est insérée dans le plasma (pour les plamas spatiaux la sonde se trouve sur au bout d'un mât du satellite). La tension sur l'électrode varie par rapport à une électrode de référence et le courant collecté est mesuré. L'analyse de la réponse ''tension-courant (U-I)'', appelé caractéristique va permettre de déterminer les propriétés du plasma : sa densité électronique n_e , sa température électronique T_e , la masse moyenne des ions m_i et la densité des ions n_i , ainsi que le potentiel du satellite.

Une théorie simple de la sonde de Langmuir [Mott-Smith and Langmuir, 1926] montre que l'amplitude du courant électronique I_e , est proportionnel à n_e , et que l'amplitude du courant ionique I_i est proportionnel à n_i . Le courant pour des potentiels répulsifs est proportionnel à l'exponentielle de la tension divisée par la température : $I_e \propto \exp \left( {\frac{eV}{k_b T}} \right)$

Caractéristique "tension-courant" d'une sonde électrostatique

Représentation schématique d'une caractéristique U-I pour une sonde de Langmuir à symétrie sphérique (similaire à celle de Cassini). La courbe rouge indique le courant total collecté en fonction de la tension. Les courbes discontinues bleus et vertes indiquent les contribution respectives du courant électronique et du courant ionique.

On fait varier le potentiel appliqué à la sonde V_a par rapport au satellite et on collecte le courant sur la sonde. Le courant est la somme des courant ionique et électronique générés par les particules impactant la sonde. La figure de cette page illustre une représentation schématique d'un courant collecté par une sonde de Langmuir sphérique (celle de Cassini). Il est possible d'identifier différentes régions. Lorsque U=V_a - V_p >0 ( V_p étant le potentiel du plasma) les électrons sont accélérés et les ions sont freinés. Dans le cas inverse ( U=V_a - V_p <0 ) les électrons sont repoussés et les ions accélérés. L'échantillonnage de la fonction de distribution des électrons en fonction du potentiel appliqué à la sonde est schématisé grâce à l'appliquette disponible à la page suivante.

Cette technique est une mesure active, c'est-à-dire qu'elle pertube le milieu qu'elle mesure. Ainsi l'insertion de la sonde va modifier le plasma. Lorsque la sonde n'est pas présente le plasma a localement une densité n_e , une température T_e , une densité n_i ,... Lorsque la sonde est présente, la tension appliquée à la sonde va collecter les courants liés aux déplacement des charges électriques (ions et électrons). Du fait de la plus grande mobilité des électrons (moins massifs que les ions), les électrons vont impacter la sonde plus rapidement ce qui va créer une structure de potentiel autour de la sonde. Du coup un électron qui se trouve loin de la sonde et de sa structure de potentiel verra un potentiel différent que celui appliqué à la sonde à cause de cet écrantage. Cette région s'appelle la gaine et l'équilibre de charge entre ions et électrons est brisé.

Introduction

On appelle sonde électrostatique, ou sonde de Langmuir, un conducteur de petite dimension, plongé dans le plasma à étudier, polarisé électriquement et qui collecte les particules chargées du plasma. Au voisinage de la sonde se forme une gaine que l'on décrira rapidement par la suite.

La théorie classique des sondes électrostatiques repose sur les hypothèses suivantes :

Il n'y a pas de collisions dans la gaine
Les dimensions de la sonde sont petites devant le libre parcours moyens et devant les dimensions du plasma
La sonde capte ou neutralise toutes les particules chargées qui arrivent à sa surface
Le plasma est stationnaire, macroscopiquement neutre et équipotentiel au voisinage de la sonde
La fonction de distribution des électrons est isotrope

Distribution de Maxwell-Boltzmann

Les électrons ont une distribution des vitesses de Maxwell-Boltzmann (dite maxwellienne)

$f_e(v_e) = n_e \left( \frac{m_e}{2 \pi k_B T_e} \right)^{3/2} \exp \left( - \frac{m_e v_e^2}{2 k_B T_e} \right)$

Le nombre d'électrons par unité de volume, dont le vecteur vitesse est compris entre $\mathbf v$ et $\mathbf v + d \mathbf v$ est ainsi égal à :

$dn = n_e \left( \frac{m_e}{2 \pi k_B T_e} \right)^{3/2} \exp \left( - \frac{m_e v_e^2}{2 k_B T_e} \right) dv_x dv_y dv_z$

en système de coordonnées cartésiennes.

Définition du potentiel plasma

Considérant que le plasma est électriquement neutre et équipotentiel localement, on peut définir un potentiel qui correspond à l'ensemble des espèces du plasma : le potentiel plasma V_p . On notera la tension V_a appliquée à la sonde, et U = V_a - V_p cette même tension mesurée par rapport au potentiel plasma.

Courant électronique

Le calcul est ici développé pour le cas d'une sonde à symétrie plane, utilisant un système de coordonnées cartésiennes où l'axe est normal au plan de la sonde. Les calculs dans le cas d'une géométrie sphérique sont proposés en exercice. On notera $\eta = \frac{m_e}{2 k_B T_e}$

On définit le flux comme le nombre de particules par unité de surface et par unité de temps. Le flux de particules qui arrive à la surface de la sonde est égale à : $\Phi = n_e \left( \frac{\eta}{\pi} \right)^{3/2} \int_0^{+\infty} v_x \exp (- \eta v_x^2) dv_x \int_{-\infty}^{+\infty} \exp (- \eta v_y^2) dv_y \int_{-\infty}^{+\infty} \exp (- \eta v_z^2) dv_z$

soit $\Phi = \frac{1}{4} n_e \sqrt{\frac{8 k_B T_e}{\pi m_e}}$

Ce calcul suppose que tous les électrons sont collectés et que leurs vitesses ne sont pas modifiées au voisinage de la sonde. Si la sonde est polarisée à un potentiel négatif ( V_a < V_p ), seuls les électrons ayant une vitesse telle que : $\frac{1}{2} m v_x^2 \ge |e V|$ seront collectés, par contre tous les ions sont collectés.

Le courant électronique s'écrit alors : $I_e = -e S n_e \left( \frac{\eta}{\pi} \right)^{3/2} \int_{\sqrt{|2 e V|/m_e}}^{+\infty} v_x \exp (- \eta v_x^2) dv_x \int_{-\infty}^{+\infty} \exp (- \eta v_y^2) dv_y \int_{-\infty}^{+\infty} \exp (- \eta v_z^2) dv_z$ Ici, est la valeur absolue de la charge unitaire et la surface de la sonde.

