Le problème à deux corps

Auteur: Valérie Ciarletti

On cherche à étudier le mouvement de deux corps de masses M_1 et M_2 assimilés à deux points matériels localisés aux points P_1 et P_2 qui sont leur centre de gravité. Le système de ces deux corps étant isolé on fait l'étude dans un référenciel (R) supposé Galiléen d'origine arbitraire.

Les forces en présence

Lorsque deux corps massiques sont en présence l'un de l'autre, l'effet de la gravitation qui agit sur ces corps se traduit par une force d'attraction. Si ces deux corps sont assimilés à des points matériels localisés en leur centre de gravité, cette force est proportionnelle aux deux masses en jeu et inversement proportionnelle à la distance au carré entre les deux points.

Cette force explique aussi bien la chute des corps sur Terre que le mouvement d'une planète autour de son soleil ou d'une lune autour de sa planète.

On a la force exercée par M_1 sur M_2 , $\overrightarrow{F_1_2}=-G \frac{M_1 M_2}{|\overrightarrow{P_2P_1}|^3}\overrightarrow{P_1P_2}$ et, par symétrie, la force exercée par M_2 sur M_1 , $\overrightarrow{F_2_1}=-G \frac{M_2 M_1}{|\overrightarrow{P_1P_2}|^3}\overrightarrow{P_2P_1}$

La constante de gravitation universelle est $G=6,67 .10^-^1^1 \; \mathrm{N \cdot m^2 \cdot kg^{-2}}$

On remarque que $\vec{F}_2_1=- \vec{F}_1_2$ en accord avec la loi de l'action et de la réaction pour un système isolé.

Dans ce référentiel (), le principe fondamental de la dynamique appliqué aux deux corps donne donc deux équations couplées

$\left\{ \begin{array}{l l l} {{M_1}\ddot{\overrightarrow{OP_1}}=-G {M_1}\frac{M_2}{|\overrightarrow{P_2P_1}|^3}\overrightarrow{P_1P_2}}\\ {{M_2}\ddot{\overrightarrow{OP_2}} = -G {M_2}\frac{M_1 }{|\overrightarrow{P_2P_1}|^3}\overrightarrow{P_2P_1}=-{{M_1}\ddot{\overrightarrow{OP_1}}\end{array}$

L'objectif est de connaître la position des centres de gravité P_1 et de P_2 en fonction du temps.

Le choix du référentiel de travail - Réduction à un problème à un corps

Si on considère l'ensemble des deux corps, le centre de gravité (ou barycentre) est défini de la façon suivante :

${(M_1+M_2)} \overrightarrow{OC}={M_1}{\overrightarrow{OP_1}}+{M_2}{\overrightarrow{OP_2}}$

On dérive deux fois par rapport au temps et on utilise le fait que ${M_1}{\ddot{\overrightarrow{OP_1}}}=-{M_2}{\ddot{\overrightarrow{OP_2}}}$ , on obtient alors

${(M_1+M_2)} \ddot{\overrightarrow{OC}}={M_1}{\ddot{\overrightarrow{OP_1}}}+{M_2}{\ddot{\overrightarrow{OP_2}}}=\overrightarrow{0}}$

Ce qui traduit le fait que le barycentre est en mouvement rectligne et uniforme dans le référentiel (). Le repère barycentrique ( R_C ) dont l'origine est le centre de gravité des deux corps est donc lui aussi Galiléen.

On choisit de travailler dans le repère ( R_C ) ce qui permet de découpler le mouvement du barycentre des mouvements relatifs des deux corps.

Les équations du mouvement dans le repère barycentrique ( R_C )

On note $\vec{r}_1=\overrightarrow{CP_1}$ , $\vec{r}_2=\overrightarrow{CP_2}$

et on introduit $\vec{r}=\overrightarrow{P_2P_1}=\overrightarrow{OP_1}-\overrightarrow{OP_2}=\overrightarrow{r_1}}-\overrightarrow{r_2}}$

soit $\left\{ \begin{array}{l l} {\overrightarrow{r_1}}=\overrightarrow{CP_1}}=\overrightarrow{CO}}+\overrightarrow{OP_1}} \\ {\overrightarrow{r_2}}=\overrightarrow{CP_2}}=\overrightarrow{CO}}+\overrightarrow{OP_2}} \end{array}$

Avec ces notations, les équations du mouvement dans le repère barycentrique deviennent :

$\left\{ \begin{array}{l l l} {M_{1}\ddot{\overrightarrow{{r_{1}}}}=\overrightarrow{F_{21}}}\\ {M_2\ddot{\overrightarrow{{r_2}}} = \overrightarrow{F_{12}}=- \overrightarrow{F_{21}}}\end{array}$

L'expression des forces d'attraction gravitationnelle permet de réécrire ce système sous la forme :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l l} {\ddot{\overrightarrow{r_{1}}}}=\frac{\overrightarrow{F_{21}}}{M_1}\\\\{\ddot{\overrightarrow{r_2}} = -\frac{\overrightarrow{F_{21}}}{M_2}\end{array}$ et d'obtenir par différence $\ddot{\overrightarrow{r}}}=\ddot{\overrightarrow{r_{1}}}}-\ddot{\overrightarrow{r_{2}}}}=\frac{\overrightarrow{F_{21}}}{M_1}+\frac{\overrightarrow{F_{21}}}{M_2}=\overrightarrow{F_{21}}}(\frac{1}{M_1}+\frac{1}{M_2}})$

$\frac{M_1M_2}{M_2+M_1}}\ddot{\overrightarrow{r}}}=\overrightarrow{F_{21}}}$

Cette équation peut être interprétée comme l'équation du mouvement d'un corps ponctuel fictif de masse $\mu=\frac{M_1M_2}{M_2+M_1}$ (appeléee masse réduite du système) soumis à la force $\overrightarrow{F_{21}}}$ , soit $\mu\ddot{\overrightarrow{r}}}=\overrightarrow{F_{21}}}$ . Dans la suite, ce point fictif sera noté .

Le problème à deux corps se réduit donc à un problème à un corps fictif unique. On aboutit à une équation unique pour le mouvement de dans laquelle n'apparait que l'inconnue $\vec{r}$ .Cette équation est valable dans le repère baycentrique ( R_C ).

${\mu}\ddot{\overrightarrow{r}}}=\mu \frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt^2}=-G M_2 M_1 \frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|^3}$

L'expression de la force de gravité permet a priori de modéliser l'interaction entre plusieurs corps (étoiles, planètes, lunes, petits corps ...). Cependant, seul le problème à deux corps peut être mathématiquement résolu sans approximation.