Exercices : Représentation d'attitude

Auteur: Gary Quinsac

Matrice du Cosinus Directeur

Difficulté : ☆

On souhaite montrer que la MCD est une matrice orthonormale, c'est-à-dire que $[T] \ [T]^T = [I] = [T]^T \ [T]$ .

Soit la MCD $[T]_{B|A}$ entre deux référentiels orthogonaux décrits par les vecteurs unitaires $\{ \bold a_1, \bold a_2, \bold a_3 \}^T$ et $\{ \bold b_1, \bold b_2, \bold b_3 \}^T$ :

$\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = [T]_{B|A} \ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$

Question 1)

Ecrire le vecteur transposé de $\bold B = (B_i)$ .

Question 2)

Calculer le produit $\bold B \ {\bold B}^T$ et conclure.

Auteur: Gary Quinsac

Angles d'Euler

Difficulté : ☆

Cet exercice a pour but de démontrer l'expression de la MCD à partir d'une certaine séquence d'angles d'Euler. On reprend la notation du cours en nommant $\theta_1$ , $\theta_2$ et $\theta_3$ les trois angles d'Euler.

Question 1)

Démontrer qu'en choisissant la séquence $[T(\theta_1)]_1 \leftarrow [T(\theta_2)]_2 \leftarrow [T(\theta_3)]_3$ afin de passer du référentiel au référentiel , on obtient bien la formule présentée dans le cours :

$[T]_{B|A} = \begin{pmatrix} c_{\theta_2} c_{\theta_3} & c_{\theta_2} s_{\theta_3} & -s_{\theta_2} \\ s_{\theta_1} s_{\theta_2} c_{\theta_3} - c_{\theta_1} s_{\theta_3} & s_{\theta_1} s_{\theta_2} s_{\theta_3} + c_{\theta_1} c_{\theta_3} & s_{\theta_1} c_{\theta_2} \\ c_{\theta_1} s_{\theta_2} c_{\theta_3} +s_{\theta_1} s_{\theta_3} & c_{\theta_1} s_{\theta_2} s_{\theta_3} - s_{\theta_1} c_{\theta_3} & c_{\theta_1} c_{\theta_2} \end{pmatrix}$

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Question 2)

Considérons maintenant la séquence suivante : $[T(\theta_1)]_1 \leftarrow [T(\theta_3)]_3 \leftarrow [T(\theta_2)]_2$ . Exprimer la MCD associée à cette séquence.

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Auteur: Gary Quinsac inspiré de "Space Vehicle Dynamics and Control" de Bong Wie.

Quaternions

Difficulté : ☆

Considérons la séquence de rotations fixées par rapport à un satellite allant du référentiel au référentiel :

$[T(\theta_1)]_1 \leftarrow [T(\theta_2)]_2 \leftarrow [T(\theta_3)]_3$

Les quaternions associés à ces rotations sont :

$[T(\theta_1)]_1 = \begin{pmatrix} sin(\theta_1 / 2) \\ 0 \\ 0 \\ cos(\theta_1 / 2) \end{pmatrix}$ , $[T(\theta_1)]_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ sin(\theta_2 / 2) \\ 0 \\ cos(\theta_2 / 2) \end{pmatrix}$ , $[T(\theta_1)]_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ sin(\theta_3 / 2) \\ cos(\theta_3 / 2) \end{pmatrix}$

Question 1)

Montrer que les angles d'Euler de cette séquence de rotation sont reliés aux quaternions de la manière suivante :

$\begin{pmatrix} q_0 \\ q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 c_2 c_3 + s_1 s_2 s_3 \\ s_1 c_2 c_3 - c_1 s_2 s_3 \\ c_1 s_2 c_3 + s_1 c_2 s_3 \\ c_1 c_2 s_3 - s_1 s_2 c_3 \end{pmatrix}$

où $s_i = sin(\theta_i / 2)$ et $c_i = cos(\theta_i / 2)$

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Question 2)

Vérifier que pour des angles infinitésimaux on obtient un quaternion très simple.

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