Par intégration, $I_e = -e S n_e \left( \frac{k_B T_e}{2 \pi m_e} \right)^{1/2} \exp \left( - \frac{|eV|}{k_B T_e} \right) = I_{th}\exp \left( - \frac{|eV|}{k_B T_e} \right)$ où $I_{th}$ est le courant lié aux vitesses thermiques des particules. Le courant électronique est négatif à cause de la charge de l'électron.

La relation obtenue peut s'exprimer en fonction de la vitesse moyenne des électrons : $\overline{v_e} = \left( \frac{8 k_B T_e}{\pi m_e} \right)^{1/2}$ Le courant électronique s'écrit donc également : $I_e = -eS\frac{n_e\bar{v_e}}{4}\exp\left(- \frac{|eV|}{k_B T_e} \right)$

Pour U = 0 (i.e. une tension sonde égale au potentiel plasma) tous les électrons sont collectés. Pour U > 0 (c'est-à-dire V > V_p ), le courant est le même car tous les électrons sont collectés. Le courant électronique est alors constant et égal à : $I_{eM} = - e S n_e \left( \frac{k_B T_e}{2 \pi m_e} \right)^{1/2} = -e S \frac{n_e \bar{v_e}}{4}$ On montre alors que pour U=0 , $I_e = I_{eM}$ .

Courant ionique

Pour V<0 , tous les ions sont collectés et on devrait obtenir un courant ionique de saturation constant égal à :

$I_{iM} = e S n^+ \left( \frac{k_B T_i}{2 \pi m_i} \right)^{1/2}$

Cependant la présence d'une gaine autour de la sonde modifie la valeur du courant ionique de saturation. Pour U>0 , les ions sont repoussés et seuls ceux dont la vitesse v_x est suffisante pourront être collectés comme on l'a montré pour les électrons.

La gaine

Le plasma est supposé électriquement neutre en volume. Lorsque la sonde est polarisée elle attire les particules chargées : tous les électrons si U>0 et tous les ions si U<0 . Afin de conserver la neutralité électrique du plasma il se crée, au voisinage de la sonde, une charge d'espace appelée ''gaine''. Les particules de même polarité que le potentiel de la surface sont exclues de cette gaine. Cette gaine est électronique si U>0 (afin de limiter le flux d'électrons) et ionique si U<0 (pour limiter le flux d'ions). L'épaisseur de cette gaine est de l'ordre de grandeur de la longueur de Debye : $\lambda_D = \left( \frac{\varepsilon_0 k_B T_e}{n_e e^2} \right)^{1/2}$

La solution exacte de la distribution du potentiel électrostatique est un problème aux conditions aux limites très compliqué qui ne peut être résolu que dans certaines géométries simples (sphère, cylindre ou plan).

On peut noter que les objets de taille finie introduits dans un plasma ayant des températures ioniques et électroniques approximativement égales acquièrent en général une charge négative car la vitesse des électrons $v_e\propto \sqrt{\frac{k_BT_e}{m_e}}$ est beaucoup plus grande que la vitesse thermique des ions $v_i \propto \sqrt{\frac{k_BT_i}{m_i}}$ , et de ce fait plus d'électrons viennent frapper l'obstacle. Comme cet objet se charge négativement, les électrons sont repoussés. L'équilibre s'obtient lorsque le courant électronique collecté à la surface de l'objet (la sonde) vient équilibrer le courant ionique incident ce qui se produit pour une certaine valeur de potentiel que l'on appelle le potentiel flottant.

Caractéristique courant-tension

Le courant collecté par la sonde est la somme algébrique des courants électroniques et ioniques, I = I_i + I_e . Les paramètres plasmas n_e et T_e sont déterminés à partir du courant électronique I_e . Pour avoir accès au courant électronique, il faut éliminer la contribution du courant ionique du courant total mesuré. La figure U-I représente en fonction de .

En résumé ... et en savoir plus

L'analyse de la caractéristique tension-courant permet de déterminer quelques propriétés du plasma telles que la densité électronique et ionique, la température électronique ,... En se limitant à la théorie la plus simple (sans prendre en compte les effets de gaine), il est possible de trouver des expressions théoriques ci-dessous :

$\begin{eqnarray}I & = & \left \{\begin{array}{c}I_{th}\left(1-\frac{qV_p}{k_BT}\right) \qquad\qquad (\textrm{potentiel attractif, } qV_p <0)\\I_{th}\exp^{ -\frac{qV_p}{k_BT}} \qquad\qquad (\textrm{potentiel r\'epulsif, } qV_p >0)\\\end{array}\right.\end{eqnarray}$

L'appliquette du lien suivant présente une observation de la sonde de Langmuir de Cassini (point rouge) et le résultat d'un ajustement d'une courbe théorique pour les paramètres d'entrées ( n_e , T_e ...) à spécifier par l'utilisateur.

On ne vous a pas tout dit

Dans le cas des sondes de Langmuir embarqués sur des missions spatiales, d'autres termes de courant contribuent au courant total. En particulier les photoélectrons du satellite ont une contribution non-négligeable dans le courant total. Ces photoélectrons sont les électrons arrachés du satellite (qui est composé de parties conductrices) lors de l'interaction entre le plasma et la sonde spatiale. Il existe d'autres contributions comme le courant des particules énergétiques ou le courant lié aux impacts de poussières (ou plasma poussiérieux) présentes dans l'espace. $I = I_i + I_e + I_{ph}+I_{e,imp}+ I_{pous.}+...$

Un peu de lecture

Pour approfondir, nous recommandons les lectures suivantes :

Mott-Smith and Langmuir, Physical Review, 28, 727, 1926
Laframboise J., Univ. Toronto Institue for Aerospace Studie, 1966
Fahleson U, Space Science Reviews, 7, 238, 1967
Chen F., ''Plasma diagnostic techniques'', Academic, New-York, 1965. Une note de lecture est disponible à l'adresse suivante

Principe de fonctionement

Pour illustration nous prenons comme exemple le spectromètre électronique embarqué sur la mission Spatiale Cassini. Plus d'informations sont disponibles dans le papier de description instrumentale Young et al, Space Science Reviews, ..., 2004. Ce spectromètre a été construit par le Mullard Space Science Laboratory, Angleterre.

Un schéma simplifié de l'instrument est présenté à la figure suivante. Cet instrument est essentiellement un analyseur électrostatique hémisphérique de type 'top-hat' (en référence au fait qu'une petite section d'analyseur se trouve placée au dessus des électrodes de déflection).

Schéma d'un spectromètre électronique

Représentation schématique du spectromètre électronique embarqué sur la mission Cassini et la trajectoire possible d'un électron en rouge.

