Etoile : Page pour l'impression

L'ajustement des paramètres orbitaux permet de connaître $\mu = G(m+M)$ ou bien $\mu \sin i$ dans le cas des vitesses radiales. Il est impossible de distinguer les masses et séparément a priori. Cependant, on peut mesurer la masse de l'étoile de sorte à lever l'indetermination.

La modélisation des étoiles permet de distinguer les effets sur le spectre de la variation de leur flux lumineux de la présence de compagnons planétaires. Ces variations sont modélisées par des variables aléatoires suivant une certaine loi de probabilité, dont l'amplitude varie de plusieurs ordres de grandeur selon le type d'étoile. Plus l'étoile est active, plus l'amplitude du mouvement dû à la planète doit être grande pour distinguer la planète du bruit. En particulier certains types d'étoiles sont trop actives pour pouvoir détecter des potentielles super-Terres compagnon.

La description physique des étoiles est complexe car de nombreux phénomènes, tous interdépendants, ont lieu: convection, radiation, magnétisme... Les modèles utilisés en détection par vitesses radiales comprennent trois phénomènes

Les ondes de pression se propageant dans les couches extrérieures de l'étoile entrainent des compressions-dilatations de celles-ci, ce qui change la vitesse radiale moyenne observée par rapport à une photosphère statique.Cet effet affecte principalement les observations de vitesses radiales.
La granulation: phénomène convectif (c'est à dire lié au déplacement de matière dans l'étoile)
L'activité de l'étoile: la présence de régions sombres ou lumineuses à la période de rotation de l'étoile

L'impact de ces effets sur les mesures n'est pas simple à quantifier. Selon le type d'étoile et les instants d'observations, l'effet peut être très variable. Certains auteurs estiment les incertitudes par des simulations numérique, d'autres par des modèles théoriques. Nous donnons une description qualitative de ces phénomènes et une modélisation possible, mais il faut garder à l'esprit que c'est un sujet de recherche ouvert. Dans le cas des vitesses radiales, ces bruits sont classiquement modélisées par un processus stochastique d'une certaine densité spectrale de puissance, notion importante en statistique, qui est définie dans cette page.

Masse de l'étoile

La mesure de la masse de l'étoile peut se faire de deux manières

Par ajustement aux observations de modèles théoriques d'intérieurs stellaires.
Par mesure du mouvement dans un système binaire

Dans le premier cas, si la distance à l'étoile est connue (par exemple par mesure de parallaxe), on peut mesurer sa luminosité intrinsèque (si on ne connaît pas la distance on ne mesure évidemment que la luminosité apparente). Par son spectre, on peut mesurer sa température effective $T_{eff}$ . Des modèles d'intérieurs stellaires permettent ensuite d'évaluer la masse. Cette estimation peut être rafinée avec un modèle d'atmosphère stellaire. On peut alors avoir la gravité à la surface de l'étoile . Comme $L \approx T_{eff}^4 R^2$ et $g \approx \frac{M}{R^2}$ , on peut avoir une estimation de la masse.

Dans le cas des étoiles binaires (systèmes de deux étoiles), le spectre présente des raies des deux étoiles. Le mouvement de ces raies se fait à la même fréquence, mais dans des directions opposées (lorsqu'une étoile approche l'autre s'éloigne). La période de ces mouvements est liée à la masse du système par l'équation de Kepler. L'amplitude relative de ces mouvements permet de déterminer la masse des deux étoiles séparément. Comme dans le cas de la détermination des orbites des planètes, la masse n'est connue qu'à un faceteur $\sin i$ près. Pour lever cette indetermination, il faut déterminer l'inclinaison de l'orbite par rapport à l'observateur . Si on observe des eclipses (une binaire passe devant l'autre), $\approx 0$ . Si le système n'est pas dans cette configuration, on peut séparer angulairement les deux étoiles par des techniques d'interférométrie.

Processus stochastique et Densité spectrale de puissance

Processus stochastique

La notion de densité spectrale de puissance (DSP) n'est pas simple à définir, cependant très utilisée dans la littérature de traitement du signal. Nous donnons une définition mathématique pour qu'il n'y ait pas d'ambiguités mais compte tenu de la sophistication des notions introduites, le lecteur pourra se référer à la description qualitative suivante.

La densité spectrale de puissance est une propriété relative à plusieurs variables aléatoires. Les familles de variables aléatoires peuvent par exemple représenter des mesures sur lesquelles on a une incertitude. A chaque instant de mesure on associe une variable alétoire qui a une certaine densité de probabilité. En physique théorique ou en économie, on rencontre des processus stochastiques continus - typiquement le mouvement brownien, qui représente des mouvements d'atomes ou des fluctuations de prix. Formellement, un processus stochastique est une famille de variables aléatoires indexées par un ensemble totalement ordonné , toutes définies sur le même espace de probabilité ( $\forall t \in T, X_t \in (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) )$ . Dans ce cours on aura seulement besoin de $T=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{N}$ . On note $\mathbb{E}$ l'espérance mathématique.

