SOLUTION

On considère un forçage en surface correpondant à une pulsation $\omega_0$ , de la forme $T(z=0,t) = T_{S} + T_{0} exp(i\omega_0 t})$ . La solution s'écrit $T(z,t) = Ts + T_0exp(i\omega t)exp(ikt)$ . Par identification, on a donc $\omega = \omega_0$ .

En appliquant l'équation de diffusion de la chaleur, on obtient la relation $i\omega_0 T_0 = -k^2 \frac{\lambda}{C} T_0$ . D'où les deux solutions $k_1 = \sqrt{\frac{C\omega_0}{2\lambda}}(i-1)$ et $k_2 = \sqrt{\frac{C\omega_0}{2\lambda}}(1-i)$

La solution avec k_2 n'est pas physique, car elle donne une augmentation exponentielle du champ T(z,t) lorsque $z \rightarrow \infty$ . La solution finale s'écrit $T(z,t) = T_S + T_0 exp(-\frac{z}{\delta_P}) cos(k_S z - \omega_0 t)$ avec une fréquence spatiale $k_S = \sqrt{\frac{C\pi}{\lambda P_0}}$ , une épaisseur de peau $\delta_P = \sqrt{\frac{\lambda P_0}{C\pi}}$ , et $P_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}$

On se fixe comme critère que la profondeur minimale $z_{min}$ du sous-sol doit être telle qu'on représente le champ de température pour toutes les ondes : $z_{min} = 3\delta_P_{max}$ A priori, la période la plus élevée est la période annuelle (les cycles pluriannuels, plus subtiles, ne font pas partie de cette étude) : $P_{max}$ vaut 150 jours. L'application numérique donne une profondeur minimale de 6,7 mètres.