Crédit : Ce schéma est une version adaptée de la figure 3 de Young et al, SSR, 2004

Les électrons entrent dans le senseur via une des huit fenêtres d'entrées qui consiste en un baffle collimateur (les huit fenêtres définissent le champ de vue de l'instrument, c'est-à-dire sa couverture angulaire ). Ces électrons sont ensuite dirigés dans l'analyseur électrostatique jusqu'au détecteur, qui dans le cas du spectromètre électronique de Cassini sont des galettes micro-canaux. Ces galettes permettent la détection des particules chargées. La sélection en énergie s'effectue dans l'analyseur électrostatique. L'analyseur consiste en deux plaques/électrodes ayant pour l'une un potentiel nul et pour l'autre un potentiel que l'on applique. Le champ électrique $\mathbf E$ entre les deux électrodes exerce une force $q\mathbf E$ sur la particule qui va dévier la trajectoire lorsque celle-ci entre dans l'entrefer (espace entre les deux électrodes). Les particules atteignent les détecteur lorsque le rapport E/q correspond à la force $q\mathbf E$ générée par le champ. En faisant varier le potentiel de l'électrode, il est possible de parcourir différentes gammes d'énergie. Les mesures présentent donc un spectre d'énergie. En analysant ce spectre, et en combinant les informations sur la couverture angulaire, il sera possible de reconstruire la fonction de distribution des électrons.

L'appliquette \ref{appliquette_analyseur_electrostatique} présente brièvement le mode de fonctionnement d'un analyseur électrostatique et la trajectoire d'un électron pour une énergie incidente fixée par l'utilisateur. Les potentiels des deux électrodes ont été fixés (valeurs non connues de l'utilisateur) et il s'agit de déterminer la bande passante en énergie.

Nous présentons deux cas simples d'analyseur électrostatique :

Les analyseurs sphériques ou hémisphériques sont des extensions naturelles de ces deux types d'analyseurs et ne présentent pas de concepts différents, seuls les calculs sont un peu plus compliqués.

Pour illustrer la théorie qui se cache derrière le fonctionnement d'un analyseur électrostatique nous prendrons le cas d'un analsyeur à électrodes parallèles (cf Figure). Notons que ce genre d'instrument n'a pas été embarqué à bord de missions spatiales et est utilisé juste dans le cadre d'explication du concept sur une géométrie simple.

Configuration

Un analyseur électrostatique à électrodes parallèles consiste en deux électrodes séparées par une distance . Une des deux électrodes est reliée à la masse tandis que l'autre électrode est fixé à un potentiel V_a ( V_a >0 pour la détection des électrons, V_a <0 pour la détection des ions). Les particules entrent par un orifice d'entrée positionné en (x,y) = (0,0) avec une vitesse v_0 et un angle $\theta$ par rapport aux électrodes. Les particules voient un champ électrostatique constant qui va modifier leur trajectoire. Les particules vont ensuite impacter le détecteur situé à une distance de l'orifice d'entrée. Le schéma suivant illustre le montage.

Représentation schématique d'un analyseur électrostatique à électrodes parallèles

Energie des particules et position du détecteur

Il est possible de décrire analytiquement la trajectoire d'une particule de charge dans ce système. Nous présentons ici uniquement les résultats et les cacluls pourront être fait dans le cadre d'un exercice (cf exercice ). Les équations paramétriques décrivant la trajectoire sont :

$\left\{\begin{array}{c}x(t) = v_0t\cos\theta \\y(t) = v_0t\sin\theta-\frac{qEt^2}{2m}\end{array}\right.$

En notant $\mathcal{E}_0$ l'énergie cinétique initiale de la particule (à l'entrée du système), il est possible de relier la distance du détecteur ( x=L ) à l'énergie.

$\mathcal{E}_0 = \frac{qV_a}{4\sin\theta\cos\theta}\left(\frac{L}{D}\right)$

A partir d'un simple calcul d'incertitude il est possible de montrer que la résolution relative en énergie dépend de la position du détecteur et de sa largeur.

$\frac{\Delta\mathcal{E}_0}{\mathcal{E}_0} = \frac{qV_a}{4\sin\theta\cos\theta}\frac{\Delta x}{x}$

Ainsi en balayant le potentiel appliqué à l'électrode on pourra couvrir différentes gammes d'énergie et reconstruire la fonction de distribution en énergie.

Configuration

Un autre analyseur électrostatique simple a une géométrie cylindrique. Cet analyseur est constitué de deux secteurs cylindriques concentriques (cf Figure). Ce type d'analyseur a été utilisé lors de la mission spatiale Mariner 2. Cet analyseur a entre autre permis de fournir la confirmation expérimentale d'un vent solaire continu et de déterminer ses propriétés élémentaires [Snyder and Neugebauer, 1962].

Représentation schématique d'un analyseur à secteur cylindrique

À cause de la géométrie cylindrique, seules les particules avec une vitesse parallèle à la normale du plan d'entrée de l'analyseur peuvent entrer dans celui-ci. Or avec une largeur de l'entrefer, des particules avec une composante non nulle suivant le plan d'entrée de l'analyseur peuvent également se propager jusqu'à la sortie. Cela a pour conséquence d'augmenter la gamme d'énergie car les particules entrant dans l'analyseur avec un angle important par rapport à la normale peuvent être sélectionnées quand bien même leur énergie totale peut se trouver en dehors de la gamme d'énergie filtrée.

Dans ce genre de montage l'énergie de la particule reste constante. La force radiale est équilibrée par la force électrique et la particule chargée est maintenue sur une trajectoire circulaire de rayon

$R = \frac{2\mathcal{E}\ln(R_2/R_1)}{q(V_2-V_1)}$ où $\mathcal{E}$ est l'énergie cinétique de la particule, V_2 et V_1 sont les potentiels appliqués aux deux électrodes.

L'analyseur sélectionne les particules ayant une énergie $\mathcal{E} = \frac{q(V_2-V_1)}{2\ln\frac{R_2}{R_1}}$

La constante de l'analyseur K, également appelé la sensibilité de déflection, est le rapport entre l'énergie $\mathcal{E}$ (en eV) de la particule qui passe dans l'analyseur et la tension appliquée entre les deux électrodes séparées de la fente de sortie d'une distance d=R_2-R_1 . La bande d'énergie $\Delta \mathcal{E}$ des particules qui passent à travers l'analyseur vaut : $\Delta\mathcal{E}\sim qU/2d$ Une extension naturelle des analyseurs à secteur cyindrique à deux dimensions est de former des analyseurs à secteurs sphériques et les analyseurs électrostatiques hémisphériques ''top-hat''.

La spectrométrie de masse utilise le rapport masse sur charge ( m/q ) pour séparer les atomes et molécules ionisés. La spectrométrie de masse est l'une des techniques analytiques les plus sensibles et est fréquemment utilisée pour déterminer les propriétés du plasma. Le spectre de masse contient des informations sur la composition élémentaire (présence et nombre de certains éléments), l'abondance isotopique (la masse exacte) et la structure (les fragments).

