But

L'objectif de ce mini projet est de réaliser un code permettant de calculer un périodogramme. On commence par établir la formule des moindres carrés dans le cas d'un modèle linéaire.

Moindres carrés linéaires

On se donne des observations et on considère une matrice réelle de taille m,n avec m>n et de rang . On veut calculer $\hat{\theta}$ , minimisant $F(\theta)=\sum\limits_{k=1}^m \left(\frac{y_k - A \theta}{\sigma_k}\right)^2$ . On pose matrice diagonale dont les éléments diagonaux valent $\frac{1}{\sigma_k}$ et $\Sigma = W^2$ . En termes vectoriels, $F(\theta) = \|W(AX-y) \|^2$ . Comme on veut trouver le minimum de $F(\theta)$ et que cette fonction est différentiable, ce minimum vérifie $dF(\theta)$ où est la différentielle de . Montrer que la solution de $dF(\theta) = 0$ est $\hat{\theta} = (A^T \Sigma A)^{-1} A^T \Sigma$ où désigne la transposition. Montrer que c'est un minimum global. (On pourra utiliser le fait que $\|W(AX-y) \|^2 = (y-AX)^T\Sigma (y-AX)$ .

Périodogramme

Nous voulons trouver la sinusoïde qui a la distance minimale aux données au sens des moindres carrés. En d'autres termes, on veut ajuster $\theta_{\omega} = \left( \begin{array}{c} a_{\omega} \\ b_{\omega} \end{array} \right)$ $F_\omega(\theta)=\sum\limits_{k=1}^m \left(\frac{y_k - a_{\omega} \cos \omega t_k - b_{\omega} \sin \omega t_k}{\sigma_k}\right)^2$ où les t_k sont des instants d'observation. Calculer avec la formule précédente $\theta$ minimisant $F_\omega(\theta)$ . On notera $P(\omega) = a_{\omega}^2 + b_{\omega}^2$

Implémentation

Dans le langage informatique de votre choix, écrire un programme permettant de:

Lire des données provenant d'un fichier texte et les mettre dans un tableau, en particulier extraire les instants d'observation, vitesses radiales et erreurs associées.
Calculer $P(\omega)$ pour une fréquence $\omega$ donnée
Tracer $P(\omega)$ pour $\omega$ allant de 0 à $4 \pi$
Sur ce lien ou ce lien , copier coller le tableau de données dans un fichier texte et en faire l'analyse.