Dans le cas général, la densité de probabilité de la variable aléatoire $X_{t}$ (pour $t \in \mathbb{R}$ ) dépend des valeurs prises à d'autres "instants" par les autres variables aléatoires. En particulier on peut s'intéresser à une éventuelle probabilité de périodicité. Par exemple si on modélise un nombre de ventes de vêtement par jour, on verra des ventes plus importantes au moment des soldes (à peu près tous les six mois). La densité spectrale de puissance est un outil qui permet de visualiser ce genre de périodicité. Dans la section suivante, on voit que si on prend une famille de variables aléatoires certaines, c'est à dire que X_t vaut une certaine valeur réelle x(t) avec la probabilité 1, la DSP en une fréquence $\omega$ est égale à $|\hat{x}(\omega)|^2$ , où $\hat{x}$ est la transformée de Fourier de . Si maintenant X_t est une variable alétoire, la DSP sera la "transformée de Fourier typique" d'une réalisation de X_t .

Pour définir cette notion mathématiquement, on doit d'abord introduire les notions de convergences et intégrales en moyenne quadratique. Pour plus de précision le lecteur peut se référer au cours de Timo Koski à KTH.

Intégrale en moyenne quadratique (Mean Square Integral)

Rappelons d'abord que si Y_1, ..., Y_n sont des variables aléatoires et $\phi: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m$ une fonction mesurable alors $\phi(Y_1,...,Y_n)$ est une variable aléatoire. En particulier, si $\lambda$ est un scalaire, $\lambda Y_1$ et Y_1 + Y_2 +...+Y_n sont des variables aléatoires. Pour un rappel sur les variables aléatoires, voir le cours de Didier Pelat.

Soit $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ un espace de probabilités, on dit que la suite de variables aléatoires $(Y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $E\{Y_n\} < + \infty$ , définies sur cet espace converge en moyenne quadratique si et seulement si:

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E}\{|Y_n-Y |^2\}=0$

Soit $(X_t)_{\mathbf{t \in \mathbb{R}}}$ un processus stochastique continu ( $T=\mathbb{R}$ ) tel que chacune des variables aléatoires X_t a une espérance finie ( $E\{X_t\} < + \infty$ ). L'intégrale en moyenne quadratique du processus $(X_t)_{t \in T}$ sur l'intervalle [a,b] est définie comme la limite en moyenne quadratique (lorsqu'elle existe) de:

$\sum\limits_{k=1}^n X_{t_k} (t_k-t_{k-1}})$

Pour a=t_0 < t_1 <... <t_n=b et $\lim\limts_{n\rightarrow\infty}\max (t_k-t_{k-1}) = 0$ . On la note alors $\int_b^b X_t dt$ .

On définit alors la densité spectrale de puissance comme:

$P_X(\omega) = \lim\limits_{T\rightarrow \infty} \mathbb{E} \{|\hat{x}_T(\omega)|^2\}$

Où $\hat{x}_T(\omega) = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_0^T X_t e^{-i \omega t} dt$

Cette définition un peu complexe peut être vue comme une généralisation de la transformée de Fourier à des processus stochastiques. En effet, lorsque le processus X_t est telle que X_t = x(t) avec une probabilité 1, l'intégrale en moyenne quadratique se comporte comme l'intérale de Riemann, alors $P(\omega)$ est le carré du module de la transformée de Fourier de la fonction réelle d'une variable réelle x(t) . Dans le cas où les X_t sont aléatoire, est le carré de la transformée de Fourier "en moyenne" des réalisations de X_t. Par exemple si X_t modélise une tension mesurée au cours du temps dans une expérience d'électronique réalisée un grand nombre de fois, donnant profils de tension u_k(t) à l'expérience (des réalisations du processus stochastique U_t ), la moyenne des carrés du module des transformées de Fourier des u_k(t) notée $\tilde{P}_n(\omega)$ sera approximativement égal à $P_U(\omega)$ . Si le nombre d'expérience tend vers l'infini $\tilde{P_n} \rightarrow P_U$ en norme 2.

Dans le cas d'un processus stationnaire discret ( $T= \mathbb{Z}$ ), on peut directement définir $\hat{x}_n(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2n+1}} \sum\limits_{k=-n}^n X_ke^{-i\omega t_k}$ et $P_X(\omega) = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \mathbb{E} \{|\hat{x}_n(\omega)|^2\}$ .

Processus stationnaires au sens large

La densité spectrale de puissance a une définition plus simple lorsque le processus est stationnaire, c'est à dire lorsque le processus $(X_t)_{t\in T}$ vérifié:

Il existe $\mu \in \mathbb{R}$ tel que $\forall t \in T, \mathbb{E}\{X_t\} =\mu$
La fonction d'autocorrélation $\begin{array}{cccc}C: &\mathbb{R} \times \mathbb{R}: & \rightarrow & \mathbb{R} \\ &t,s & \rightarrow& \mathbb{E}\{X^{\star}_s X_t \} \end{array}$ ne dépend que de , i. e. $\forall t,s, t',s'$ tels que , on a . On note appelle alors habituellement la fonction d'autocorrélation , telle que

Les processus stationnaires modélisent des phénomènes qui ont une certaine invariance dans le temps, en particulier la covariance ne dépend pas de de manière absolue, mais de manière relative à un autre instant. Dans ce cas, la densité spectrale de puissance est égale au carré du module de la transformée de Fourier de la fonction . L'équivalence avec la définition de la densité spectrale de puissance donnée plus haut est établie par le théorème de Wiener-Khinchin.