Un spectromètre de masse se compose en deux parties, une source qui va ioniser le gaz et un analyseur qui va permettre la détermination des masses qui composent le mileu (en fait des rapport m/q ). Dans le domaine spatial, le plasma est le milieu d'étude et la source d'ionisation n'est généralement pas nécessaire (sauf si on souhaite caractériser les atmosphères neutres planétaires). L'instrument se réduit donc à la partie analyseur.

Il existe différentes classes d'analyseur permettant de donner la masse des particules. Nous nous limiterons à une description succincte du fonctionnement de base de deux analyseurs :

Description et principe de base

Un analyseur magnétique sépare les rapports m/q basés sur la déviation des trajectoires de particules ionisés dans un secteur magnétique. Dans le secteur magnétique, la trajectoire des ions est plane et est située dans le plan perpendiculaire à $\mathbf{B}$ . La trajectoire est circulaire avec un rayon .

Connaissant la tension d'accélération des particules à l'entrée de l'analyseur, la zone d'impact sur le détecteur permet d'obtenir la masse de la particule.

Le schéma présente l'analyseur d'ions IMA (Ion Mass Anaylzer) embarqué sur les missions Mars Express et Venus Express. On identifie un déflecteur électrostatique (partie du haut) qui va permettre d'avoir une acceptance angulaire des faisceaux d'entrée plus importante, un analyseur électrostatique de type ''top-Hat'' étudié précédemment, un analyseur magnétique où les trajectoires de différentes espèces (masses) ioniques illustrent les différentes zones d'impact du détecteur.

Le spectromètre de masse de Mars-Express / Venus-Express

Représentation schématique du spectromètre de masse ionique de Mars-Express et Venus-Express.

Crédit : Source : Thèse Claire Ferrier, 2009

Concept physique sous-jacent

Lorsque les particules chargées entrent dans l'analyseur, elles se trouvent dans un milieu avec un champ magnétique uniforme et statique $\vec{B}$ . Le mouvement d'une particule non-relativiste dans un tel champ est donné par : $m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$

où $q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ est la force de Lorentz. En prenant le produit scalaire de l'équation ci-dessus avec le vecteur vitesse, nous obtenons $m\mathbf{v}\cdot\frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right) = q\left(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)=0$

Ce qui montre que l'énergie cinétique $\mathcal{E}=1/2mv^2$ est une constante du mouvement. Pour déterminer la trajectoire il est avantageux de séparer les composantes des vitesses parallèle et perpendiculaire au champ magnétique. Soit $\mathbf{v} = \mathbf{v}_{/\!/}+\mathbf{v}_\perp$

L'énergie cinétique peut également se décomposer en une contribution parallèle et une autre perpendiculaire, $\mathcal{E} = \mathcal{E}_{/\!/}+\mathcal{E}_\perp$ où $\mathcal{E}_{/\!/}=\frac{1}{2}mv^2_{/\!/}$ et $\mathcal{E}_\perp=\frac{1}{2}mv^2_\perp$ . Comme la force $\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ n'a pas de composante parallèle au champ magnétique, la composante parallèle de la vitesse est constante, donc la particule se déplace avec un vitesse constante le long du champ $\mathbf{B}$ (sauf si $v_{/\!/} = 0$ ). Puisque $\mathcal{E}$ et $\mathcal{E}_{/\!/}$ sont constants alors $\mathcal{E}_\perp$ (et de ce fait $v_\perp$ ) sont également des constantes du mouvement.

Le rayon de courbure r_c du mouvement de la particule dans le plan perpendiculaire à $\mathbf{B}$ peut s'écrire (en ignorant le signe) : $m\frac{v^2_\perp}{r_c} = |q|v_\perp B$ Le rayon r_c est souvent appelé le rayon de Larmor $r_c = \frac{mv_\perp}{qB}$

Si les ions entrant dans le secteur magnétique sont initialement passés par un analyseur électrostatique (seules les particules avec une énergie sélectionnée peuvent sortir de l'analyseur) alors les ions ont une énergie donnée $\mathcal{E}=\frac{1}{2}mv^2=qU$ ( est la tension d'accélération utilisé dans l'analyseur électrostatique). La vitesse des ions vaut donc $v=\sqrt{\frac{2\mathcal{E}}{m}}=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$ On obtient ainsi la mesure de masse sur charge : $\frac{m}{q} = \frac{r_c^2B^2}{2U}$

Les ions avec différents rapports de masse sur charge auront des rayons de Larmor différents et auront des zones d'impact sur le détecteur différentes.

Principe de fonctionnement

Un analyseur à temps de vol est également appelé ''Time of Flight'' ou ''TOF''. Cet analyseur repose sur le principe de détermination du temps de vol des particules qui entrent dans l'analyseur. Pour une particule à une énergie connue $\mathcal{E}$ , on mesure le temps que la particule met pour effectuer la distance entre la source et le détecteur. Connaissant le temps de parcours et la distance parcourue, on en déduit la vitesse. Comme l'énergie de la particule est déterminé on peut en déduire sa masse.

Par exemple pour une même énergie de départ $\mathcal{E}$ deux particules de masse m_1 >m_2 auront des vitesses telles que $v_1=\sqrt{2\mathcal{E}/m_1} < v_2 = \sqrt{2\mathcal{E}/m_2}$ . C'est-à-dire que la vitesse de la particule légère ( m_2 ) sera plus grande que la vitesse de la particule lourde ( m_1 ). Comme les deux particules ont parcouru la même distance on trouve que le temps de parcours de la particule légère t_2 sera plus bref que celui de la particule lourde t_1 .

$\frac{1}{2}M\left(\frac{d}{t}\right)^2 = q(\mathcal{E}/q+U_a-\Delta\mathcal{E}_f)$ avec U_a un potentiel de post-accélération et $\Delta\mathcal{E}_f$ l'énergie perdue lors de collision à travers une feuille de carbone (cf ci-dessous). Soit $\frac{M}{q} = \frac{2\left((\frac{\mathcal{E}}{q}+U_a)-\Delta\mathcal{E}_f\right)}{\left(\frac{d}{t}\right)^2}$

Description du spectromètre de masse de Cassini

Prenons comme illustration le spectromètre à temps de vol de l'instrument CAPS sur Cassini (cf figure). Dans ce schéma, tout comme celui de l'analyseur de Mars Express, les particules passent d'abord par un analyseur électrostatique type top hat avant de rentrer la partie de l'analyseur en masse. Cet analyseur en masse est représenté par la cavité se situant après l'analyseur électrostatique ou un champ électrique quasi-linéaire est présent. Un détecteur se trouvant au bas de l'instrument (ST) se trouve dans une région où le potentiel est proche de +15kV (les particules chargées négativement viendront principalement impacter ce détecteur), le détecteur se trouvant au dessus (LEF) est situé dans une région où le potentiel est proche de -15kV (seul les ions positifs peuvent impacter ce détecteur).

