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Cas statique |
Le cas particulier de l'estimation d'attitude à partir de mesures simultanées de directions non parallèles est ici introduit. À chaque observation sont associés deux vecteurs. Le premier est un vecteur unitaire définissant la direction mesurée (observée) de la source (la Terre, le Soleil, une étoile, le champ magnétique terrestre...), exprimée dans le repère lié au satellite. Le second est un vecteur unitaire
qui définit la direction de référence de la source, exprimée dans le repère origine (généralement inertiel). L'estimation d'attitude consiste ici à déterminer la matrice de transformation orthogonale
satisfaisant pour chaque observation i :
La méthode TRIAD se base sur l'observation de deux directions non-parallèles. Il s'agit de déterminer la MCD permettant de transformer les vecteurs de référence
et
en vecteurs d'observation
et
. Puisque l'on cherche à obtenir l'attitude suivant 3 axes, il nous faut créer deux bases orthonormées (y1, y2, y3) et (x1, x2, x3), respectivement associées aux vecteurs d'oservation et de référence. Il ne reste plus qu'à déduire la matrice de transformation orthogonale (ou MCD)
satisfaisant :
,
,
Cette méthode présente l'avantage d'être extrêmement simple, d'où son utilisation dans de nombreuses missions passées. De nos jours, cette méthode n'est plus considérée comme suffisamment précise. En effet, les mesures d'observation sont entachées d'erreur, ce qui empêche d'obtenir le même résultat suivant le vecteur d'observation choisi au départ. C'est pour cette raison que l'on choisit généralement l'observation la plus précise. Des techniques de calcul de la covarience de l'erreur de l'estimation ont été développées pour parer à ces inconvénients.
Un critère quadratique peut être utilisé pour déterminer la matrice d'attitude. Cela revient à chercher la matrice orthogonale minimisant la fonction de moindres carrés :
La minimisation de ce critère n'a rien d'évident et de nombreuses méthodes ont été proposées. Il s'agit d'identifier les 9 paramètres de la MCD respectant les différentes contraintes énoncées précédemment (moindres carrés et règles de la MCD). L'algorithme QUEST (QUaternion ESTimation) offre une alternative intéressante. La forme quadratique est alors utilisée à la place de la MCD, permettant de réduire le nombre de paramètres. Nous ne rentrerons pas dans le détail de cette méthode dans le cadre de ce cours.