Séparation spectrale des raies Lyman-alpha de l'hydrogène et du deutérium
Difficulté : ☆☆☆
Temps : 30 minutes
Dans le modèle de Bohr présenté dans le cours, on a supposé que le proton était immobile, on suppose maintentant que le proton n’est pas immobile.
Question 1)
Montrer que le référentiel barycentrique du système est galiléen.
Question 3)
Réécrire l’équation de la dynamique pour l’électron et le proton dans le référentiel barycentrique et montrer que l'équation se réduit à la dynamique d'une particule de masse réduite μ que l'on exprimera en fonction de la masse de l'électron et du noyau.
Question 4)
On suppose que la trajectoire de cette particule réduite est circulaire, déterminer la vitesse angulaire de la particule réduite. On suppose que le moment cinétique de cette particule réduite est quantifié et ne peut prendre que des valeurs du type 
. déterminer les valeurs possibles de r et l'énergie de la particule en fonction de n.
Question 5)
Calculer la longueur d’onde du photon émis lors de la transition du niveau m vers le niveau n de l’hydrogène et du deutérium atomique sachant que le noyau du deutérium est composé d'un proton et d'un neutron, on supposera que la masse d'un neutron est égale à la masse d'un proton.
Question 6)
La masse du proton est 1.672622x10-27 kg et la masse d'un électron de 9.109383x10-31 kg. En déduire la longueur d'onde des transitions Lyman-alpha de l'hydrogène et du deutérium et en deduire le pouvoir de résolution nécessaire pour séparer spectralement les deux raies.
Prendre des valeurs des constantes les plus précises possibles pour l'application numérique.
Détermination du flux d'azote descendant dans la nuit sur Mars
Difficulté : ☆
Temps : 10 minutes
Question 1)
L'émission UV de NO a été observée pour la première fois par la sonde Mars Express côté nuit sur Mars. L'intensité intégrée de la bande δ sur une colonne verticale entre 0 et 80 km a été estimée à 85 R. Cette émission est produite par la recombinaison des atomes O et N, produits côté jour à haute altitude et transporté à plus basse altitude côté nuit.
On suppose que 77% des recombinaisons produisent une émission dans la bande δ. On suppose que la perte d'azote par recombinaisons de N et O représentent 45% de la perte totale d'azote.
- On note L le taux de perte total d'atomes d'azote par unité de volume et par seconde. Déterminer le nombre de recombinaison LR entre N et O par unité de volume et par seconde.
- En déduire le nombre de recombinaison conduisant à une émission dans la bande δ de NO par unité de volume et par seconde. Ce terme est le taux d'émission volumique de la bande δ de NO
- Montrer que le taux de perte total de N intégré sur la colonne entre 0 et 80 km est proportionnel à l'intensité mesuré
- En déduire le flux d'azote nécessaire pour compenser cette perte (on convertira l'intensité en Rayleigh en ph/cm2/s)
Emission UV sur Europe
Difficulté : ☆
Temps : 10 minutes
Question 1)
Sur Europe, des observations faites par le télescope Hubble en 1996 ont mis en évidence la présence des raies de l’oxygène à 130.4 nm et 135.6 nm
L’intensité mesurée de la raie à 130.4 nm est de 8.6 Rayleigh. L’intensité de la raie à 135.6 nm est de 12.9 Rayleigh.
Pourquoi cette observation indique qu’un mécanisme impliquant des électrons est forcément à l’origine d’une partie des émissions observées ?
Question 2)
Deux mécanismes ont été proposés pour expliquer ces émissions :
L’excitation de O par impact d’éléctrons (mécanisme 1)
L’excitation dissociative par impact d’électrons de O2 (mécanisme 2)
Exprimer le taux d’émission volumique à 130.4 et 135.6 nm pour chaque mécanisme en fonction de la densité de O et O2
Les valeurs des fréquences d’excitation à 130.4 et 135.6 nm de ces deux mécanismes sont données ci-dessous :
Quel mécanisme permet de mieux reproduire le rapport d'intensité observé ?
- Question 1
Solution :
L'équation de la dynamique de l'électron s'écrit:
L'équation de la dynamique du noyau s'écrit:
La somme de ces deux équations donne
Par définition la position du barycentre du système est donnée par:
On en déduit que 
Le référentiel associé au barycentre est donc en mouvement uniforme par rapport au référentiel du laboratoire supposé galiléen. Le référentiel associé au barycentre est donc un référentiel galiléen.
- Question 2
Solution :
La position de l'électron dans le référentiel barycentrique est donnée par :
La position du noyau dans le référentiel barycentrique est donnée par :
- Question 3
Solution :
Les équations de la dynamique de l'électron et du noyau dans le référentiel barycentrique s'écrivent:
Il s'agit de deux fois la même équation de la dynamique d'une particule fictive de masse
et de position 
- Question 4
Solution :
La résolution de l'équation est identique à celle effectuée dans le cours en remplaçant me par μ. La force étant radiale, la trajectoire de la particule réduite est plane. En coordonnées cylindriques, les équations projetées sur les axes 
et 
s'écrivent:
La deuxième équation conduit à
Comme on suppose que la trajectoire de la particule est circulaire
La première équation permet de déterminer la vitesse angulaire de la particule :
En utilisant la condition de quantification du moment cinétique, on obtient les valeurs de r et de l'énergie de la particule en fonction du nombre quantique n:
- Question 5
Solution :
En remplaçant μ par son expression avec mn = mp pour l'hydrogène et mn= 2mp pour le deutérium, on obtient:
- Question 6
Aide :
Prendre des valeurs des constantes les plus précises possibles pour l'application numérique.
Solution :
L'émission Lyman-alpha correspond à la transition m = 2 vers n =1. L'application numérique donne λH = 121.568 nm et λD = 121.535 nm
Le pouvoir de résolution nécessaire pour séparer spectralement les deux raies est donc R = λ/dλ ≈ 3700.
, où 
est la position de l'électron et 
la position du noyau dans le référentiel du laboratoire, exprimer les positions de l'électron 
et du noyau 
dans le référentiel barycentrique du système en fonction de 