Analyseur à temps de vol de CAPS-CASSINI

Représentation schématique du spectromètre de masse de type temps de vol de l'expérience Cassini CAPS. Le trajet d'un ion est représenté par la courbe rouge

Crédit : NASA, image modifiée et commentée par R. Modolo

Principe de fonctionnement du spectromètre TOF

Le principe de fonctionnement est le suivant :

Les ions rentrent dans le collimateur du top hat et sont dirigés vers l'entrée de l'analyseur électrostatique
Une tension est appliquée à l'électrode intérieure de l'analyseur électrostatique qui crée un champ électrique qui va modifier les trajectoires des particules. C'est la sélection en énergie : seules les particules autour d'une énergie donnée pourront ressortir de l'analyseur électrostatique. En sortie de l'analyseur, les ions sont accélérés par une tension de post-accélération ( $U_a\sim 15\,\mathrm{kV}$ ).
Les ions viennent impacter une feuille de carbone avec l'énergie $\mathcal{E}/Q+U_A$ , où $\mathcal{E}/Q$ est l'énergie des particules en sortie de l'analyseur électrostatique.
Les ions (atomiques et moléculaires) se fragmentent en particules plus élémentaires (électron, atome neutre, ion atomique de charge positive ou négative,...).
Lors de l'impact sur la feuille de carbone, des électrons secondaires sont arrachés de celle-ci, attirés par le potentiel positif +15 kV ; ces électrons viendront impacter le détecteur ST. C'est le signal START du début de mesure du temps de vol.
Lorsque des ions positifs sont arrachés, et s'ils sont une énergie $\mathcal{E}/Q+U_A < 15kV$ , ils viendront impacter le détecteur LEF et produiront un signal STOP. La différence de temps entre le signal de départ et le signal d'arrivée permettra d'en déduire le temps de vol. Dans ce cas de figure le champ électrostatique agit sur la trajectoire de la particule () et l'équation de mouvement suivant la direction est celle d'un oscillateur harmonique. On en déduit le temps de vol tel que $t=\pi\sqrt{\frac{m}{qk}}$ .
Si les ions en sortie de feuille de carbone ont une énergie supérieure à 15 kV alors le champ électrostatique ne fera que ralentir l'ion et il viendra impacter le détecteur ST.
Les autres ions négatifs sortant de la feuille de carbone seront attirés par le potentiel +15 kV et impacteront le détecteur ST tandis que les neutres, qui sont insensibles au champ électrique, continueront leur trajectoire initiale et impacteront également le détecteur ST

On se place dans un cas de figure simple d'un analyseur à temps de vol linéaire (Wiley and McLaren, 1955). Le montage est présenté à la figure suivante. On applique une tension d'accélération connue. La vitesse de la particule est liée à cette tension d'accélération (l'énergie potentielle électrostatique est transformée en énergie cinétique) $qU_A = \frac{1}{2}mv^2$ Dans la région de champ libre, l'énergie de la particule n'évolue pas. Le temps pour parcourir la distance est lié à sa vitesse .

Soit $qU_A=\frac{1}{2}m\left(\frac{d}{t}\right)^2$ On en déduit le temps de vol $t=d\sqrt{\frac{m}{2qU_A}}$

Schéma d'un analyseur à temps de vol linéaire

Représentation schématique d'un analyseur à temps de vol linéaire.

Crédit : Reproduction simplifiée de Wiley and McLaren, 1955.

Le mouvement des particules chargées est contraint par le champ magnétique, de ce fait, une connaissance des variations spatiales et temporelles du champ magnétique est primordiale. Les magnétomètres ont été largement utilisés à bord de missions spatiales d'exploration terrestres et planétaires. Nous nous intéressons ici aux mesures de champ magnétique continu obtenu à l'aide d'un magnétomètre de type magnétomètre à vanne de flux, également appelé fluxgate. Les mesures des fluxgate peuvent également fournir des informations sur les ondes basses fréquences.

Principe de base

Le principe de mesure du fluxgate repose sur une application directe de la loi de Lenz. La variation du flux champ magnétique $\Phi$ à travers spires induit une tension électrique : $e=-N\frac{d\Phi}{dt}$ On rappelle que le flux du champ d'induction magnétique $\mathbf{B}$ traversant une surface fermée est $\Phi=\oint \mathbf{B}\cdot \mathbf{dS}$ , où $\mathbf{dS}$ est un vecteur élémentaire de surface.

L'autre principe de fonctionnement d'un fluxgate est basé sur les caractéristiques de saturation non-linéaire d'un matériau ferromagnétique.

Montage

Un fuxgate est donc constitué d'un tore en matériau ferromagnétique sur lequel on place deux bobinages :

un bobinage d'excitation (appelée drive winding ou excitation coil)
un bobinage de mesure (appelée sense winding ou pickup coil)

Une représentation schématique d'un fluxgate est illustrée sur la figure suivante.

Schéma d'un fluxgate

Crédit : Space and Atmospheric Physics group Londres, Angleterre , Imperial College, (commentaires de la figure traduit en français)

Principe de base

L'ensemble doit servir à mesurer la direction et l'amplitude du champ magnétique $\mathbf{H}_{ext}$ . Le bobinage d'excitation a pour effet de saturer le matériau magnétique périodiquement à la fréquence fondamentale f_0 (une dizaine de kHz). Le bobinage d'excitation crée un champ alternatif dans le matériau ferromagnétique. L'induction générée est limitée par la saturation du matériau. Le second bobinage est utilisé comme élément de détection et est appelé sense winding ou bobinage de mesure. À ces bornes, une tension est induite par la variation temporelle du flux magnétique total.

Dans le schéma précédent le tore a été séparé en un demi-tore de couleur bleue et un demi-tore de couleur verte. Lorsque le vecteur $\mathbf{H}_{ext}$ se trouve dans le plan du tore, on va pouvoir déterminer sa direction. Lorsque le courant traverse le bobinage d'excitation, la moitié va générer un champ avec une composante dans la même direction que $\mathbf{H}_{ext}$ et l'autre moitié dans la direction opposée.

Lorsque le champ externe est nul ( $\mathbf{H}_{ext} = \mathbf{0}$ ), les deux demi-tores entrent dans la région de saturation (cf figure ) en même temps. Les champs générés s'annulent (le champ du tore vert vient annuler le champ du tore bleu). Il n'y a pas de changement de flux magnétique et donc de courant n'est induit qui peut être mesurer par le second bobinage.

