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But |
L'objectif de ce mini projet est de réaliser un code permettant de calculer un périodogramme. On commence par établir la formule des moindres carrés dans le cas d'un modèle linéaire.
On se donne des observations et on considère une matrice réelle
de taille
avec
et de rang
. On veut calculer
, minimisant
. On pose
matrice diagonale dont les éléments diagonaux valent
et
.
En termes vectoriels,
. Comme on veut trouver le minimum de
et que cette fonction est différentiable, ce minimum vérifie
où
est la différentielle de
.
Montrer que la solution de
est
où
désigne la transposition. Montrer que c'est un minimum global. (On pourra utiliser le fait que
.
Nous voulons trouver la sinusoïde qui a la distance minimale aux données au sens des moindres carrés. En d'autres termes, on veut ajuster
où les
sont des instants d'observation. Calculer avec la formule précédente
minimisant
. On notera
Dans le langage informatique de votre choix, écrire un programme permettant de: