Les équilibres dynamiques

Équilibre géostrophique

Les équilibres géostrophique et cyclostrophique sont deux approximations des équations primitives. Ils sont purement diagnostiques : ils ne contiennent pas de dérivées dans le temps, d'où l'impossibilité de faire des prédictions. Néanmoins, ils sont des outils puissants pour décrire différents écoulements observés dans les planètes.

definitionL'équilibre géostrophique

L'approximation géostrophique est un développement des équations primitives utilisée aux moyennes latitudes sur les planètes à rotation rapide (Terre, Mars). On suppose l'équilibre entre la force de Coriolis et la force due au gradient horizontal de pression. La force centrifuge est négligée.

2\Omega\sin\theta{v}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{x}}

2\Omega\sin\theta{u}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{y}}

D'après ces équations, lorsque cet équilibre est valide, la vitesse du vent est directement proportionnelle au gradient horizontal de pression. Notez que l'équilibre géostrophique cesse d'être valide autour des latitudes équatoriales.

Force en action en équilibre géostrophique
Eq_geostro.png
Crédit : Arianna Piccialli

definitionVent géostrophique

En combinant les deux composantes de la vitesse, on peut introduir le vent géostrophique comme :

\mathbf{V_g} = u_g\vec i+v_g\vec j=\vec k\times\frac{1}{{\rho}f}\nabla{P}

Équilibre cyclostrophique

definitionL'équilibre cyclostrophique

La circulation générale des planètes à rotation lente (Vénus, Titan), aussi bien que les vortex et les tourbillons sur toutes les planètes, peut être approximée par l'équilibre cyclostrophique. Cela suppose l'égalité entre la composante dirigée vers l'équateur de la force centrifuge et le gradient méridional de la pression. La force de Coriolis est négligée.

\frac{uv\tan\theta}{r}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{x}}

\frac{u^2\tan\theta}{r}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial{p}}{\partial{y}} (1)

Forces en action en équilibre cyclostrophique
Eq_cyclost.png
Crédit : Arianna Piccialli, adaptation de Schubert, 1983.

definitionVent cyclostrophique

L'équation du vent cyclostrophique peut alors être écrite comme :

u=\sqrt{-\frac{r}{\rho\tan\theta}\frac{\partial{p}}{\partial{y}}

exerciceExercice

Question 1)

Montrer à partir de l'équation (1) que l'équation du vent cyclostrophique peut être écrite comme :

2u\frac{\partial{u}}{\partial{\xi}}=\left.-\frac{R}{\tan{\theta}}\frac{\partial{T}}{\partial{\theta}}\right|_{\mathrm{p}=\mathrm{const}}

où : \mathrm{R}=191.4 J kg-1 K-1, et \xi=-\ln{\frac{p}{p_{ref}}} est la coordonnée de pression logarithmique, avec p_{ref} la pression au niveau de référence.

Réponses aux exercices

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Exercice