Caractéristique d'un matériau ferromagnétique

En présence d'un champ externe, le tore générant un champ magnétique dans la direction opposée au champ externe (le demi-tore vert) sort de la région de saturation avant le demi-tore orienté dans la même direction que le champ externe. Pendant ce lapse de temps les champs ne s'annulent pas, et créent une variation de flux magnétique qui induira une tension induite dans la bobine de mesure.

L'électronique de mesure permet d'extraire la valeur du champ magnétique du signal mesuré à travers le bobinage de mesure. L'application d'un champ magnétique continu $\mathbf{H}_{ext}$ provoque l'apparation d'harmoniques pairs dans la tension induite en raison du comportement non-linéaire du matériau magnétique. On extrait l'amplitude et la phase pour déterminer l'amplitude et la direction du champ. On utilise la mesure du champ magnétique d'induction qui est contenue dans les harmoniques du signal. Le second harmonique 2f_0 est généralement utilisé.

Rappels sur les matériaux ferromagnétiques

Les matériaux réagissent au champ magnétique de manière différente en fonction de leur propriété magnétique. Sous l'effet d'un champ magnétique, un matériau peu s'aimanter. Cette aimantation $\mathbf{M}$ est liée au champ magnétique d'excitation $\mathbf{H}$ par la relation $\mathbf{M}=\chi \mathbf{H}=(1+\mu_r)\mathbf{H}$ où $\chi$ et $\mu_r$ sont respectivement la susceptibilité et perméabilité magnétique ( $\mu=\mu_0\mu_r$ ).

Les matériaux ferromagnétiques possèdent une caractéristique B(H) présentée à la figure précédente, où est le champ d'induction magnétique (en T) et est le champ magnétique (en $\mathrm{A.m^{-1}}$ ).

Le champ magnétique d'induction $\mathbf{B}$ , le champ magnétique $\mathbf{H}$ et l'aimantation $\mathbf{M}$ sont reliés par la relation : $\mathbf{B} = \mu\left(\mathbf{H}+\mathbf{M}\right)$

Une applet Java illustrant et expliquant le phénomène d'hystérésis est disponible sur le site suivant

Par ailleurs, lorsque la géométrie du corps ferromagnétique est différente de la topologie du champ magnétique, une interaction magnétostatique apparaît qui contrarie l'aimantation du corps ferromagnétique. Il s'agit de l'effet démagnétisant. Le champ démagnétisant $\mathbf{H}_d$ a la même direction que le champ qui lui a donné naissance mais est de sens opposé : $\mathbf{H}_d = -D\mathbf{M}$ où est le coefficient démagnétisant.

Champ magnétique apparent

En combinant les expressions précédentes on peut exprimer une relation entre champ d'induction magnétique apparent et le champ d'induction externe au noyau $\mathbf{B} = \mu_{app}\mathbf{B}_e = \frac{\mu_r}{1+D(\mu_r-1)}\mathbf{B}_e$ où $\mu_{app}$ est la perméabilité apparente (tenant en compte l'effet démagnétisant). On rappelle que la perméablité magnétique du matériau est une fonction du champ magnétique : $\mu_r = \mu_r\left[H(t)\right]$ .

Déraivation de l'équation de base des fluxgate

En utilisant la loi de Lenz, la tension électrique induite dans le bobinage secondaire est donnée par $e=-N\frac{d\Phi}{dt} = -NS\frac{dB}{dt} = -NSB_e\frac{d\mu_{app}}{dt}$ (si B_e est constant). Soit, en utilisant l'expression de $\mu_{app}$ déterminée précédemment : $e = -NSB_e\frac{(1-D)}{\left( 1+D(\mu_r-1)\right)^2}\frac{d\mu_r}{dt}$ Il s'agit de l'équation basique des magnétomètres à vanne de flux.

Mesure du champ externe- utilisation de la "seconde harmonique"

La courbe caractéristique B(H) présentée à la figure suivante peut être modélisée par une fonction polynomiale du troisième ordre B(H) = a_1H - a_3H^3

où le champ magnétique comprend à la fois le champ externe à mesurer $H_{ext}$ et le champ ''interne'' $H_{int}$ induit par le courant imposé dans le bobinage d'excitation ( $H = H_{ext}+H_{int}$ ).

Si on impose un courant sinusoïdal au bobinage d'excitation de la forme $i_e = I_{max}\sin(\omega_0 t)$ , on induit un champ magnétique de la forme sinusoïdale $H_{int} = \frac{N}{l}I_{max}\sin(\omega_0 t)=H_{max}\sin(\omega_0 t)$

La tension induite dans le bobinage secondaire (le bobinage de mesure) vaut donc $\begin{eqnarray}e & = & -NS\frac{dB}{dt} = -NS\frac{d}{dt}\left(a_1H-a_3H^3\right)\\& = & -NS\left(a_1\frac{dH}{dt} - 3a_3H^2\frac{dH}{dt}\right)\end{eqnarray}$

en remplaçant par son expression $H_{ext}+H_{max}\sin(\omega_0t)$ , et en développant puis en linéarisant les fonctions trigonomériques, on montre (après quelques lignes de calculs laissées à la discrétion du lecteur) que la tension induite peut s'écrire : $e = -NS(H_{max}\omega_0\cos(\omega_0t)(a_1-3a_3H_{ext})$ $-3a_3H_{ext}H^2_{max}\omega_0\sin(2\omega_0t)$ $+\frac{3}{2}a_3H^3_{max}\omega_0\cos(3\omega_0t))$

On identifie un terme modulé en $\sin(2\omega_0t)$ qui dépend de $H_{ext}$ , la deuxième harmonique (de fréquence 2f_0 ). On cherchera donc à extraire cette information. D'autres harmoniques peuvent être présentes (dans cette démonstration nous avons modélisé la courbe B(H) par un polynôme de troisième degré, si l'on considère un polynôme de degré plus élevé d'autres harmoniques apparaîtront dans les calculs).

Ce qu'il faut retenir

Les magnétomètres à vannes de flux, ou fluxgate, utilisent les propriétés des matériaux ferromagnétiques pour mesurer un champ d'induction externe. Le système consiste en un tore ferromagnétique entouré d'un premier bobinage parcouru par un courant d'intensité sinusoïdale (ou triangulaire). Ce courant génère un champ magnétique qui va s'ajouter au champ externe à mesurer. De façon liée à la géométrie du système, une partie du champ généré va avoir une composante parallèle au champ externe, l'autre anti-parallèle. Cette différence de champ va provoquer une variation de flux magnétique et induira une tension induite dans un deuxième bobinage. Cette tension induite contient les harmoniques de la tension d'excitation. Le filtrage de la seconde harmonique permet de retrouver l'information sur le champ externe à mesurer.