Granulation

Le phénomène de granulation est lié à la convection du gaz dans l'étoile. La lumière rayonnée par le gaz chaud remontant à la surface va vers l'observateur, la longueur d'onde reçue est donc décalée vers le bleu. En rayonnant, le gaz se refroidit, puis repart vers le centre de l'étoile. Etant moins chaud, il émet moins de lumière, si bien que la lumière est globalement décalée vers le bleu. Ce phénomène est variable dans le temps, donc le décalage vers le bleu aussi. Cette variation peut apparaître dans le spectre et créer des fréquences parasites. La nature aléatoire du phénomène fait que même après ajustement, il reste un bruit résiduel. Pour une étoile de type solaire, il est de l'ordre de 0.5 - 1 m/s sur une observation.

La granulation est en général modélisée par un processus stochastique dits de bruits en créneaui (popcorn noise ou burst noise en anglais). Il s'agit de processus stochastiques pouvant prendre deux valeurs, par exemple -1 ou 1 avec une probabilité de changement suivant une loi de Poisson (loi exponentielle). Si à la valeur passe de 1 à -1, la densité de probabilité pour que la valeur passe à 1 à $t+ \Delta t$ est $e^{-\frac{t}{\tau}}$ où $\tau$ est un réel positif. Pour les vitesses radiales, la densité spectrale de puissance de ces bruits peut être modélisée par::

$P(\nu) = \frac{4 \sigma ^2 \tau}{1+(2\pi\nu\tau)^2}}$

Cette modélisation, due à Harvey (1985) a depuis été revue et d'autres densités spectrales de puissances ont été proposée à partir de simulations 3d de convection au sein d'une étoile. En pratique, le bruit dû à la granulation apparaitra comme un signal périodique de l'ordre de cinq minutes. Cependant, on observe aussi des phénomènes appelés meso-granulation et super-granulation sur des échelles de temps plus longues. La contribution totale de ces bruits est:

$P(\nu) = \frac{4 \sigma_g ^2 \tau_g}{1+(2\pi\nu\tau_g)^2}}+\frac{4 \sigma_{mg} ^2 \tau_{mg}}{1+(2\pi\nu\tau_{mg})^2}}+\frac{4 \sigma_{sg} ^2 \tau_{sg}}{1+(2\pi\nu\tau_{sg})^2}}$

Où les indices g, mg et sg se réfèrent respectivement à la granulation, la méso granulation et la super-granulation. En anticipant un peu sur le troisième chapitre, lorsque ces bruits sont pris en compte, les valeurs des $\sigma$ et $\tau$ sont ajustés sur le spectre de puissance du signal.

Activité magnétique

La formation d'arcs de champ magnétique à la surface de l'étoile inhibe le mouvement des particules, donc réduit la température et provoque donc des tâches sombres. Cet effet à des effets à court termes (à la fréquence de rotation de l'étoile $\approx 1$ mois), et à plus long terme à travers des cycles d'activité magnétique.

A court trerme, la tache introduit une dissymétrie entre la partie de l'étoile tournant vers l'observateur, et la partie s'en éloignant, ce qui engendre un décalage du spectre mesuré. D'autre part, la tache engendre un déplacement du photocentre de l'étoile périodique, pouvant être confondu avec la présence d'une planète. Pour éviter ces confusions, on estime la période de rotation de l'étoile par spectroscopie, et on ajuste des sinusoïdes à cette période et ses premières harmoniques.

L'activité magnétique peut se mesurer à travers divers indicateurs, dont on analyse les corrélations.

Toujours selon le modèle de Harvey (1985), la densité spectrale de puissance du bruit de vitesse radiale induit par une tache solaire est:

$P(\nu) = \frac{4 \sigma_{am} ^2 \tau_{am}}{1+(2\pi\nu\tau_{am})^2}}$

Effet de la rotation de l'étoile sur le spectre

La lumière provenant de la moitié de l'étoile ayant un mouvement vers l'observateur est décalé vers les hautes fréquences (vers le bleu). L'autre moitié est décalée vers les basses fréquences (vers le rouge). Dans l'hypothèse où l'étoile est sphérique, et a une luminosité identique partout sur sa surface, le décalage vers le rouge et celui vers le bleu ne fait qu'élargir les raies spectrales. Si une tache est présente, ici sur la partie bleue, la symétrie est brisée et le déficit de lumière entraine un décalage du spectre vers le rouge.

Etoile