Un peu de lecture

Pour approfondir le sujet nous recommandons les lectures suivantes :

Primdahl F., J. Phys. E. Sci. Instrum. Vol 12, 1979
Acuna M. H., Rev Sci. Inst. 73, 3717, 2002
Mesure de champ magnétique (en anglais) par Steven A Macintyre
Moutoussamy J., Thèse, 2009
Leroy P., Thèse, 2007
Coillot C., HDR, 2012
Rhouni A., Thèse, 2012

Les questions suivantes portent sur des questions en lien direct avec le cours. La solution ne nécessite que quelques lignes de calcul si elle ne se trouve pas déjà exprimée dans les pages du chapitre.

QCM#1

Difficulté : ☆ Temps : 15s

1) Que permet de quantifier une sonde de Langmuir ?
Les ondes de Langmuir
Les paramètres plasma : densité, température et potentiel du satellite
L'énergie des particules ionosphériques
Les variations de champ magnétique

QCM#2

On considère un analyseur à temps de vol linéaire pour caractériser une espèce ionique. Les caractéristiques de l'analyseur sont : région de champ libre d=50cm, tension d'accélération U_A=15kV . La particule impacte le détecteur après un temps de vol de $t=0.57\mu s$ .

Difficulté : ☆ Temps : 30 s

1) Quelle type d'information peut-on déduire de ce type d'instrument ?
m (la masse)
m/q (le rapport masse sur charge)
q (la charge)

2) Quelle est la caractéristique de cette particule ?
Il s'agit d'un proton
Cette particule ne peut être que doublement chargée
Il s'agit d'un ion H_2^+

Il s'agit d'un ion $He^{++}$

Ecrantage dans un plasma

Difficulté : ☆☆

On considère une charge test q_T située en un point O placée dans un plasma dont le densité particulaire, à la distance r de O, peut s'écrire pour les ions :

$n_i(r) = n_{i0}\exp\left(_q_i\frac{\Phi(r)}{k_BT}\right)$

et pour les électrons :

$n_i(r) = n_{e0}\exp\left(_q_e\frac{\phi(r)}{k_BT}\right)$

où $n_{i0}=n_{e0}=n_0$ (hypothèse de quasi-neutralité du plasma) est la densité particulaire moyenne, k_B est la constante de Boltzmann, est la température, q_i=-q_e=e est la chage des particules, et $\Phi(r)$ est le potentiel qui règne à la distance de O.

Question 1)

Déterminer la densité voulumique $\rho(r)$

Question 2)

En appliquant le théorème de Gauss entre deux sphères de rayons et r+dr , donner l'équation satisfaite par le champ électrostatique. En déduire une équation différentielle de deuxième ordre sur le potentiel $\Phi(r)$

Question 3)

On se place dans le cas de haute températures $k_BT \gg e\Phi(r)$ . Simplifier l'équation précédente et la résoudre. La solution approche le potentiel de Coulomb de q_T quand $r\longrightarrow 0$ et reste finie à toutes les distances.

Quantité macroscopique

Difficulté : ☆

On considère une fonction de distribution de vitesse Maxwellienne de la forme :

$f(\vec{v}) = A\exp\left(-\frac{v^2}{2k_BT}\right)$

avec v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2 , la masse des particules, k_B la constante de Boltzamnn, la température et une quantité réelle.

Question 1)

Déterminer telle que

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(\vec{v})dv_xdv_ydv_z = n_0$

où n_0 est la densité des particules

Question 2)

Montrer que :

$<\frac{1}{2}mv_x^2 > = \frac{1}{2}k_B_T$

Question 3)

Montrer que :

$<\frac{1}{2}mv^2> = \frac{3}{2}k_B_T$

Question 4)

Comment représenter mathématiquement une distribution de vistesse Maxwellienne avec une vitesse de dérive $\vec{v_0}$

Question 5)

Déterminer la distribution en énergie de la fonction de distribution de vitesse précédente

Auteur: R. Modolo

Mouvement d'une particule chargée dans un champ électromagnétique

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

On considère une particule de charge électrique q et de masse m plongée dans un champ magnétique uniforme $\vec{B}=B_0\vec{e_z}$ . On cherche à déterminer le mouvement de la particule dans ce champ magnétique. On se place dans un repère cartésien orthonormé $(O,\vec{e_x},\vec{e_y},\vec{e_z})$ . A t=0 la position de la particule est telle que x_0=y_0=z_0=0 et sa vitesse intiale est définie par $v_{x0}=v_0, v_{y0} = 0, v_{z0}=a$ .

Question 1)

Dans un premier temps on considère que le champ électrique est nul. Ecrire les équations de mouvement de la particule

Question 2)

Résoudre ces équations en utilisant les conditions initiales

Question 3)

Quelle est la trajectoire de cette particule ? La tracer.

Question 4)

On considère maintenant que la particule est toujours plangé dans le magnétique $\vec{B}=B_0\vec{e_z}$ mais qu'un champ électrique est désormais présent tel que $\vec{E}=E_0\vec{e_x}$ . Comment la trajectoire est-elle modifiée ?

Auteur: R. Modolo

Champ magnétique créé par une bobine torique

Difficulté : ☆ Temps : 15 min

Soit une bobine sphérique constituée d'un enroulement de N spires circulaires de rayon r parcourue par le même courant I. Ces N spires entourent réglièrement un tore de rayon R de section circulaire de rayon r<R.

Question 1)

Montrer que le champ magnétique est nul en dehors du tore et déterminer son expression à l'intérieur de celui-ci en fonction de la distance $\rho$ à l'axe du tore.

Question 2)

Déterminer les valeurs extrêmes du champ magnétique pour N=500, I=0.1 mA, R=10cm et r=1cm. Quel courant devrait-on faire passer dans un fil rectiligne unique pour obtenir le même champ à la même distance ?

Auteur: Ronan Modolo

Etude d'un analyseur électrostatique à plaque parallèle

Difficulté : ☆

On considère le montage de la figure suivante. Une particule chargée de charge q (>0) entre dans le dispositif en (0,0) avec une vitesse v_0 , et avec un angle $\theta$ entre le vecteur vitesse de la particule et l'axe x du montage. On cherche à caractériser le mouvement de cetteparticule chargée.

Question 1)

Dans quelle sens est dirigée le champ électrique E qui apparait entre les deux plaques parallèles? Quelle relation a-t-on entre le potentiel Va et le champ électrique E ?

Question 2)

Déterminer les conditions initiales du problème pour la position et la vitesse de la particule.

Question 3)

Déterminer les forces qui s'appliquent à cette particule et simplifier éventuellement le problème. On pourra prendre les valeurs numériques suivantes : g = 9.8 m/s^2 , $q = 1.6\times 10^{-19} C$ , $m=1.6\times 10^{-27} kg$ , $E=4\times 10^4 V/m$

Question 4)

Déterminer l'équation paramétrique de la trajectoire (x(t), y(t)).

Question 5)

Dans l'hypothèse où la particule n'atteint pas la plaque supérieure, déterminer le temps auquel la particule chargée atteint le sommet de sa trajectoire puis sa coordonée y.

Question 6)

Au bout de combien de teps la particule impacte-t-elle la plaque du bas ? A quelle distance de la position d'entrée ?

L'objectif de se projet est de se familiariser avec les expériences et les mesures spatiales. Pour cela nous prenons comme contexte la mission Cassini et nous nous intéressons à un survol de Titan (T21) ayant eu lieu le 12/12/2006. Une vue d'ensemble des observations obtenus au cours de ce survol est présenté à la figure ci-joint.

Survol T21 de Titan par la sonde Cassini.

Le premier panneau présente les observations du spectromètre de masse ionique (CAPS-IMS), le second les observations du spectromètre électronique (CAPS-ELS), le troisième panneau montre les observations du champ magnétique (MAG) tandis que les quatrième et cinquième panneau sont la densité et la température électronique. Les informations déduites de la sonde de Langmuir (RPW-LP) sont indiqués en bleu et les courbes noirs représentent les informations déduites du spectromètre électronique.

Crédit : La figure a été réalisé à partir d'AMDA. Les données sont en accès libre et archivé à la base du "Planetary Data System" de la NASA.

Les données que l'on utilise pour ce projet sont celles mesurées par la sonde de Langmuir (RPWS-LP) et celles du spectromètre électronique (CAPS-ELS)

Pour la sonde de Langmuir : Le fichier de données est accessible via l'URL suivante
Pour le spectromètre électronique : Le fichier pré-traité (par rapport aux données du PDS qui sont des données brutes nous avons étalonné les mesures) est accessible via l'URL suivante

Il s'agit de déterminer la densité et la température électronique dans deux régions distcinctes de l'environnement de Titan avec les deux instruments.

Une première étape consiste à lire les deux fichiers et tracer les valeurs à l'aide d'un logiciel de visualisation (de votre choix). Les courbes à reproduire sont présentées à la page suivante
Pour la sonde de Langmuir : - il faut utiliser les relations vues dans ce chapitre, I(U), et ajuster les paramètres libres ( ...). L'ajustement peu se faire par exemple par une méthode de moindre carrés. On en déduira les valeurs de et à trouver et on comparera notre résultat à celui produit par les équipes de Cassini (valeurs vers 11h40 de la figure suivante)
Pour le spectromètre électronique : la aussi il faudra utiliser les notions vues dans ce chapitre. On essaiera d'ajuster deux Maxwellienne pour représenter les données. Une Maxwellienne représentera la population électronique de basse énergie (quelques eV) et une autre Maxwellienne pour la population de plus haute énergie (autour de quelques centaines d'eV). Une fois l'ajustement effectué, on déterminera la densité et la température électronique des électrons du plamsa ambaint (ceux d quelques centaines d'eV). On pourra comparer les résultats de nos calculs aux résultats produit par les équipes Cassini (valeurs vers 11h00 de la figure suivante).

Une fois les fichiers de données téléchargées et lues, vous devez obtenir des graphiques similaires à ceux de cette page.

Donnees_LP

Données de la sonde de Langmuir tension-intensité représenté en échelle linéaire (panneau du haut) et échelle logarithmique (panneau du bas). CASSINI 2006/12/12 à 11:40:00

Crédit : Les données sont extraites du NASA Planetary Data System.

Données CAPS ELS

Données du spectromètre électronique CAPS ELS. Les données représente un flux différentiel. (CASSINI 2006/12/12 à 11:00:00)

Crédit : Les données sont extraites du PDS puis retravaillées pour être converties en unité physique.

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ACCES AU PLAN DES CHAPITRES

Plasmas planétaires

Plasmas planétaires : mesures in-situ

Objectifs

Prérequis

Découvrir

Un gaz ionisé rempli l'Univers

Un gaz ionisé rempli l'Univers

Mais qu'est-ce qu'un plasma ?

Mais qu'est-ce qu'un plasma ?

Définition

Une description succincte des propriétés plasmas

Quelques grandeurs caractéristiques

Les observables pour les plasmas

Quelles sont les quantités à mesurer ?

Quelques instruments de mesures pour les plasmas

Généralités

Quelques instruments et leurs caractéristiques

Mesures magnétiques

Mesures particulaires

Mesure des électrons

Mesure des ions

Mesures des particules de basse énergie (Sonde de Langmuir)

Comprendre

Les sondes de Langmuir

Principe de fonctionnement

Quelques généralités sur le principe d'une sonde électrostatique

Quelques définitions, rappels et hypothèses

Introduction

Distribution de Maxwell-Boltzmann

Définition du potentiel plasma

Le calcul du courant collecté

Courant électronique

Courant ionique

La gaine

Caractéristique courant-tension

Conclusion

En résumé ... et en savoir plus

On ne vous a pas tout dit

Un peu de lecture

Spectromètre / Analyseur électrostatique

Un analyseur électrostatique

Principe de fonctionement

Théorie simplifiée de deux analyseurs électrostatiques

Analyseur électrostatique a électrodes parallèles

Configuration

Trajectoire des particules dans l'analyseur

Energie des particules et position du détecteur

Analyseur électrostatique à secteur cylindrique

Configuration

Trajectoire des particules dans l'analyseur

Spectromètre de masse ionique

Généralités sur les spectromètres de masse

Analyseur à secteur magnétique

Description et principe de base

Théorie simplifiée pour un analyseur magnétique

Concept physique sous-jacent

Analyseur à temps de vol

Principe de fonctionnement

Description du spectromètre de masse de Cassini

Principe de fonctionnement du spectromètre TOF

Théorie simplifiée d'un analyseur à temps de vol

Magnétomètre à vanne de flux

Un magnétomètre continu

Rappels et configuration du système

Principe de base

Montage

Principe de fonctionnement

Principe de base

Théorie simplifiée (1)

Rappels sur les matériaux ferromagnétiques

Champ magnétique apparent

Théorie simplifiée (2)

Déraivation de l'équation de base des fluxgate

Mesure du champ externe- utilisation de la "seconde harmonique"

En résumé ... et en savoir plus

Ce qu'il faut retenir

Un peu de lecture

Se Tester

Se Tester

QCM